Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика, страница 60
Описание файла
DJVU-файл из архива "Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр DJVU-файла онлайн
Распознанный текст из DJVU-файла, 60 - страница
13. а) равномерное распределение на отрезке [О; Ц; б) показательное распределение с параметром я. =1; в) стандартное распределение Коши. 4тб Ответы и указания ф х<3, 15 Р„„(х)= 14. Р,„(х)= х>6. х<1, х<3, 3<х<5, 17. Ря,н(х)= 16. Р,,„(х)= 5<х<7, х>7. о, х<0, 19. Р,„(х)= 1-е ~, 0<х<1,. (е' -!)е ~, х >1. 18.
Р,„(х)=хе ", х>0. 20. 1/32, случайные величины зависимы. 21. Р„(х)=2(1-х),ха[0,1), р„(у)ы2(1-у),уа[О,Ц; случайные ве- личины С и т) зависимы, Р[ф< 3/4з =15/16. 22. 0,92. 23. 1/8. 24. )хн(х,у)=1/(9х) внутри круга, случайные величины Р и т) зависимы, Р~Д>О,т)>01)=1/4. 25. р „(х,у)=1/36 внутри трапеции, р,(х)= О, уа[0,4), Р„(у)= 8-У вЂ” уе[0,4], 24 случайные величины г, и т) зависимы. 4з7 1» теорн»»еро»тнеетея о, х-1 2 1/2, 4-х 2 о, о, х — 1 4 1/4, 6-х 4 О, х<1, 1<х<2, 2<х<3, 3<х<4, х>4. 1<х<2, 2<х<5, 5<х<6, х>6. о, х-3 2 1/2, 6-х 2 ' о, о, х-3 4 7-х 4 о, О, х+6 27 1/9, 6-х 27 3<х<4, 4<х<5, 5<х<6, ха[-6,6), -6<х<-3, -3<х<3, 3<х<6; Ответы н указания 26.
р (х)= — 1-(х-!),хе[0,2], р (у)= —,(1-у,уе[О,Ц, спучай- 2 и к ные величины 8 и т! зависимы 27. р„(х)=2е'", х<0, р,(у)=-4уе", у<0, случайные величины Г и т) зависимы. 28. р„(х) = 2(1-х), х е [О,Ц, р„(у) = 2у, у о [О, Ц; случайные величи- 29. р=(1-е ')'. 38 а) А 1/2 б) Р( ) ипх+ЯпУ-зтп(х+У) 2 1-созх+зтпх ипх+созх б) Р(х)= 2 ; р (х)= 2 Э хе [О, к/2]; случайная величина т) распределена так же; в) ри(х[у)=, хе[О,к/2], уе[О,к/2]. з!пу+созу 0<х<1, 32. а) тр„„(у)= 33. Равномерное распределение на отрезке [О, у].
б!ава 8 Теоретические задачи 1. Да, применим. Проверить условия применимости закон больших чисел Чебышева. 4та ны е и т! зависимы; М(8р)) =1/4. 31 Рит(х[у) т~х у 1 хе[у~я!у +1Ц 3-7у — -1<у~О, 5 2у+3 б) еяи(х)= — О~у<1; 5 4 6-5х — 1ьхя2. 4 Ответыиуказания 4в 2. Нет, закон больших чисел Чебышева не выполняется. Мс,=О,Рс=п'. Всилунезависимости Р(С„=п,~„,=п-1)=!/4. (~1 и 1 т пт ю 1. т пв р те-тт,— з.кт,~т 1т ! пи! и ~Р~ — ~~,. ~ >Р~Д„=пД„, =и-1)=1/4, (пнн ' и т.е. не стремится к нулю.
3. Применить неравенство Чебышева к случайной величине т 4. Неравенство Чебышева дает оценки: Рф-а1 > о) я1, Рф-а~ > Зо) <1/9 = 0,11. Непосредственное вычисление этих вероятностей дает Рф-а)~а)=03174, Рф-а(>Зо)=00027.. 5. Мт,=О, о= —;; Рф4!<о)=1-е ~=0,75; Рфф!<Зо)= =1-е з"т = 0,98. Неравенство Чебышева приводит к оцен- кам: Р~4!<о)>0; Р~ф<Зо)<0,89. б.
а) М1„=0, И,„=2'". В силу независимости случайных величин Р(с„=2", с„, =2" ')= —. Поэтому, например, при в<1 получим Р -'~~,.--'~"„М~, >е >Р -'~Г„> >Р(е =2", ~, =2" ')= —, т.е. не стремится к нулю. Закон больших чисел не выполняется; б) закон больших чисел выполняется. (~1'и 1 а) 7. Из неравенства Чебышева Р(~ — ~ тн-а~> — ~<0,16. Из ЦПТ получаем 0,0124. т1100;ы 4 8.
Выполняется. 4т9 Ответы к указ«как Вычислительные задачи 11. Р1г <10 000~>04. Применить неравенство Маркова. 12. Применить неравенство Маркова. Р~Д> 400)а 0,75. Это неравенство дает несодержательную оценку для второй вероятности: Р(~<300~>0. 13. Р 1)т/и-0„87) < 0,04)> 0,93.
Применить неравенство Чебышева. 14. Р 15 > 3) < 0,1. Применить неравенство Маркова. 15. а) Р~Дь200т)>0,5; б) Р(~>150)я2/3. 16. Р1)т/и-0,7)<0,04)>0,934. 17. РЦт/п-0,1~<0,01)>0,91. 18. Неравенство Чебышева дает оценку и > 16 000, а следствие из интегральной формулы Муавра — Лапласа и > 4356. ( 1 к 1» 19. Р1 — ~Р„- — ~х МГ, <0,25 >0,9771. ~пты и;, 20. и > 294. 21. Р1~ т- пр~ < х) = 0,99, отсюда по таблицам нормального распределения х = 2,57,/и~ =103. Величина т находится в пределах 8000 й 103 по ЦПТ и 8000 + 400 по неравенству Чебышева. 22.
558; 541. 23. а) 0,92; б) 20 мин. 24. 547. 25. Более 8310 единиц. 26. 0,0287. 27. От 237 до 363 деталей. Указание: применить ЦПТ, учитывая, что на каждую подвергнутую контролю деталь приходится геометрически распределенное (с р = 1/3) число деталей с конвейера. 28. В предположении, что метод является нейтральным, не влияющим на производительность труда, положим ве- 1 роятности «успеха» и «неудачи» равными —. Получаем 2 420 Ответынуназаннн йЗ Р1 50/-1В)=» гтб) Отты ~д в~ ( тл-50 5 блтодаемое откло ение маловероятно. Предположение следует отвергнуть, и можно признать, что вероятность «успе- 1 ха» больше —. 29.
0,9177. 30. 0,9606. 31. 0,9649. 32. 0,9927. Отава 9 1. а) (0,0065; 0,0523; 0,9412); б) (1/28, 3/28, 6/7). 2. Доля безработных — 1/9. Сократится в 17/9 = 1,89 раза. 3. (18/23, 3/23, 2/23). 4. (0,079; 0,658; 0,263). 5. (1/31, 20/31, 10/31). б. а) (143/400, 171/400, 86/400); б) (15/41, 18/41, 8/41). 7. (0,5; 0,2; 0,3). 8. (4/9, 13/54, 17/54). 9. а) (25/54, 23/54, 1/9); б) (4/15, 42/75, 13/75).
10. а) (1/8, 17/32, 11/32); б) (7/36, 5/9, 1/4). 11. а) (0,027; 0,076; 0,217; 0,68); б) (0,125; 0,183; 0,242; 0,45). 12. (1/9, 8/9). 13. (1/169, 24/169, 144/169). 14. (8/125, 36/125, 54/125, 27/125). 15. 70,4%. 16. а) 0,013; б) 0,554; в) 2,216; г) 1,001. 17. 8/9. 18. а) (0,282; 0,339; 0,271; 0,108); б) 0,49; в) 1,2. 19.
а) (0,00046; 0,00729; 0,05837; 0,31129; 0,62259); б) 0,00821; в) 0,44353. 20. а) не более 7,32 мин.; б) не более 8,54 мин. 21. а) 0,211; б) 0,237; в) 0,237. 22. а) 1/2; б) 1/12. Глава зз Теоретические задачи 3. М(т,— Мь)'=МГ;-ЗМ1'М1+2(МГ)', ттт =аз — Затх+2х', 4В Ответы и указания М(Р— Мг)' = М~'-4МфзМф+6Мг,'(Мг)' — 3(М4)'; 2 4 1з„=а,-4азх+базх -3х . 1 8. О=х + —.
9. 0= 1+ — х 1В. Оценка неэффективна, ее дисперсия бесконечна. Вычислительные задачи 11. х =4. 12. У = 0„035. 13. х = 10; ттз = 2,5; аз =3,33. 14. х = 2504,88; У = 254,41. 15. х = -0,4; У = 128,85. 16. а) х = 1,535; У = 3,39, з = 1,84; б) х = 1653; У = 446037, з = 667,86; в) х = 15,6; У = 19,9; з = 4,38.
17. В группе 1: х = 96,17; У = 30,49; в группе 11: х = 88,75„У = 25,99; общие: х = 93,2; У= 41,59. 18. а = 1508,8; а = 24 (м). 19. тз = 19,31, "а = 0,73 (мм). 20. л = 11,33 (мк). 21. а = 2390 (у.е.). 22. х = 198,96; У= 9,45. 23. х = 71,11; У = 264,52; з = 16,26; х = 69,3; х ы = 47,9; х = 88,6. 24. х = 35,54; У = 55,45; ю = 7,45; х = 34,5; х .,„ = 27; х = 47. 25. х = 15,85; У = 4,69; з = 2,17; х = 15,45; х = 12,9; х = 19,4.
Ответы и указание ВВ 26. х = 2127,46; У= 7 078 286; з = 2660,5;х = 1134; х .„= !000; х = 10 358. 27. х = 1148; У = 18937,16; х = 137,61; х = 1105; х ы = 1000; х =1426. 28. х = 5001; У = 1,05; а = 1,02; х = 499; х.,„= 48,1; х = 52. 29. х = 5,46; Ф = 0,03; а = 0,17. 30. х = 3,87; У = 3,69; а = 1,92; х = 4. 31. х = 3,99; У = 2,48; а = 1,57; х = 4. 32. х=166; а'=33,44; х =168. 33. х=1273,75; з'=168,88. 34.
а)а'=1287,8 (м'); б) а'=1508,5 (м'). 35. а) з'=814,87 (см'); б) з'=922 (см') 36. тт = 2982,22 (у.е.); о' = 888,89 Глава аа 2. Распределение Фишера — Снедекора Г(лт, и). 7. Распределение Стьюдента с и степенями свободък 10. Распределение Фишера — Снедекора Г(1, и). 11. Распределение Фишера — Снедекора Г(2п, 2л). 16. Сходится к гамма-распределению у~-, -1. т,2 2т М м 20.
з'= ')"(л,-1)а,', где Ф=') 'лт Ф-М;ы ы! 23. с=,~я/2; е(о )= — =0,88. Оценка неэффективна. 1 я-2 24. с„= ~ — . Оценка неэффективна, но асимптотиче- ~1(г) г(-") ски эффективна. 423 Ответы и указания йзава зЗ Теоретические задачи 1. Х=х. 2. р=1/х, 3. О=х-1 4. О=я,1з=х-з. 5. а=х. 2з ! 8. г= —,г>2. 9. 0=2х. з -1 1 6.
а=ях,)За=а/и. 7. г=х,2)г=2г/и. 10. а=х-з~/3, Ь=х+з /3. 11. с=х, з(=Зз'. 12. О, =х-з /3, О, =2/Зз. 13. Х„= " «*/2зз-хз х х 14. а= —, а>1. 15. 0=— х-1 1-х 23. О=х /2. 24. О=щах(1-х ы, х -1). 25. Оценкой максимального правдоподобия является любое число на интервале (х — 1, х ы) Несмещенная оценка — середина интервала: 3-! а=(х „+х ы-1)/2. 26. =~ — ~1 !~~ . 27. О=х,„.
28. О=х ~ и !., л л 29. а= — ч~,я(х,.). 30. а= — „5,(я(х!)-и)'. 31. и; ! Или -! (1 л 1 1 33. О=~-~ ! . 34. 1з=х и,в=х-х .. 35. !,и !.! х,.' ! Ь=х/а . 32. )з=х. -! (1 и л „1 и 36. ~3=-~-", 1пх!~ . 37. а=-~ 1пх,; ет'=-„') (1пх, — а)з П,„, ' П ли и;„! х -хи 38 а=х П,Ь=х Несмещеннме оценки: а=х и— ив Ь=х + '". 44. Х = 0,9; р, =0,41. 45.
Х =0,2; и-1 Т =11,51 (часа). 46. а=х'/з'=3,97;О=х/з'=0,024. 47. Х = 3,87; 4г4 1 16. а=21пх- — 1па„а' =1па,-21пх. 17. Х=л(2/з. 18. р=1/х. 2 19. О=х-1. 20. Ф=х . Оценка смещенная, асимптотически несмещенная. 21. р=х/Ф. Оценка несмещенная, состоятельи+! ная. 22.
О=х . Несмещенная оценка: О= — х и Ответы и указания ф р, = 0,02. 48. р = 0,4; р„= 0,05. 49. а = 2; средний доход— 200 тыс. руб.; доля жителей 4%. 50. гг = 30; О = 7; Т = 62,24 (мин). 51. О, = 20; О, = 15 (часов). 52. а = 8,156; о' = 0,003; доля людей 92%. 53. На основе оценок методом моментов — 59%, по таблице — 58%. 54. На основе оценок методом моментов— 81%, по таблице — 82%.
