Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Вывести формулу, связывающую гамма-функцию и бета- функцию. 5. В поселке Полтинниково все жители имеют доход не менее 50 тыс. руб. в месяц. Выборочное исследование отразило средний доход 200 тыс. руб. В предположении, что случайная величина дохода имеет распределение Парето Р[х) = 1 — (х/хо) х > х„где х, = 50 тыс. руб., оценить параметр а методом моментов и долю жителей с доходами свыше 400 тыс. руб.
Вариант 5 1. Доказать эффективность оценки математического ожидания, найденную по неравноточным наблюдениям. 2. В случае биномиального распределения методом максимального правдоподобия найти оценку параметра р и исследовать ее свойства (состоятельность, несмещенность, эффективность). 3. Пусть л„' выборочная дисперсия, построенная по выборке х„х„..., х„из нормальной генеральной совокупности Ф(а, о').
~л Доказать, что статистика, " распределена по закону т' с о и — 1 степенями свободы. 452 Приложения ф 4. Найти методом моментов точечную оценку параметра р геометрического распределения Р(~ = т) = р (1 — р), где р— вероятность появления события в одном испытании. 5. Трое исследователей провели независимые выборочные обследования доходов населения. Первый определил средний доход 3100 у.е. с точностью а, = 80 у.е., второй — 2950 у.е. с о, = = 50 у.е., третий — 3050 у.е.
с о; = 40 у.е. Построить наиболее точную оценку среднего годового дохода и найти ее дисперсию. Контрольная работа лй 2. Доверительные интервалы. Статистическая пиютеза Вариант 1 1. Проверить гипотезу о равенстве дисперсий при неизвестных средних. 2. Для параметра Х пуассоновского распределения по выборке х„х„..., х„построить асимптотическнй доверительный интервал. Точечную оценку параметра Х найти методом максимального правдоподобия. 3. Импортер упаковывает чай в пакеты. Известно, что наполняющая машина работает со стандартным отклонением о, равным 10 г.
Выборка 50 пакетов показала средний вес х = 128,5 г. Найти доверительный интервал для среднего веса в генеральной совокупности с вероятностью 95%. Генеральная совокупность распределена нормально. Найти обьем выборки п, чтобы с вероятностью 95% точность доверительного интервала была бы равна 2,0 г. 4. Среди 100 электрических ламп в течение 1000 часов вышло из строя 36 штук. Построить доверительный интервал с вероятностью 95% для генеральной доли ламп, которые прослужат не менее 1000 часов.
5. Партия изделий принимается, если дисперсия размеров не превышает 0,2. Исправленная выборочная дисперсия для 30 изделий оказалась равной 0,3. Можно ли принять партию при уровне значимости 5%? Вариант 2 1. Проверить гипотезу о равенстве средних при неизвестной дисперсии. Приложения 2. Построить асимптотический доверительный интервал для параметра 0 равномерного распределения на отрезке 10, 01 случайной величины Р. Точечную оценку параметра 0 найти методом моментов. 3.
Производитель автомобильных шин заинтересован в получении оценки средней износоустойчивости шин особой модели. Он провел случайную выборку объемом 10 шин и подверг их специальному испытанию. Средняя износоустойчивость по данным выборки оказалась равна 22 500 миль со стандартным выборочным неисправленным отклонением Ю = 3000 миль. Найти доверительный интервал с вероятностью 99% для средней износоустойчивости всего выпуска шин зтого типа. Генеральная совокупность распределена нормально. 4. Можно ли две независимые нормальные выборки (х„х„..., х„) и (у„у„..., у ) считать одинаково распределенными, если х = 2,7'„л,' =0,36; у=3,5; л,' =0,64; й = 10; т = 10; л,' — несмещенные оценки дисперсии? Проверить гипотезу на уровне значимости 10%.
5. За последние 5 лет годовой рост цен акции А составил в среднем 20% со средним квадратичным отклонением (исправленным) 10%. Построить доверительный интервал с вероятностью 95% для средней цены акции в конце следующего года, если в начале года она равна 1000 единиц. Вариант 3 1. Построить асимптотический доверительный интервал для параметра А показательного распределения. Точечную оценку параметра Х найти методом моментов. 2.
Проведена случайная выборка личных заемных счетов в банке. Из и = !000 отобранных счетов 60 оказались с задолженностью по возврату ссуды сроком до трех месяцев. Найти доверительный интервал с вероятностью 90% для доли счетов в генеральной совокупности, которые имеют задолженность до трех месяцев, если банк насчитывает 30 000 личных заемных счетов. 3. За последние 10 лет выборочные средние доходности по активам А и Б составили соответственно 10 и 15% с исправленными средними квадратическими отклонениями 5 и 7%. Можно ли утверждать, что вложения в актив Б более выгодны, чем в А, с уровнем значимости 11%? 454 Приеожения 4. По социологическому опросу среди 100 человек 20% пользуются стиральным порошком фирмы А.
Сколько еще людей надо опросить, чтобы с вероятностью 99% получить результат с точностью до 1%? 5. Найти мощность критерия по результатам одной выборки (х„х„..., х„), х,. е Ф(а, о') с известной дисперсией о', построенного для проверки нулевой гипотезы Н;. а = а, против альтернативной Н,: а = а, > а,. Вариант 4 1. Асимптотический способ построения интервальных оценок на примере биномиального распределения. Точечную оценку неизвестной вероятности найти методом моментов. 2. Принцип отношения правдоподобия. Теорема Неймана— Пирсона. 3.
В ходе аудиторской проверки фирмы была проведена случайная выборка записей по счетам. Из выборки и = 500 записей 10 содержали некоторые ошибки в самой записи или процедуре. Найти доверительный интервал для доли ошибок во всей генеральной совокупности с вероятностью 95%. Определить объем выборки, которую надо произвести аудитору, если он хочет определить с точностью 0,005 генеральную долю с доверительной вероятностью 95%. 4. В течение 100 рабочих дней магазин А посещало в среднем 198 человек в день, магазин Б — 202 человека. Есть ли основания утверждать (на уровне значимости 5%), что магазин Б более популярен, чем А, если числа покупателей в день имеют дисперсии, равные 200? 5. По выборке из 100 изделий нашли, что средний срок службы равен 1000 часов.
Построить доверительный интервал для среднего срока службы с вероятностью 90%. Время службы распределено по показательному закону. Для решения задачи необходимо вывести доверительный интервал для параметра показательного распределения. Вариант 5 !. Статистическая гипотеза. Критерий проверки нулевой гипотезы. Критическое множество. Ошибки первого и второго рода, размер и мощность критерия. 2.
Имея выборки (х„х„..., х„) и (у„у„..., у„) из двух нормальных генеральных совокупностей, построить доверительный 455 Приложения интервал для разности теоретических средних этих совокупностей в предположении, что они обладают одинаковыми, хотя и неизвестными дисперсиями. 3.
Среднее время сборки изделия было 90 минут. Инженер изобрел новый метод сборки этого изделия, и продолжительность сборки 1О изделий новым методом составила 79, 74, 112, 95, 83, 96, 77, 84, 70, 90 минут. Можно ли утверждать, что среднее время сборки сократилось (на уровне значимости 5%). 4. В условиях задачи 3 найти наименьший объем выборки, необходимый для получения значения среднего времени сборки в пределах 3 минут с доверительной вероятностью 95%.
5. За последние 5 лет выборочная дисперсия доходности актива А составила 0,04, актива Б — 0,05. Есть ли основания утверждать на уровне значимости 5%, что вложения в актив А менее рискованны, чем в Б? Вложения считаются более рискованными, если дисперсия больше. Примеры вариантов экзаменационных работ по математической статистике Вариант 1 1. Бета-распределение: определение, свойства, характеристики. Вычисление математического ожидания. 2. Критерий отношения правдоподобия.
Теорема Неймана— Пирсона. Применение к гипотезе о среднем для нормального распределения. 3. Доказать эффективность оценки методом максимального правдоподобия для математического ожидания в случае нормального распределения. 4. В выборке из 400 изделий средний срок службы составил 1500 часов. Известно, что срок службы изделия имеет показательное распределение. Построить доверительный интервал для среднего срока службы с надежностью 95%. 5. Средний дневной объем продаж фирмы составлял 860 единиц.
После реорганизации за 25 рабочих дней выборочный средний объем продаж составил 900 единиц с выборочным средним квадратическим отклонением 35 единиц. Можно ли утверждать на уровне значимости 5%, что реорганизация привела к увеличению среднего объема продаж? Приложения Вариант 2 1. Гамма-распределение: определение, свойства, характеристики. Вычисление математического ожидания и дисперсии. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
