Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Понятие доверительного интервала. Точные доверительные интервалы лля параметров нормального распределения. 3. Доказать эффективность оценки максимального правдоподобия параметра 0 показательного распределения р(х) =(! / О)е "~', х > О. 4. Проведены испытания новой машины, упаковываюшей товар в пакеты. По выборке из 30 пакетов получено выборочное среднее квадратическое отклонение веса 0,7 г. Построить доверительный интервал с надежностью 95% для дисперсии веса пакета при упаковке машиной.
5. В прошлом году средняя зарплата жителей города Булкино составляла 7300 руб. В этом году выборка из 400 человек показала, что средняя зарплата составляет 7320 руб. при выборочном среднем квадратическом отклонении 150 руб. Можно ли на уровне значимости 5% утверждать, что зарплата жителей города увеличилась? Вариант 3 1. Распределение Стьюдента: определение, свойства, характеристики.
Доказать сходимость при и - оо к нормальному распределению Ф(0, 1). 2. Понятие асимптотического доверительного интервала. Методы построения асимптотических доверительных интервалов. Примеры построения интервалов для вероятности «успеха» в испытаниях Бернулли (двумя методами). 3. Доказать несмешенность, состоятельность и эффективность эмпирической функции распределения как оценки теоретической функции распределения. 4. Импортер упаковывает чай в пакеты.
Известно, что наполняющая машина работает со средним квадратическим отклонением, равным 0,8 г. Выборка 100 пакетов показала средний вес 99,9 г. Найти доверительный интервал для среднего веса пакета с надежностью 90%. 5. Проведено исследование батареек фирм «Винтик» и «Шпунтик». По выборке из 10 батареек фирмы «Винтик» получен средний срок службы 207 часов с выборочным средним квадратическим отклонением 11 часов, по выборке из 16 ба- 4»7 Приложения тареек фирмы «Шпунтик» вЂ” средний срок службы 194 часа с выборочным средним квадратическим отклонением 8 часов.
Можно ли утверждать на уровне значимости 10%, что в среднем срок службы батареек этих двух фирм одинаков? Вариант 4 1. Распределение Фишера: определение, свойства, характеристики. Проверить, к какому распределению оно сходится при т -»ое. 2. Основные понятия в проверке гипотез: основная и альтернативная гипотезы„статистика критерия и критическая область, ошибки первого и второго рода, уровень значимости и мощность критерия. 3. Доказать эффективность оценки максимального правдоподобия для вероятности «успеха» р распределения Бернулли с числом испытаний т. 4.
За 100 рабочих дней в магазин в среднем обращалось 289 человек в день. Известно, что число покупателей в день описывается распределением Пуассона. Построить доверительный интервал для среднего числа покупателей в день с надежностью 90%. 5. Старая наполняющая машина работала со средним квадратическим отклонением веса упаковки 1 г.
Были проведены испытания новой машины. По выборке из 30 упаковок товара получено выборочное среднее квадратическое отклонение 0,7 г. Можно ли утверждать на уровне значимости 5%, что для новой машины среднее квадратическое отклонение меньше? Вариант 5 1. Распределение хи-квадрат: определение, свойства, характеристики. Доказать, что у„' =у(н/2, 1/2). 2; Метод наименьших квадратов. Система нормальных уравнений. Теорема Гаусса — Маркова.
3. Доказать эффективность оценки методом моментов для параметра Х распределения Пуассона. 4. В деревне Ложкино проведено выборочное исследование доходов. По выборке из 25 человек получен выборочный средний доход 4750 руб. с выборочным средним квадратическим отклонением 150 руб.
Построить доверительный интервал для среднего дохода с надежностью 95%. 488 Приложения 5. Фирма разослала 1000 рекламных каталогов и получила 140 заказов. Можно ли утверждать на уровне значимости 5%, что эффективность рекламы повысилась, если в прошлом году фирма получила 100 заказов (при том же объеме рассылки)? Вариант 6 1. Бета- и гамма-функции: определения и свойства. Найти Г(11/2) и В(9/2,5/2). 2.
Критерии согласия Пирсона — Фишера (хи-квадрат) и Колмогорова. 3. Построить оценку математического ожидания, эффективную в классе линейных несмещенных оценок, в случае неравноточных наблюдений. Вычислить ее дисперсию. 4. Фирма разослала 1000 рекламных каталогов и получила 140 заказов.
Построить доверительный интервал для эффективности рекламы (вероятности заказа по каталогу) с надежностью 90%. 5. В городах Глашино и Дашино проведены выборочные обследования доходов жителей. По выборкам из 100 человек получено, что в Глашино средний доход 8020 рублей с выборочным средним квадратическим отклонением 190 рублей, в Машино средний доход 7960 рублей с выборочным средним квадратическим отклонением 160 рублей.
Можно ли утверждать на уровне значимости 5%, что в Глашино живут в среднем богаче, чем в Дашино? Примеры вариантов экзамена по теории вероятностей и математической статистики дяя менеджеров Вариант 1. Теоретическая часть. 1. Формула полной вероятности имеет вид А. Р(АВ)=Р(А!В)Р(В). Б. Р(А)=~, Р(Н, !А)Р(Н„). В. Р(А)=~„,Р(А!Н,)Р(Нл). 1". Р(Н„/ А) = Р(А ! Н„) Р(Нл ) / Р(А) 459 Приложения 2. Свойством испытаний Бернулли является следующее: А) все исходы испытаний равновероятны; Б) испытания заканчиваются одним из двух исходов; В) вероятность успеха определяется результатом одного произвольного испытания; Г) все приведенные выше ответы верны. 3.
размещением т элементов из п называется: А) упорядоченный набор л элементов из множества, содержащего т элементов„ Б) упорядоченный набор т элементов из множества, содержащего л элементов; В) неупорядоченный набор лл элементов из множества, содержащего и элементов; Г) операция перемены мест и элементов во множестве, содержащем л элементов.
4. Случайная величина называется дискретной, если она: А) зависит от случая; Б) принимает конечное или счетное число значений; В) равна числу успехов в схеме Бернулли; Г) задается своей функцией распределения. 5. Какое свойство НЕ является свойством функции распределения: А) Г(х) не убывает; 1пп Г(х) =1; В) Р(аяЦ<Ь)жГ(Ь)-Г(а); Г) Г(х) непрерывна. 6. Случайная величина распределена по показательному закону, если: А) ее закон распределения имеет вид Г(г,=1г)жА"е '//с; Б) ее плотность р(х)ж(1/ /2я)е ""; В) ее плотность Г(х) =Хе ~,х~ О; Г) ее функция распределения Г(х)=е при х>0.
або Приложения 7. Дисперсию дискретной случайной величины можно найти по формуле: А) РЕ,=М(»-М»); Б) 27»=соч(», М»); В) 27» = М(»- М»)'.; Г) ни один из ответов не верен. 8. Метод моментов для нахождения оценок заключается в: А) поиске распределения случайной величины; Б) приравнивании выборочных моментов к теоретическим; В) максимизации функции моментов; Г) вычислении л'. 9.
Доверительный интервал для параметра — это интервал: А) в который параметр попадает с максимальной вероятностью; Б) в котором параметр лежит с заданной вероятностью; В) в котором лежат все возможные значения параметра; Г) в котором выборочное среднее лежит с заданной вероятностью. 10. Распределение Фишера имеет: А) один параметр — число степеней свободы; Б) один параметр — уровень значимости; В) два параметра — два числа степеней свободы; Г) два параметра — уровень значимости и число степеней свободы. Задачи 1. В очередь в булочную случайным образом встали 5 женщин и 2 подростка. Какова вероятность того, что два подростка стоят в очереди рядом? 2. Фирма нарушает закон с вероятностью 0,25. Аудитор обнаруживает нарушение с вероятностью 0,85.
Проведенная им проверка не выявила нарушений. Найти вероятность того, что на самом деле они есть. обе Приложения 3. Плотность распределения случайной величины с имеет вид ж О,х я[1,4], р(х) = С(х -1), х а $1, 4) . Вычислить константу С и вероятность Р(~>3). 4. Совместное распределение двух дискретных случайных величин с и Ч задано таблицей.
Зависимы ли эти величины? Вычислить Р(4+Ч < 2) и соч(с, 11) . 5. По выборке из 25 упаковок товара средний вес составил 105 г при выборочном среднем квадратическом отклонении (исправленном) 5 г. На уровне значимости 10% проверьте гипотезу о том, что средний вес упаковок товара в генеральной совокупности равен 100 г. Вариант 2. Теоретическая часть 1. Теорема умножения вероятностей имеет вид: А) Р(АВ) ж Р(А ~ В)Р(В); Б) Р(АВ) = Р(А')Р(В); В) Р(АВ)=Р(В~А)Р(В); Г) Р(А)Р(В)= Р(А / В)Р(В~ А). 2. События А и В независимы, если: А) Р(АВ)=0; Б) Р(А!В)=Р(В); В) Р(АВ)= Р(А)Р(В); Г) А и В не пересекаются. 3. Каково классическое определение вероятности: А) Р(А)жФ(А)/Ф; 46х Приложения Б) Р(А) равна 1, если А произошло, и О, если А не произошло; В) РЯ=т)=С„Р"д" "; Г) Р(ь=е)=РЧ 4.
Случайная величина распределена по Пуассону, если: А) ее закон распределения имеет вид Р(Ц=/с) =)."е '; Б) ее плотность Р(х)=Ае '", х>(; В) ее закон распределения имеет вид Р(е,='х) = р'е" ', Г) ее закон распределения имеет вид Р(г,=х)=А'е '/И 5. Приближенная формула Пуассона используется в случае, когда: А) и велико, лр < 10; Б) и велико, лр > 10; В) л любое, лр > 10; Г) недостаточно данных для точного подсчета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
