Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика, страница 61

55. Х = 1,535. На основе оценки методом моментов — 46%, по таблице — 39%. 56. На основе оценок методом моментов — 63%, по таблице — 65%. 57. На основе оценок методом моментов — 16%, по доле в выборке — 20%. 58. О = 9,6 (мин). 59. 783 порции. 60. а = 82; Ь = 1!8 (кг); товара нужно 110,8 кг. 61. 45 ошибок. 62. 9; 0,075. 63. 1 — е'= ы 0,86.

64. 119,2 (кг). 65. 0,17. 66. 11,63%. 67. р = 0,4. 68. х = 0,05; р = 0,05. 69. а = 3,94. Средний доход— 67 тыс. руб.; доля жителей 6,5%. 70. зт = 30; О = 4,7; Т = 51,64 (мин). 71. тг = 8,244; о = 0,059; доля людей 29%. 72. О = 9,2; О = 11,04 (мин). 73. а = 72; тгг = 128 (кг); товара нужно 122,4 кг. 74. 1 — е' 0,86. 75. +2,3%. 76. у = 866,27 + 16,8(х — 2000); у (2004) = 933,47.

77. а) у = 67,98 + 10,79(х — 2000); у (2003) = = 100,35; б) у = 39,44 + 7,74(х — 2000); у (2003) = 62,66. 78. а) у = -7,26 + 0,69х; у (90) = 54,84; б) у = 0,58х; у (90) = 52,22. 79. у = 0,943х; у (2600) ы 2452, 75. у = 10,37 + + 0,34(х — 1960). 76. а) у = 2012,6 — 308(х — 1994); у (1997) = = 1088,6; б) у = 3305,2 — 432,2(х — 1994); у (1997) = 2008,6; в) у = 2087,6 — 229,3(х — 1994); у (1997) = 1399,7; 77. у = 88,1 + 11,3х; у (6) = 155,9. 78.

у = 8,81 — 0,43х; у (1!) = = 4,08. 79. у = -1153,5 + 2,59х. 80. у = 8625 + 0,84х. Глава а4 г г 1. Гх- — ") <Х<~Л+ — ", где Ф,(и„)= —. 2. 2хехр —" <О<2хехр —" 4г5 ф Ответы и указания 3. — ехр —" <Л< — ехр —" з 2 4 зlях - —" <а< зИ+ — т 5. зГх- — ' <г< Гх+ —" (у(1 — т ) 1у(1 — и) 6. у-и„( р<у+и, Г ' тГ птл х в1п агсв1пчв — < р<в1п атсвтпчу+, где у= —. 2тlлтл з' ,я) Вычислительные задачи 7. Ь = 0,39 (мм). 8.

л = 81. 9. 4,02 < а < 5,98. 10. л = 82. 11. 0,28 < а < 3,72. 12. 65,46 < а < 89,54 (человек на фирме); 78 552 < Ф < 107 448 (человек в отрасли). 13. 34,66 < а < 50,94. 14. а) 3,51 < о < 9,31; б) 11,24 < о < 18,85. 15. 0,74 < о < 1,55.

16. 0,43 < о < 1,02. 17. 99,97 < а < 15,65 (г); 5,93 < о' < 15,65 (г'). 18. 72,98 < о < 164,4. 19. 19 250 < а < 25 750. 20. 123,03 < а < < 128,57 (г); л = 96. 21. Цена актива от 220,5 до 276,5 д.е. 22. 80,11 < а < 119,89 (д.е.); п = 792. 23. 77,04 < а < 94,96 (мин). 24. 56,05 < а < 86,17; 28,52 < х < 113,7 (млн т).

25. 28,64 < а < < 42,44; 16,03 < х <55,05 (млн т). 26. 14,3 < а < 17,4; 10,71 < а < < 20,99 (и/га). 27. 49,53 < а < 50,49 (г). 28. 5,43 < а < 5,49; 5,12 < х< 5,8. 29. а) 19,35 < а < 19,65 (мес.); б) 0,9544; в) п = 81. 30. 0,47 < р < 0,73. 31. 0 < р < 0,03. 32. 0,71 < р < 0,73.

33. а) 0,08 < р < 0,12; б) 0,08 < р < 0,12. 34. 0,55 < р < 0,65. 35. 0,55 < р < 0,73. 36. л = 10 551 (человек). 37. 0,1 < р < О,!4. 38. 0,05 < р < 0,07. 39. 0,01 < р < 0,03; и = 3012 (записей). 40. 251,89 < Л < 260,14 (покупателя). 41. 1813,3 < О < 2205,93 (часа). 42. 847,89 < 9 < 1179,39 (часа). 43. 0,15 < р < 0,25. 44. 1,44 < Л < < 1,64 (сделки). 45. 0,84 < Л < 0,96 (сорняки). 46. 1,56 < О < 2,04 (покупки). 47. 0,3 < р <0,6.

Азб Ответы и указания Глава з5 Теоретические задачи 1. з'= х: —,~(хт-а) >2„„ в т-! !. з=(* т я . Яа-ь7 )! е,м=!тт-к е,м,!-!тт-з; ((,тяа!-т.!-„/та!-т,!1 (ь-л,)' р ! — ~ ( тГ ттзтГ~ (Л, -Л,)' П 4. з-(*:т,~к т~..„~. ! ! 5. В общем виде: Х=(х:~х~ >Цт.т х:~ х,'<С; !-"! в ы ~т: з-т!,,! !! т!е! !! (,'+,',— ). Вычислительные задачи 6. а) Мощность критерия 0,44; б) и = 25. 7. а) х > 19,3. Нулевая гипотеза принимается; б) мощность критерия 0,6368. 8. а) х > 308,25; б) 8= 0,36; в) л = 81.

9. л = 237. 10. Нулевая гипотеза отвергается. 11. Мощность критерия 0,66. 12. Нулевая гипотеза принимается. 13. Нет. 14. Нулевая гипотеза отвергается. 15. Нулевая гипотеза принимается. 16. Да. 17. Нет. 18. Да. 19. Да. 20. Да. 21. Да. 22. Нулевая гипотеза отвергается. 23. Нулевая гипотеза отвергается. 24. Да. 25.

Да. 26. Да. 27. Да. 28. Да. 29. Нулевая гипотеза принимается. 30. Нет. 31. Да. 32. Да. 33. Нет. 34. Нет. 35. Да. 36. Да. 37. Да. 38. Нет. 39. Нет. 40. Нулевая гипотеза принимается. 41. Нулевая гипотеза принимается. 42. Нулевая гипотеза отвергается. 43. Да. 44. Нулевая гипотеза отвергается. 45. а) Нулевая гипотеза принимается; б) нулевая гипотеза отвергается. 46. Да. 47. Нулевая гипотеза отвергается. 48. Нулевая гипотеза принимается. 49.

Нет. ьзт Ответы и указания 50. Нет. 51. Да. 52. Да. 53. Да. 54. Да. 55. Да. 56. Да. 57. Нет. 58. Нет. 59. Да. 60. Да. 61. Да. 62. Да. 63. Нет. 64. 1) Нулевая гипотеза принимается; 2) У = 4,69. 65. Да. 66. Да. 67. Да. Глава а6 1. Да. 2. Да. 3. Да. 4. Да. 5. Нет. 6. Да. 7. Да. 8. Нет.

9. Да. 10. Нет. 11. Да. 12. Да. 13. Да. 14. Да. Глава 17 1. а) г = -0,18; зависимости нет; б) г = 0,24; зависимость есть; в) г = 0,01; зависимости нет; г) г = -0,05; зависимости нет; д) г = 0,61; зависимость есть. 2. а) г, — 0,43; б) г, = 0,07; в) г, = -0,1; г) г, = -0„18; д) г, = 0,62. 3. г,= 0,73. Мнейия экспертов достаточно хорошо согласованы. 4. г = 0,90; г = 0,89. 5. г = 0,78; г = 0,76. Глава а8 1.

Да. 2. Нет. 29,61 < а, < 62,39; 69,62 < аз < 96 38; 69 05 лз < 108,95. В Северном округе дела идут хуже, чем в Южном и Восточном (где примерно одинаково). 3. Да. 4. Да. 5. Да. Глава а9 1. а) уг„(у) =2098+103,67у, где у — номер месяца (от начала наблюдений); б) уг„(у)=ехр(7,72+0,03у). Прогнозы на 2004 г. представлены в таблице. 428 Ответы и уивявиия Продолжение тиабе. 2. гг.(г)=ехр(8,2024+0,007г), где г — номер месяца (от начала наблюдений). Здесь и далее сезонные индексы, как и прогнозируемые значения, округлены до целых. 4з9 Ответы и указания 3. уг„(г)=10836+39,285у, где г — номер месяца (от начала на- блюденнй). 4. тг„(у) =ехр(5,44к-0,01т), где г — номер месяца (от начала на- блюденнй). Ответы и унааанив Продолжение табл.

5. а) 1е„(г) = 815,87+16,8с, где г — номер года (начиная с 1998-го). Прогноз: 933,5. б) те„(г)=ехр(6,7+0,02т). Прогноз: 934,5 (млрд кВт ч). ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение а Примеры вариантов контрольных работ но теории вероятностей Контрольная работа № 1. Случайные события Вариант 1 1. Определения пространства элементарных исходов, события.

События несовместные, противоположные, образующие полную группу событий, и их свойства. 2. Вероятность изготовления стандартной детали на автомате равна 0,95. Изготовлена партия — 200 деталей. Найти наивероятнейшее число стандартных деталей в этой партии и его вероятность. 3. Электроэнергия поступает в регион с некоторой постоянной интенсивностью по трем электролиниям. Каждая электролиния может быть отключена в течение дня с вероятностью 0,1. Если отключается только одна электролиния, то регион испытывает недостаток электроэнергии с вероятностью 0,2, если отключается 2 электролинии, то с вероятностью 0,5, если 3— то с вероятностью 1. Какова вероятность, что в день проверки регион испытывает недостаток в электроэнергии? 4.

Шесть шаров случайным образом раскладываются по 3 ящикам. Найти вероятность того, что во всех ящиках будет разное число шаров. 5. В коробке 3 детали. Событие А, состоит в том, что 1-я деталь дефектна, Р(А,) = О, 1, 1 = 1, 2, 3. Выразить события: 1) все детали годные, 2) имеется только одна годная деталь, 3) годных деталей не менее двух. Найти вероятность второго события.

Сколько надо взять коробок, чтобы с вероятностью не менее 0,999 получить годную деталь? Какова вероятность того, что среди 1О коробок будет ровно 5 коробок, не содержащих дефектные детали? 432 При»еже»ив ф Вариант 2 1. Схема последовательного выбора без возвращения и схема одновременного выбора (описать соответствующие пространства элементарных исходов и найти их объемы).

Показать, что т-кратный последовательный выбор элементов без возвращения из совокупности объема Ф эквивалентен схеме т независимых испытаний с уменьшающимся числом равновозможных (в рамках одного испытания) исходов; построить вероятностную модель, воспользовавшись и доказав следующую теорему умножения: Р(АВСП) = Р(А)Р(В(А)Р(С/АВ)Р(Р(АВС). 2. Семь частиц распределяются равновероятным образом по 6 ячейкам. Найти вероятность того, что нет пустых ячеек.

3. Фирма участвует в 4 проектах, каждый из которых может закончиться неудачей с вероятностью 0,1. В случае неудачи одного проекта вероятность разорения фирмы равна 20%, двух — 50%, трех — 70%, четырех — 90%. Найти вероятность разорения фирмы. 4. Страховая фирма заключила 10 000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому в течение года составляет 2%. Найти вероятность того, что таких случаев будет не более 250. 5. Сколько надо произвести опытов по 3-кратному подбрасыванию монеты, чтобы с вероятностью 0,9 получить хотя бы один раз ровно 2 выпадения герба? Вариант 3 1.

Операции над событиями. Формулы де Моргана. Теоремы сложения. Построить вероятностную модель для и-кратного независимого повторения игры с тремя исходами («выигрыш», «проигрыш», «ничья»), вероятности которых остаются неизменными в разных играх. Вывести формулу для подсчета вероятности числа выигрышей. 2. Известно, что в пятизначном номере телефона все цифры разные. Найти вероятность того, что среди них есть цифры 1 и 2. 3. В лифт 9-этажного дома на 1-м этаже входят 6 человек. Для каждого человека равновероятен выход на любом из 8 этажей. Известно, что все вышли на разных этажах. Какова при этом условии вероятность того, что на первых трех этажах вышли 2 человека? 4. Известно, что проверяемая фирма может пытаться уйти от налогов с вероятностью 40% и выбрать (равновероятно) для 15 Тс«»ив все««в«стев 433 Прилокеиии этого одну из 3 схем.

Найти вероятность того, что фирма уходит от налогов по третьей схеме, если по первым двум нарушения не обнаружены. 5. С вероятностью 0,8 орудие при выстреле поражает цель. Произведено 1600 выстрелов. Какова вероятность того, что при этом произошло не менее 1200, но не более 1300 попаданий? Вариант 4 1.

Показать, что и-кратный последовательный выбор элементов с возвращением, осуществляемый из совокупности объема Ф, эквивалентен схеме н независимых испытаний, каждое из которых имеет Ф равновозможных исходов (построить вероятностную модель). Доказать теорему умножения и формулу Байеса (дать при этом все необходимые определения).