Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Дисперсия непрерывной случайной величины равна А) ""= 3(" В) Ж= )( -х) Р(х)ах; Г) И,= — )(х-х)'ах. п 8. Оценкой для неизвестного параметра называется: А) истинное значение параметра; Б) угаданное значение параметра; В) функция от выборки; Г) число, отличающееся от параметра не более, чем на заданную величину. 9.
Доверительный интервал для параметра а нормального распределения при неизвестной дисперсии имеет вид: А) х-сиял/и<а<х+си„,/и; Б) х — ои„ / /и < а < х + ои / /п; В) х-л~, / (п<а<х+лглл/ (п; Г) (х-л1„я/ Гп<а<(х+л~„л)/ /и. 10.
Критической областью при проверке статистических гипотез называется: А) область значений наблюдаемой статистики, в которой верна основная гипотеза Н,; Б) область значений наблюдаемой статистики, в которой верна альтернативная гипотеза Н,; В) область значений наблюдаемой статистики, в которой отююняется основная гипотеза Н,; Г) область значений наблюдаемой статистики, в которой отклоняется альтернативная гипотеза Н, . етз Приложения Задачи 1. В лифт семиэтажного дома на первом этаже входят пять человек.
Какова вероятность того, что на первых трех этажах (начиная со второго) вышли два человека при условии, что все вышли на разных этажах? 2. Поставки продуктов в город производятся из трех областей в количествах 20, 45, 35%. Доля продукта высшего качества в поставках составляет 45, 40, 25%. Покупатель купил продукт высшего качества. Какова вероятность того, что он произведен в первой области? 3. Плотность распределения случайной величины с имеет ] О,хе[0,4], [Сх~, ха[0,4].
Вычислить константу С и математическое ожидание М~. 4. Совместное распределение двух дискретных случайных величин ~ и и задано таблицей. Исследовать вопрос о независимости с и и. Вычислить РЦ + П < 2) и соч(Рнч). 5. Яблоки упаковываются в коробки весом по 10 кг. Случайная выборка 9 коробок с яблоками выявила, что средний вес коробки равен 9 кг с выборочной дисперсией 4 кг. На уровне значимости 5% проверить гипотезу о том, что средний вес коробок с яблоками равен 10 кг. Вариант 6. Теоретическая часть 1. Число размешений (без повторений) т элементов из н равно А) и!/т!; Б) т/н; 474 Приложения ® В) и!/(и-т)1; Г) т (и-т) 2.
Какое из свойств условной вероятности НЕ верно: А) Р(А!В)Р(В)» Р(В!А)Р(А); Б) Р(А!В)»1-Р(А!В); В) Р(А!В)»0, если Аг~В»Ф; Г) Р(А ! В) = 1, если А ~ В. 3. Приближенная формула Пуассона имеет вид: А) Р„(т)= — е, где Х = ир; л т! Б) Р„(т)» — е, где л. = тр; Х т! В) Р„(т) и т! и! Г) Р„(т) т!(и-т)! 4. Пусть событие А может произойти совместно с некоторыми событиями (гипотезами) Н,. Какое условие нужно для применения формулы полной вероятности? А) события Н, образуют полную группу событий; Б) события Н,.
независимы; В) события Ня содержат в себе один из двух исходов; Г) все приведенные ответы верны. 5. Пусть г, — непрерывная случайная величина с плотностью р(х) и функцией распределения Р(х). Какое из следующих свойств верно: А. Р(а < с < Ь) = Р(Ь) — Р(а); Б. Р(а < 4 < Ь) = р(Ь) — р(а); В. Р(а < 5 < Ь) = р(а) — р(Ь). Г. Р(а < 5 < Ь) = (Р(а) + Р(Ь))/2. 475 Ррияожения б.
Случайная величина распределена по геометрическому закону, если: А) ее плотность ~(х) = р(1 — р)" ' при х ~ 0; Б) ее закон распределения имеет вид У(г, = т) = (1 — р) 'р; В) ее закон распределения имеет вид РЦ = кя) = (1 — р) Г) ее плотность 7'(х)=Хе '" при х>0. 7. Дисперсия дискретной случайной величины равна: А) ЮЕ=~ (~„-Мг)'. к ! Б) Юй=~~(»к ™~)'кок. к У В) к)4=-~(хк -х)', кк к 8. Оценка называется состоятельной, если: А) среди всех оценок она наиболее точно описывает параметр; Б) ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру; В) с ростом числа наблюдений она сходится по вероятности к параметру; Г) с ростом числа наблюдений она сходится к вероятности успеха.
9. Надежностью доверительного интервала называется: А) вероятность того, что оцениваемый параметр попадет в интервал; Б) вероятность того, что оцениваемый параметр не попадет в интервал; В) длина доверительного интервала; Г) половина длины доверительного интервала. 10. Пусть основная гипотеза Н,:а =ае отклоняется. В атом случае: А) делается вывод, что истинное значение параметра а отличается от а„' приложения ев Б) нужно дополнительно посчитать выборочное среднее х; В) мы совершаем ошибку 1-го рода; Г) мы совершаем ошибку 2-го рода. Задачи 1. Семь клиентов случайным образом обращаются в 5 фирм.
Найти вероятность того, что хотя бы в одну фирму никто не обратится. 2. В ящике 20 теннисных мячей, в том числе 12 новых и 8 игранных. Из ящика извлекаются наугад два мяча для игры и после игры возвращаются в ящик. После этого из ящика вынимают два мяча для следующей игры. Найти вероятность того, что эти оба мяча будут новыми (неигранными). 3.
Совместное распределение двух дискретных случайных величин ~ и и задано таблицей Определить константу С. Вычислить вероятность сот(г„н) и Р(4+Ч >3). Исследовать вопрос о независимости г, и и. 4. Плотность распределения случайной величины г, имеет вид (О,хе[О,Ц, р(х) = (:»', х е [О, 1). Вычислить константу С и математическое ожидание Мг,. 5. Средний дневной объем продаж в магазине составлял 500 единиц. После реорганизации выборочный средний дневной объем продаж за 25 рабочих дней составил 520 единиц с выборочным средним квадратическим отклонением 40 единиц. Можно ли утверждать (на уровне значимости 5%), что реорганизация привела к увеличению среднего дохода? 4?т © приложения Примеры задания по математической статистике для самостоятельной работы 1.
Вычислить дисперсию и моду распределения Стьюдента. 2. Проверить, к какому распределению сходится распределение Фишера Г(п, т) при а) л-+со; б) т-+со. 3. Доказать основные свойства бета-распределения. 4. Вычислить математическое ожидание, моду и дисперсию бета-распределения. 5. Показать, что выборочные средние квадратические отклонения, полученные по исправленной и неисправленной дисперсии для нормального распределения, являются смешенными оценками. Вычислить их математическое ожидание. 6. Показать, что оценка максимального правдоподобия для параметра Х показательного распределения является смещенной. Построить на ее основе несмещенную оценку. 7.
Для оценивания параметра о нормального распределения /с~" Ж(0, о') используют оценку вида а = ~ — Дх,.!. Найти константу с, при которой оценка окажется несмещенной. Вычислить эффективность оценки. 8. Для равномерного распределения на отрезке [О, 30] найти оценку максимального правдоподобия, вычислить ее математическое ожидание. Построить на основе этой оценки несмещенную оценку и доказать ее сверхэффективность. 9. Случайная величина принимает значения -1, 0 и 1 с вероятностями (1 — О)/3; 1/3; (1 + О)/3 соответственно, О Е [-1; Ц. Построить для параметра О оценки методом моментов и методом максимального правдоподобия, а также асимптотический доверительный интервал (на основе метода моментов).
10. Проверяется нулевая гипотеза о том, что случайная величина равномерно распределена на отрезке [-1; Ц, против гипотезы, что она имеет распределение Лапласа. Построить критерий отношения правдоподобия при и = 2 с уровнем значимости а < 1/2. 478 Приложения 11. Доказать, что распределение Стьюдента с ростом числа степеней свободы сходится к стандартному нормальному распределению. 12. Вычислить математическое ожидание и дисперсию распределения Фишера. 13. Для распределения Коши с плотностью р(х) = 1 к(1+(х-О)') строится оценка максимального правдоподобия параметра О по двум наблюдения. Определить, при каких х, и х, эта оценка существует и единственна.
14. Для распределения Лапласа с плотностью р(х) =(Х/2)е '"' построить несмещенную оценку параметра Л и проверить ее на эффективность. Проверяется нулевая гипотеза о том, что случайная величина равномерно распределена на отрезке [О; Ц, против гипотезы, что она имеет показательное распределение р(х) =Хе ~, х ~ О.
Построить критерий отношения правдоподобия при и = 2 с уровнем значимости а < 1/2. Приложение 2 ТАБЛИЦЫ Таблица з. Значения функции ер(х) = — е " " ч'2кн 479 4 «» о СЪ" о СЪ СЪ «ч Оъ о СЪ СЪ" СЪ «» «» М «» «»" ЧЪ о СЪ О о СЪ «»" С» О о о «» «» о о о о «»" «О Г\ МЪ «О Ю С» «» «Ч «» о СЪ Съ о Съ «» 04 о 4 о о й 3 о о 48д Приложения Оъ ЧЪ ъО ° т Оъ о «О «О че ГЪ «» «Ч Ч» о 4 00 С» Оъ 04 ЪО о" ЧЪ 4' л «Ъ о Оъ «ч Оъ 4'Ч «» ЧЪ «»" ГЪ 4 Съ" Оъ «» «»" «'4 00 «Ъ «» СЪ" 44' С» СЪ о Оъ «» о Оъ о «Ч ь Съ" ъО о «» «'Ч СЪ «»" Оъ Съ о «» о 40 ГЪ о «»" л СЪ СЪ СЪ СЪ" о '«Ъ С» о СЪ о ГЪ Ф о О «» СЪ «» о 3 8 «»" Ю 8 о Ф о СЪ СЪ 8 СЪ СЪ 3 «» «Ч 00 о «»" о «» «ч «» о 4 'Ф 00 о о 00 .0 «Ч «» Съ" Оъ ъо Д С» «»" ЪО «Ч 4 «» о" Оъ ъО '«Ъ о «» Ч» О О о" «Ч ГЪ «ч С» СЪ" «Ч СЪ Съ" ЪО «» о Оъ 4' о Ю ъО МЪ «Ч «» «Ч «» Ю «Ч СЪ 4' «Ч «»Ъ СЪ «» «4 4'Ъ 40 СЪ" Съ '0' ь" Ю Оъ о Оъ '«Ъ о о «О ъО «» Ю '«Ъ «Ч «» Приложения С» сч ЧЪ 3 3 о о" С» СЪ" о с» 33 о СЪ" о о СЪ о 3 Ъ с» с» 00 сч ЧЪ с» С» с» с» С»" с\ ЧЪ сч с» о ь 30 с с» СЪ о о о" о" ъо 8 с» сч СЪ 3 3 сч с» о с» о" о С» с» с» С» С»" ° е СЪ с» С» с» С»" 8 8 о о СЪ С» С Со 485 С4 00 П ЧЪ с "3' ЧЪ 3 сЧ С» ОЪ с» о с сч М с» Е С» о" сч о о" сч ъО с» Ч» о С 3 3 ЧЪ с» 3 3 СЪ с» СЪ С 3 СЪ о О М СЪ съ 'е СЪ" СЪ с»" Ч» СЪ С»" ЧЪ ОЪ П о о ЧЪ ЧЪ о с» и С» о с» о" О сч о с'Ъ СЪ" 3 О сЧ С» СЪ" с 00 О с» о" ь 8 сч о" 3 00 й о с» 3 СЪ ь" О М 04 с» СЪ 04 с ъ о СЪ" с \ 40 с» СЪ" Оъ о с» СЪ" Ю сч сч Съ С»" ЪО С» о с сч С» о СЪ о 3 сЧ Ч» с» с» 8 С» о с» с»" о 3 о о 3 СЪ" 3 3 с» ь сч о" С» о о С» с» СЪ с» о с» о" 3 сч 3 СЪ" 3 СЪ С»" 3 8 С»" С» о 8 с»" !~8 Приложения 0» о г и» СБ О» 0» О» С» О» ° г г СБ 0» '0 О» О о" сч С'4 СР СО с 00 О» г" о «о Б« сн 00 00 с" ч» чг о 00 Сс г" о сн ° г Г4 о о С» '0 '0 о !! Ь 00 О» а«г «г" о" о СО" О О« ° г «Г о й Х р' Х о о с г ,О Х сч сч сч О» 00 и« с»" ОО" сч ь О» СР 0» л С» Ьс О««О «О О о сч" 3 О» «г М» 04 и 00 О» О» О» о г о сч о СБ Б ч» 0» С» с о ч» сч сч О сч и» СО «Г С» с!88 а $ а 3 $ Р $ 4 и» 4 4 И 3 ! О 0» О» с» О«с» СБ ю «« с о ,с»" СБ О О» СЧ о ч» Б О«г О г"" Б О»" Ч» с» г-" ч» ч» 0» СЧ со о с= г-" гБ 0» О» СЧ С» и» О О» Ч» со СЧ СЧ 0» Приложения ОО гч О м1 о ° е е о о сч м~ е о С а Ф о о о а Е <1 о о о 'о лч со е" и а г м~ сч о Ю М чГ с сч еч о сч о еч а и гч а $ ЧР сч сч (ч ф м" сч г- о е о (ч" о ю сч о сч" 489 Приложения Таблица у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
