Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Вариант 5 1. Случайная величина г, равномерно распределена на отрезке 1 — х, х1. Найти плотность распределения случайной вели- ЧИНЫ П = Вй— н~ 2 445 1 тр Приложения 2. Случайная величина г, имеет функцию распределения 1 — е", хя0, Р(х)= 2 1 1 — — е *, х>0. 2 Найти математическое ожидание АЦ, дисперсию Юг, и вероятность Р( — 1 < г, < 3). 3. Совместный закон распределения пары (г„п) задан таблицей. Зависимы ли г, и и (ответ обосновать)? Найти закон распределения ~'+ и, сот(ф — ц, Р, + ц).
4. Случайная пара (~, ц) равномерно распределена на множестве (х, у 1х!+! у ! < 1; у > О). Найти плотности распределения 1 и и. Ответить на вопрос о зависимости г, и 11 (ответ обосновать). 5. Прибор комплектуется из 2 деталей, вероятность брака для первой детали 0,1, а для второй 0,05. Пусть ~ — число бракованных среди 4 приборов. Найти распределение случайной величины г, и ее математическое ожидание.
Примеры вариантов экзаменационных работ по теории вероятностей Вариант 1 1. Пространство элементарных исходов. События (простые и сложные). Операции над событиями. Формулы де Моргана. Классическое определение вероятности. 2. Ковариация. Коэффициент корреляции и его свойства. 3. Группа из 20 студентов пишет контрольную работу из 4 вариантов (по 5 человек в каждом). Найти вероятность того, что среди случайно выбранных 5 студентов есть писавшие каждый вариант. 446 ! Приложения 4. Двумерная случайная величина (е, и) равномерно распре- делена на множестве (О < у я 4-х'~.
Проверить величины г, и и на независимость, найти их плотности. 5. Плотность случайной величины е равна (Се'", х <О, р (х)= 10, х>0. Найти константу С, функцию распределения Р(х), вероятность Р(-2 < ~ < 1), математическое ожидание Мг, и плотность г2 Вариант 2 1. Непрерывная случайная величина. Плотность непрерывной случайной величины и ее свойства.
Совместная плотность распределения двумерной случайной величины. Условия независимости случайных величин. 2. Нормальный закон распределения. Функция распределения нормально распределенной случайной величины. Правило трех сигм. Вычислить математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины. 3. Семь клиентов случайным образом обрашаются в 5 фирм. Найти вероятность, что хотя бы в одну фирму никто не обратится. 4. Найти плотность распределения суммы независимых случайных величин г, и и, если они равномерно распределены на отрезках 10, 21 и 11, 41 соответственно.
5. Плотность случайной величины г, равна ~Се* ', х<2, (О, х>2. Найти константу С, функцию распределения Р(х), вероятность Р(1 < г, < 4), математическое ожидание АЦ и плотность 1 Ч= 3-<, Вариант 3 1. Независимость событий„попарная и в совокупности. Независимые испытания Бернулли. Теорема о распределе- 44т ® Приложения нии вероятностей числа успехов в и независимых испытаниях Бернулли.
Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов. 2. Дать определение показательного распределения. Вычислить математическое ожидание и дисперсию. 3. Найти вероятность, что в 8-значном числе ровно 3 цифры совпадают, а остальные различны (число может начинаться с нуля). 4. Двумерная случайная величина равномерно распределена на множестве [0< у<4-(х-1)'].
Проверить величины г, и и на независимость, найти их плотности. 5. Плотность случайной величины Г, равна (С(х-1) ', х>2, р„(х) = [О, хя2. Найти константу С, функцию распределения Р(х), вероят- 1 ность Р(0 < г, < 4), плотность П= — „, математическое ожи- Э дание Мп. Вариант 4 1. Полная группа событий. Формула полной вероятности, формула Байеса (с доказательством). 2. Дать определение распределения Бернулли. Вычислить математическое ожидание и дисперсию. 3. Фирма нарушает закон с вероятностью 0,25. Аудитор об- наруживает нарушение с вероятностью 0,75. Проведенная им проверка не выявила нарушений.
Найти вероятность, что на самом деле они есть. 4. Найти плотность распределения суммы независимых слу- чайных величин г, и и, если ~ равномерно распределена на отрез- ке [О, 1], а и показательно распределена с параметром Х = 2. 5.
Плотность случайной величины г равна [ С(х + 2)' > х а [О, 2], р„(х) = [О, ха[0,2]. Найти константу С, функцию распределения У(х), вероят- 2 ность Р(-1 < е < 1), плотность П= —, математическое ожиг,+3' дание Мз. [ 44В Приложения ф Вариант 5 1. Определение вероятности события. Вероятность противоположного события. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения. Теорема умножения для независимых событий. 2. Дать определение распределения Пуассона. Вычислить математическое ожидание и дисперсию. 3. Курс акций за день растет или падает на 1 пункт равновероятно.
Найти вероятность того, что за 10 дней торгов курс акций упадет на 4 пункта. 4. Двумерная случайная величина (г„п) равномерно распределена на множестве $х-2)'+у' <9,у~О). Проверить величины Ч и и на зависимость, найти их плотности. 5. Плотность случайной величины г, равна -5 , .
-(; Найти константу С, функцию распределения Г(х), вероятность Р(0 < г, < 2), плотность П= 4-(, математическое ожидание Мп. Вариант 6 1. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева. Теорема Бернулли как частный случай теоремы Чебышева. Формулировка центральной предельной теоремы. 2. Случайная величина и ее законы распределения. Функция распределения случайной величины и ее свойства. 3. Два аудитора проверяют 8 фирм (по 4 фирмы каждый), у двух из которых есть нарушения. Вероятность обнаружения нарушений первым аудитором равна 0,8, вторым — 0,9. Найти вероятность того, что все фирмы-нарушители будут выявлены. 4. Найти плотность распределения суммы независимых случайных величин г, и и, если они показательно распределены с параметрами )~, = 1, Лл = 2 соответственно.
5. Плотность случайной величины г, равна Се '""', х>-1, р (х)= О, х <-1. 449 Приложения Найти константу С, функцию распределения Г(х), вероятность Р(9' < 1/4), математическое ожидание МС и плотность П=(Р,+2)'. Примеры вариантов контрольных но математической статистика Контрольная работа М 1. Точечные оценки Вариант 1 1. По выборке х„ х,,..., х„методом моментов найти оценки параметров равномерного распределения на отрезке 1а, а1. 2.
Доказать состоятельность, несмешенность и эффективность оценки функции распределения. 3. Пусть случайная величина 9 подчиняется стандартному нормальному закону распределения: с а )т(0, 1). Найти функф2 цию плотности вероятностей случайной величины и = —. К ка- 2 кому параметрическому семейству распределений относится П? 4.
Докажите, что сумма двух хи-квадрат-распределенных случайных величин имеет хи-квадрат-распределение. 5. Ежедневный спрос на некоторый товар имеет равномерное распределение на отрезке 1а, Ь]. За период наблюдения спрос составил в среднем 150 кг с исправленной выборочной дисперсией 243 кг'. С помошью метода моментов оценить, сколько потребуется товара, чтобы удовлетворить ежедневный спрос с вероятностью 95%. Вариант 2 1.
По выборке х„х„..., х„методом максимального правдоподобия найти оценку для параметра О в показательном законе распределения л е ~(х,О)= О О, х>0 х<0 45о Исследовать оценку дисперсии на состоятельность и несмешен ность. 2. Известно, что х„х„..., х„— случайная выборка из генеральной совокупности с геометрическим распределением веро- приложения ф5 ятностей Р(г, = lс) = (1 — р)р' ', й = О, 1, 2, .... Методом моментов найти оценку параметра р и доказать ее состоятельность. 3. Пусть х„х„..., х„, у„у„..., у — случайные выборки объема н и т, извлеченные из нормально распределенной генеральной совокупности Ф(а, о'). Доказать, что 2 1 2.
2 1 2. л„'= — ~ (х, — х)', з,' = — х ~(у, — у)'; п-1, ' т — 1, 2 1( П 2 ( 1) 2) "' н+т-2 являются несмешенными оценками параметра о'. 4. Пусть Р„Е„, ..., г,„независимые нормально распределенные случайные величины: г„. в Ф(0, о'). Найти плотность распределения и = ~„ф,'.. лн 5.
Известно, что некоторая работа занимает время, состояшее из постоянного периода и случайной задержки, распределенной показательно. Хронометраж рабочего времени показал, что работа занимает как минимум 30 минут, а в среднем — 45 минут. С помошью метода максимального правдоподобия оценить вероятность того, что работа будет закончена за час. Вариант 3 1. В случае известного математического ожидания а при 4 е Ф(а, о') методом максимального правдоподобия найти оценку дисперсии и исследовать ее свойства. 2. Доказать несмешенность, состоятельность и асимптотическую нормальносп выборочных начальных моментов. 3.
Случайная величина задана функцией плотности распределения 10, х<0. ~Ю Доказать, что С = — и найти л)4 и 1Ц. Г(а) 4. Пусть х„х„..., х„— выборка независимых наблюдений из непрерывного распределения с функцией плотности р(х) и функцией распределения Р(х). Найти функцию распределения и функцию плотности крайних членов вариационного ряда: х ж н х 45е Приложения 5. Известно, что доля возвратов по кредитам в банке имеет распределение Г(х) = хо, 0 < х < 1. Наблюдения показали, что в среднем она составляет 80%.
С помощью метода моментов оценить параметр 0 и вероятность того, что доля возврата опустится ниже 70%. Вариант 4 1. По выборке х„х„..., х„методом максимального правдоподобия найти оценки параметров равномерного распределения на отрезке [а, Ь1. 2. Доказать состоятельность, несмещенность и эффективность среднего арифметического как оценки математического ожидания. 3. ПУсть го, Рп Г„..., ~„— независимые ноРмально РаспРеделенные случайные величины гн а Ф(0, а'), 1 = О, 1, 2, ..., и и = ( — ~~" г„. Найти плотность распределения г = —. 1о и ли Ч 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
