Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика, страница 55

7. В таблице представлены данные об удоях х,, ц, коров на молочной ферме за лантационный период для тоо коров 6...8 12...1 14...16!6...18 10...12 8...10 х, 4...6 24...26 22...24 20...22 18...2 10 !5 20 14 и, 1 12 На уровне значимости а = о,о5 проверить гипотезу, что удои коров можно описать нормальным распределением. В. В таблице приведены сгруппированные данные по срокам службы х, для топо изделий: 20 — 30 хя час.

0 — 10 10 — 20 40 — 50 30 — 40 60 — 70 50 — 60 365 245 100 70 150 25 45 л, На уровне значимости а = о,о5 проверить гипотезу, что срок службы изделия имеет показательное распределение. 37о Глава гв 9.

В таблице приведены данные о числах покупок, сделанных в магазине (в первой строке — интервалы для чисел покупок, во второй— число покупателей, сделавших такое число покупок). На уровне значимости а = о,о8 проверить гипотезу, что число покупок для одного покупателя имеет геометрическое распределение с параметром р = т/г. сш В таблице приведены сгруппированные данные о моментах прибытия машин к бензоколонке в течение зо час. наблюдений (с 8 до т8 час.).

На уровне значимости а о,оз проверить гипотезу, что моменты прибытия машин распределены равномерно. тз. При измерении веса го шоколадных батончиков (с номинальным весом чо г) получены следующие значения, г: 49д; 5о,о; 49,7: 5о,б; 48д; бо,з; 49,7; 5цб; 49,8; бед; 49,7; 48,8; 5ц4: 49д; 49,6: 5о,9; 48,5; бг,о; бо,7; 5о,б.

На уровне значимости а = о,о5 проверить гипотезу что вес батончиков имеет нормальное распределение со средним 9о г и диспер. сией т г*. ЧАСТЬ и. Математическая статистика тг, За 6 рабочих дней спрос на некоторый товар составлял: зо4; Во; дб; тго; ттЗ; Вг кг. На уровне значимости а = о,т проверить гипотезу о том, что спрос равномерно распределен на отрезке [уб; тгч[. тэ. В поселке Полтинниково все жители имеют доход не менее чо тыс. руб. в месяц.

Выборочное обследование доходов то человек дало следующие результаты: Ч4; бо; 5р; уд. уц дг; чэ. Ч4; у8; 56 тью. Руб. На уровне значимости а = о,о5 проверить гипотезу, что случайная величина дохода имеет распределение Парето вида О, х(х„ Г(х) = 1 — (Х/ха), х > х, где х, = Во тыс. Руб., а = З. т4. Урожайность зерновых культур в России в тддг-гооз гг. представлена таблицей. Проверить на уровне значимости а од гипотезу, что урожайность можно описать нормальным распределением с параметрами а = тб, о = г ц/га. ГЛАВА 17 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ $ ау.з.

Основные понятия в анализе временныд рядов Временным рядом называется ряд наблюдений некоторой величины, сделанных в последовательные моменты времени (обычно через равные интервалы). В экономических приложениях это могут быть, например, объемы производства или продаж каких-либо товаров, колебания цен акций, курсов валют и т.п. Данные могут регистрироваться ежегодно, ежемесячно или ежедневно, а учитывая современные компьютерные технологии — даже ежечасно и ежеминутно. Основными нелямн анализа временных рядов является выявление присущих им закономерностей и прогнозирование на будущее (с учетом этих закономерностей). Существует великое множество методов анализа временных рядов, которым посвящена обширная литература.

Эти методы могут применяться каждый в отдельности, в различных комбинациях и в разной последовательности. В зависимости от этого могут получаться различные результаты. Однако для «хороших» временных рядов они будут не очень сильно различаться между собой. В этой главе рассмотрим методы, не требующие углубления в теорию и в то же время удобные для расчетов.

Предполагается, что временной ряд можно разделить на три составляющие: 1) тревд, т.е. некая общая закономерность роста или убывания; ЧАСТЬ В. Математическая статистика 2) сезонная (циклическая) компонента; 3) случайная компонента (шум). В качестве тренда обычно берут достаточно простую функцию. Наиболее часто встречаются линейный и экспоненциальный тренды. Первое означает, что величина в среднем растет или убывает в арифметической прогрессии (на столько-то в единицу времени), второе — что она меняется в геометрической прогрессии (во столько-то раз или на столько-то процентов в единицу времени).

Иногда рассматривают и более сложные тренды, например полиномиальные и другие. Линейный тренд легко построить с помощью линейной регрессии, применяя метод наименьших квадратов к исходным данным. Экспоненциальный тренд можно построить, если перейти к логарифмам наблюдаемых величин, провести линейную регрессию для них, а затем взять экспоненту от полученной линейной функции. Сезонной (циклической) компоненты во временном ряду может не быть совсем, их может быть несколько или одна.

Например, во временном ряду из ежемесячных данных, скорее всего, будет сезонная компонента с периодом 12 (годичный цикл). В ряду ежедневных наблюдений могут быть компоненты с периодом 7 (неделя), около 30 (месяц) и 365 (год) и т.д. В ежегодных наблюдениях могут присутствовать многолетние циклы (например, экономические циклы Кондратьева). Сезонная компонента может быть алдитивной (когда ее амплитуда относительно «среднего» значения остается в среднем постоянной) и мультипликативной (когда колебания происходят пропорционально текущему «среднему», и их амплитуда может расти или убывать со временем согласно тренду). Для описания сезонной компоненты часто используют сезонные индексы, показывающие, насколько (или во сколько раз) значение в данной точке цикла отличается от некоторого «среднего» значения.

Следует отметить, что существуют временные ряды с ложными трендами и ложными циклами, когда закономерности, выявленные на одном отрезке наблюдений, не подтверждаются на других. Однако здесь такие ряды рассматривать не будем. Общая схема анализа временного ряда обычно такова, что выявленные в нем закономерности исключают путем некоторых преобразований и далее изучают получившиеся величины, Глаеа ау называемые остатками, пытаясь выявить закономерности уже в их поведении, и т.д. Так продолжают до тех пор, пока не останутся чисто случайные колебания (независимые случайные величины).

В яу.а. Простые методы анализа и прогнозирования временных рядов Рассмотрим некоторые простые методы анализа и прогнозирования временных рядов, не требующие глубокой теории, на примере нескольких практических задач. Задача 1. В таблице представлены данные об урожайности, ц/га, зерновых культур в СССР за 1951-1970 гг. Построить линейный тренд. Решение. Методом наименьших квадратов находим Гг(Г)=6,97+0,34(à — 1950), где à — год наблюдения. На рис. 17.1 изображен график урожайности и линейный тренд. Видно, что в поведении остатков (отклонений от тренда) не проявляется какой-либо закономерности, и их можно считать чисто случайными. З75 Е ЧАСТЬ Н.

Математнчеснав статнстнна Урожайность аерновых культур 6 СССР 14 13 я 12 Гт 11 2 '~ 10 л в 6 1960 1962 1964 1966 1966 1960 1962 1964 1966 1966 1970 Рнс. 27.2 Задача 2. В таблице представлены данные о производстве молока, тыс. т, в России с января 1992 г. по октябрь 1996 г. (рис. 17.2). 1995 1994 1993 1992 1996 Мое яхт/гоя 1038 1172 !5!О 2015 1759 Январь 1226 1104 2123 !484 1773 Февраль 1651 2361 2624 1439 1988 Март 1859 2891 1521 2649 2211 Апрель 1827 3203 3335 Май 2392 2559 2864 407! 3209 3936 Июнь 386! 2369 2714 3204 4040 Июль Август 2687 3321 3392 2081 2420 2467 1577 2438 1925 2031 Сентябрь 1081 1338 !506 1760 Октябрь 2092 1299 1050 984 !494 Ноябрь Декабрь 1054 !562 1020 !345 37б Глава в7 ф Произвоаство иолом в России 4000 3500 0 ЗООО И В 2500 П 2000 1500 1 1000 0 10 20 ЗО 40 50 50 Мвслц Рис. 17.2 Построить линейный тренд, вычислить сезонные индексы по данным 1992-1995 гг.

Сделать прогноз на 1996 г. и сравнить его с реальными данными. Решение. Методом наименьших квадратов получаем гл(г)=2899,9 — 26,641, где г — номер месяца (от 1 до 24). Производство молока имеет тенденцию к уменьшению, обусловленную сокращением поголовья молочного скота, и подвержено сильным сезонным колебаниям с максимумом летом и минимумом зимой. При зтом величина сезонных колебаний пропорциональна среднему уровню производства.

Вычислим значения х(г)/гг(г), выразим их в процентах, а затем усредним для каждого месяца за 1992 — 1995 гг., и таким образом получим сезонные индексы. 377 ЧАСТЬ Н. Математическая статистика Продолисекие ямбе. 17. 1 Сезоиима иидекс (средиее) Месяд/год 1992 1993 1995 102,64 101,34 103,64 103,50 107,09 Апрель 126,01 130,89 1З2,З2 Маа 120,54 120,29 160,80 162,62 156,18 Июнь 148,57 152,75 154,69 154,47 154,83 161,29 Июль 148,89 134,46 126,25 140,30 1ЗТДЗ 140,06 100,50 113,16 102,64 Сентябрь 92,74 104,17 76,06 77,73 Октябрь 79,44 75,52 79,90 56,79 56,80 Ноябрь 57,31 53,37 59,71 60,54 62,91 59,31 Декабрь 59,49 54,30 Видно хорошее согласие прогноза с реальными данными в первые 5 месяцев — относительная погрешность не превышает 3%.

В последующие 4 месяца прогноз ниже реальных данных на б-10%. Относительная ошибка за октябрь не превышает 3%. Заметим, что наибольшие различия прогноза с реальными дан- 378 Теперь, чтобы построить прогноз для какого-либо месяца последующих лет, надо умножить значение, получаемое из тренда, на соответствующий сезонный индекс. Для 1996 г.