Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика, страница 58

Задача 2. Два эксперта проранжировали 11 фирм в порядке их привлекательности для инвестиций. Получены следующие последовательности рангов фирм. 8 9 11 6 10 11 7 10 397 1а1 ЧАСТЬ 11. Математическая статистике Задачи для самостоятельного решения ь В табл.зв.г представлены средние цены, руб., на растительное масло, сахар-песок, говядину и белый хлеб высшего сорта в сг городах Центрального района России на июны996 г. Таблица тВ.л Цела иа масле Цена иа севов Цена ия хлеб Город 7726 Брянск Владимир 3410 12 500 4875 7880 3183 13 857 7125 6182 14 150 4998 Иваново 3209 12 697 8237 3400 5170 3600 5476 Кострома Москва 8750 13 000 11 024 14 120 4418 Ор 8456 3634 10 678 4200 9172 4033 12 163 Рязань 4720 8320 Смоленск Тверь 3909 12 833 4354 3416 7083 14 400 8259 3486 Тула 12 083 5140 7991 3938 14 397 Ярославль 5283 398 Проверить с помощью коэффициента Спирмена, насколько согласуются мнения экспертов.

Проверить нулевую гипотезу на уровне значимости а = 0,05. Решение. Вычисляем о" = 1'+ 1'+ 3'+ 1'+ 3'+ 3'+ 3'+ 1' = б 40 = 40, отсюда и =1-, м0,82. Для проверки нулевой гипо11т-11 тезы вычисляем Т= ' м4,29 и г„,(0,05; 9) = 2,26, поэто- 0,82 /9 т/1 — 0,82' му нулевая гипотеза отвергается. Мнения экспертов достаточно хорошо согласуются мелсду собой. Глава тв 1~у Вычислить выборочные коэффициенты корреляции между ценами на: а) масло и говядину; б) масло и хлеб; в) сахар и говядину; г) сахар и хлеб; д) говядину и хлеб, В каждом случае проверить нулевую гипотезу на уровне значимости о,об. Сделать вывод о зависимости цен.

з. Решить предыдущую задачу, вычислив выборочные коэффициенты ранговой корреляции Спирмена для цен на товары. Э. Два эксперта проранжнровали 9 проектов реорганизации фирмы по их предполагаемой эффентивности. Получены следующие последовательности рангов. Проверить с помощью коэффициента Спирмена, насколько согласуются мнения экспертов. Проверить нулевую гипотезу на уровне значимости а = о,с а. В таблице представлены данные о производстве всех зерновых культур и производстве пшеницы в России за т99б-гооз гг. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена между показателями. 399 ЧАСТЬ ! !. Математическая статистика к.

В табл. тВ.З представлены данные о годовых доходах и расходах, долл., на личное потребление для ао семей. Таблица ИЗ Вычислить выборочный коэффициент норреляции и выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена между показателями. ГЛАВА 19 ЭЛЕМЕНТЫ ДИСПЕРСИОН НОГО АНАЛИЗЛ Предположим, что имеется к выборок с объемами и„и„... и„, Ж = и, + и, + ... + и„, и наблюдения можно представить в виде хе = а + е, где ) — номер наблюдения в выборке; / — номер выборки; а,.

— групповые математические ожидания; ее — случайные ошибки с Ме„= О, о которых предполагается, что они независимы и одинаково распределены. Подобная ситуация возникает, когда существует некий фактор, принимающий 1с различных значений (называемых уровнямн), и каждая группа объектов, чьи признаки мы измеряем, подвергается воздействию определенного уровня этого фактора. Методы математической статистики, изучающие воздействие одного фактора на объекты и их признаки, называют в совокупности однофакторвым анализом.

Предположим, что ошибки нормально распределены: е» е Н(0, о'). Тогда можно изучать влияние фактора, вычисляя дисперсии некоторых величин. Совокупность этих методов называют однофакторным днснерснонным анализом. Основной гипотезой, нуждающейся в проверке, является гипотеза о равенстве групповых средних Н0, а, = а, = ... = а„. Иными словами, проверяют гипотезу о том, что фактор вообще ие влияет на наблюдения.

В случае нормальных ошибок ее можно проверить, вычислив две разные оценки дисперсии о', а именно: о~ = ~ ~Ч ~(хе-х, ); о~ = — ' и,.(х,-х), Ф-lг, ~ о~ " ' й-! ~.~ ЧАСТЬ Гс Метеиетическеи статистика где через х, обозначены групповые выборочные средние. Первую величину называют остаточной дисперсией, а вторую— фактор ной.

При нарушении гипотезы Н, оценка от имеет тенденцию к возрастанию, тем большему, чем больше отклонение от Н,. Проверить гипотезу можно с помощью дисперсионного отношения Фишера: Г=ст' /о', которое должно иметь распределение Фишера с )с — 1 и ттТ вЂ” 1с степенями свободы. При заданном уровне значимости сс можно найти критическую точку Г = Г„,(а; 1с — 1; Ф вЂ” /с). Если Г < Г, то нулевая гипотеза принимается, иначе отвергается.

Заметйм, что если Р < 1, то следует сразу принять гипотезу Н„поскольку Г всегда больше единицы. Если гипотеза о равенстве средних не подтверждается, имеет смысл оценивать величины ат по отдельности. Получаем для них следующие доверительные интервалы (с надежностью т): о о где г — критическая точка распределения Стьюдента с Ж вЂ” lс степенями свободы и уровнем значимости а = 1 — т (для двусторонней области): Г„= Г (1 — т; 1тТ вЂ” /с). Существуют и более сложные методы однофакторного анализа, не требующие предположения о нормальности наблюдений. Однако здесь будем придерживаться классического дисперсионного анализа.

Задача 1. Банк имеет по четыре отделения в трех городах. Текущие объемы денежных вкладов (в условных единицах) представлены в следующей таблице. А02 глава 1з Можно ли утверждать на уровне значимости а = 0,05, что в среднем дела идут одинаково хорошо во всех трех городах? Построить доверительные интервалы для средних по городам с надежностью 90%. Решение. Вычисляем групповые средние х,, = 35, х., = 25, х., = 27 и общее среднее х = 29.

Затем вычисляем оценки дисперсий: о" = 112, о'" ~ 22,67. Получаем Га 4,94. По таблице находим критическую точку: Г (0,05; 2; 9) = 4,26. Имеем Г > Г„,, следовательно, групповые средние различаются. Чтобы построить доверительные интервалы, находим о' 4,76 и г„= = ~ (0,1; 9) = 1,83. Точность доверительных интервалов во всех группах составляет о'г,/,/л, а 4,36, отсюда 30,64 < а, < 39,36; 20,64 < а, < 29,36; 22,64 < а, < 31,36.

Таким образом, лучше всего дела идут в первом городе, с явным отрывом от двух других, где ситуация примерно одинакова (доверительные интервалы перекрываются). Задача 2. В цеху работает четыре бригады по семь рабочих. Выработка каждого (в условных единицах) представлена в следующей таблице. Можно ли утверждать на уровне значимости а = 0,05, что все бригады работают в среднем одинаково? Решение.

Вычисляем групповые средние х., = 60,9; х., = 65,9; х., = 64,3; х., = 62,9 и общее среднее х = 63,5. Затем вычисляем оценки дисперсий: о" = 31,67; о'* = 60,25. Получаем Г < 1, так что следует принять гипотезу о равенстве групповых средних. Все бригады работают в среднем одинаково. ЧАСТЬ П. Математическая статистика Задачи для самостоятельного решения ь Фирма имеет по пять филиалов в четырех регионах страны. Прибыли за отчетный период (в условных единицах) представлены в таблице.

Можно ли утверждать на уровне значимости а = о,оч, что дела во всех регионах идут в среднем одинаково? г. Фирма имеет ТЗ магазинов в трех округах Москвы: л — в Северном округе, 6 — во Южном, Э вЂ” в Восточном. Объемы продаж за отчетный период (в условных единицах) по каждому магазину представ- лены в таблице.

Можно ли утверждать на уровне значимости а = о,оц что продажи во всех округах идут в среднем одинаково? Построить доверительные интервалы для средних по округам с надежностью р5%. З. В целях изучения влияния материального вознаграждения на производительность труда проведено обследование четырех групп рабочих по б человек, упорядоченных по величине вознаграждения (от меньшей к большей). Выработка (в условных единицах) представлена в таблице. иол глава га Можно ли утверждать на уровне значимости а = о,об„что вознаграждение влияет на производительность труда? а.

В продуктовом магазине продается четыре вида соков — яблочный, апельсиновый, персиковый и ананасовый (за одну цену). Данные о продажах, л, за пять рабочих дней представлены в таблице. Можно ли утверждать на уровне значимости а о,оч, что спрос на разные виды соков в среднем одинаковый? 5. Изучается популярность еженедельной передачи у трех возрастных групп населения. Рейтинги, ть, за л недели представлены в таблице. Можно ли утверждать на уровне значимости а о,оч, что передача пользуется одинаковой популярностью у всех трех групп населения? 4об Ответы и указания Глава з 1. 84. 2. 8.

3. 36. 4. 45. 5. 125. 6. 3136. 7. 10! 8. 9! 8. 9. !022. 10. 210. 11. †' . И. 54. 13. †'. 14. А,' -А„' =96. 15. 5 2 4! = !6о ~4! 5!7!4! 2' 240 16 5 . 8 4' 17 2и 18 16~~ 19 50 49 Си 20 Со Со' 23! 21. 2520. 22. 50 600. 23. 3'. 24. 7'. 25. — '. 26. 1800. 27. 14 670. 16! 2!4!!!6 28. 210. 29. 256. 30. ЗО' !О'. 31. С'=Зб. 32. !00.

33. 2.(5!)'. 34. (Со) 35. ЗС,'СС,' + ЗС,'С,'С,' = 55 404. 36. А~о)Уо(2, 3,4) = — '. 37 14 8! 38 А,»=!3800" 39 С~в=2300 40. СоСоо=!6824500. Глава а 1. РРР, РРГ, РГР, РГГ, ГРР, ГРГ, ГГР, ГГГ. 2. Пространство элементарных исходов состоит из неупорядоченных пар (х, у) (сочетаний), где х = 1, ..., 36, у = 1, ..., 36. 3.

а) !/54; б) 1/5'; в) 24/5'. 4. 0,994. 5. 5/18. 6. 0,52. 7. †,; . 8. а) 5/18; б) 3/18; в) 5/9. 9. 0,765. 10. 0,0163. 11. 0,215. 12. 0,66. 13. 0,1008. 14. 2/7. 15. 0,155. 16. 0,0476. 17. 0,43. 18. 0,238. 19. 0,082. 20. 49/63. 21. 0,725. 22. 0,47. 23. 0,17. 24. 0,39. 25.

0,067. 26. 0,094. 27. 25/63. 28, а) 2/7; б) О,!35. 29. 1 — (11/12)'. 30. 49/64. 31. 8/9. 32. 4/9. 33. 0,19. 34. 0,88. 35. 0,6. 36. 0,2. Указание. запишите условие задачи в виде неравенства, изобразите графически события и вычислите площади с помощью интегралов (1п9 в 2,2), 37. 0,5. Введите пространственную систему координат. Возможные значения х, у, е — от 0 до о'.. События, благоприятствующие условию задачи, х < у + ~, у < х + е, е < х + у.

38. 0,9. 39. Р=, . 40. 0,00000007. 41. 0,03. Можно использовать (а-2г)' приближеФйую формулу (! + х)" = ! + пх для малых х. лоб Ответы и укезаиии Глава 3 Теоретические задачи 1. а) АВС; б) А + В+ С; в) АВ+ ВС+ АС; г) АВС+ АВС+ АВС; д) АВС+АВ.С+АВС;;е) АВС;ж) АВС. 2. (А т тА иА )тВтВ В т-тВ~ВтВ4 иВ~ВтВт ттВтВтВе) . 3, На одной из костей выпало четное число очков, а на другой — нечетное, большее единицы.