Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Найти вероятность вынуть после этого из второй урны белый шар. 4. Магазин производит закупки некоторого продукта у трех производителей в долях 25, 35 и 40% соответственно. Доли продукта высокого качества в поставках равны 50, 60 и 80% соответственно. Куплен продукт высокого качества. Найти вероятность того, что он поставлен первым производителем. 5. В партии из 400 арбузов каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью 0,2. Найти наивероятнейшее число спелых арбузов и вероятность того, что реальное число спелых арбузов в указанной партии будет в пределах от 300 до 350. Вариант 2 1.
Основные правила комбинаторики. Сочетания, размещения, перестановки. Разбиение множества на группы. 2. Из 15 проданных за неделю телевизоров 3 имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что среди выбранных наудачу 5 телевизоров (из числа проданных) окажется не более одного со скрытыми дефектами. 3. В магазине было проведено исследование продаж некоторого товара. Выяснилось, что этот товар покупают 25% женщин, 10% мужчин и 40% детей. Среди покупателей магазина 65% женшин, 20% мужчин и 15% детей.
Найти вероятность того, что наудачу выбранный покупатель приобретет данный товар. 4. На заводе, изготовляющем болты, машины А, В и С производят 20, 30 и 50% всех изделий соответственно. В их продукции брак составляет 5, 3 и 1% соответственно. Случайно выбранный болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен машиной А? 5. При наборе текста наборщик делает ошибку в слове с вероятностью 0,003. Найти наивероятнейшее число ошибок в тексте из 1300 слов и вероятность того, что оно не будет превышено. Вариант 3 1.
Независимость событий. Независимые испытания Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов. 44о приложения 4В 2. Шесть клиентов случайным образом обращаются в 4 фирмы равновероятно. Найти вероятность того, что в какие-то две фирмы обратятся по два клиента, и в две — по одному. 3. Электроэнергия поступает в город по трем линиям, каждая из которых может быть отключена с вероятностью 0,05. Если отключается одна, две, три линии, то город испытывает недостаток электроэнергии с вероятностями 0,3; 0,6; 1.
Если работают все линии, то недостатка электроэнергии нет. Какова вероятность того, что город будет испытывать недостаток электроэнергии? 4. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью 0,5, второй стрелок — с вероятностью 0,3 и третий стрелок — с вероятностью 0„7.
Стрелки дали залп по мишени, но только одна пуля попала в цель. Какова вероятность, что третий стрелок попал в цель? 5. Изделие является годным с вероятностью 0,96. Какова вероятность того, что в партии из 100 деталей будет не более 3 бракованных? Вариант 4 1. Условная вероятность. Полная группа событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. 2. Шесть клиентов случайным образом обращаются в 3 фирмы равновероятно. Найти вероятность того, что во все фирмы обратится разное число клиентов. 3. Из урны, где было 7 белых и 3 черных шара, переложен извлеченный наудачу шар в урну, содержашую 5 белых и 2 черных шара.
Найти вероятность извлечь из второй урны черный шар. 4. Фирма нарушает закон с вероятностью 0,15. Аудитор обнаруживает нарушения (если они есть) с вероятностью 0,8. Проведенная им проверка не выявила нарушений. Найти вероятность того, что на самом деле они есть. 5. Страховая фирма заключила 10 000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому в течение года составляет 2%. Найти наивероятнейшее число страховых случаев и вероятность того, что реальное число случаев отклонится от него не более чем на 30.
Вариант 5 1. Операции над событиями. Формулы де Моргана. Вероятность противоположного события. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 441 4в приложения 2. Слово МЕНЕДЖМЕНТ разрезано на буквы, и они перемешаны. Какова вероятность вновь собрать слово при случайном расположении букв? 3. Фирма участвует в трех независимых проектах, вероятности успеха которых составляют 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что по крайней мере два проекта увенчаются успехом. 4.
Изделие имеет скрытые дефекты с вероятностью О,1. В течение года выходит из строя 80% изделий со скрытыми дефектами и 5% изделий без дефектов. Найти вероятность того, что изделие имело скрытые дефекты, если оно вышло из строя в течение года. 5. Известно, что в среднем 1% деталей имеет дефекты. Сколько деталей надо проверить, чтобы с вероятностью 95% среди них оказалась хотя бы одна с дефектами? Найти наивероятнейшее число деталей с дефектами в этом случае.
Вариант б 1. Предельные теоремы Пуассона и Муавра — Лапласа. Следствия. 2. Известно, что в лотерее из 50 билетов имеется 4 выигрышных. Найти вероятность того, что среди купленных 10 билетов окажется хотя бы один выигрышный. 3. Два аудитора проверяют 8 фирм (по 4 каждый), у двух из которых имеются нарушения. Первый аудитор обнаруживает нарушения с вероятностью 0,7; второй — с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что обе фирмы-нарушители будут выявлены. 4. К системному администратору обращаются за помощью пользователи. Среди них 70% начинающих, 30% опытных.
Вероятность обращения начинающего пользователя 80%, опытного — 10%. Найти вероятность того, что очередной пользователь, обратившийся за помощью, окажется начинающим. 5. При визите страхового агента вероятность заключения договора составляет 20%. Найти наивероятнейшее число заключенных договоров после 10 визитов и вероятность того, что их будет заключено не больше найденного числа. Контрольная работа № 2.
«Случайные величины. Законы распределения» Вариант 1 1. Два станка выпускают некоторую деталь соответственно с вероятностями брака р, = 0,01 и р, = 0,05. В выборке одна де- 44г Приложения ф т аль, выпущенная первым станком, и две — со второго станка. Найти распределение вероятностей случайной величины ~— числа бракованных деталей в выборке. 2. Двумерная случайная величина (г, Ч) равномерно распределена на множестве [(х, у)[х2+ у' < 1, у > 0». Найти плотность распределения составляющих г, и Ч и ответить на вопрос о зависимости г, и Ч (ответ обосновать). 3.
Плотность распределения случайной величины г, имеет С(х+ 1), х е [-1,2], О, х я [- 1,2]. Найти С, функцию распределения г[х), Р(г,' < 1), М(г, + 2)'о. 4. Совместная плотность распределения пары (г„Ч) задана таблицей. Найти распределения вероятностей 4+ Ч; сот(~ Ч, л + Ч)' ответить на вопрос о зависимости случайных величин 1 и Ч (ответ обосновать). 5. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [1, 3]. Найти плотность распределения вероятностей Ч = г,'+ 1. Вариант 2 1.
Двумерная случайная величина (г„Ч) равномерно распределена в квадрате с вершинами (-2, 0), (О, -2), (2, 0), (О, 2). Найти значение функции совместного распределения г(х, у) в точке (1, -1). 2. Плотность распределения случайной величины г, имеет 3 вид р(х) ]С(х+1) ', х>0, [О, х<0. Найти С, функцию Г(х), Р(! Ч вЂ” 1/3] < 1) и МЦ'. 3.
Случайные величины г, и Ч независимы и имеют показательное распределение с параметром Х = 2. Найти Р(г + Ч > 1). 4. Совместное распределение пары (г„Ч) задано таблицей 443 ! Прилаженил Найти распределение 2г, + и; соч(4 — и, и); ответить на вопрос о зависимости г и н (обосновать). 5. Два стрелка поражают мишень соответственно с вероятностями 0,7 и 0,8 при одном выстреле. Найти распределение вероятностей числа попаданий, если первый стрелок выстрелил один раз, а второй — два раза. Вариант 3 1. Двумерная случайная величина равномерно распределена в треугольнике (О, 4), (4, О) и (4, 4).
Найти плотность распределения составляющих г, и в и ответить на вопрос о зависимости случайных величин 4 и и (ответ обосновать). 2. Плотность распределения случайной величины г, имеет С(1-х'), )х)<1, вид р,(х)= О, )х)>1. Найти С, функцию распределения Р(х), Р(! Г, — 1/21 ~ 1/4), М(4 + 1)'и. 3. Совместный закон распределения пары (4, и) задан таблицей. Найти распределение вероятностей г, — и; соч(г, + и; Г, — и); исследовать вопрос о зависимости 4 и и.
4. Случайная величина 4 имеет равномерное распределение на отрезке 1 — 1; Ц. Найти плотность случайной величины и = 1й(аЦ/2). 444 Приложения 5. Среди 5 ключей два подходят к двери. Ключи пробуют один за другим, пока не откроют дверь. Найти распределение вероятностей г, — числа опробованных ключей. Вариант 4 1. Случайная величина Р имеет равномерное распределение на отрезке 1 — 1, 1].
Найти плотность распределения и = -1п(2 + г). 2. Плотность распределения случайной величины г, имеет С(1-(х!), (х! < 1, внд р„(х)= О, (х! > 1. Найти С, функцию распределения г(х) и ЛЦ. 3. Совместный закон распределения пары (С, и) задан таблицей. Найти закон распределения вероятностей ф~', сот(г — и, г, + и), исследовать вопрос о зависимости случайных величин г, и и (ответ обосновать).
4. Случайная пара (г„п) имеет равномерное распределение на множестве (х, у ! х !+! у! ~ 2). Найти плотности распределения г, и и. Являются ли они зависимыми? (Ответ обосновать.) 5. С конвейера поступили 4 детали. Вероятность брака для каждой детали р. Детали проверяют одну за другой, пока не наберуг 2 доброкачественные. Найти распределение вероятностей числа г проверенных деталей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
