Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика, страница 56

получаем таблицу (результаты округлены до целых). Глаеа лг ными наблюдаются в летние месяцы, сезонный индекс которых подвержен наибольшим колебаниям. Эти колебания из года в год имеют порядок 10-20%. С учетом зтого можно признать в целом хорошее согласие прогноза с реальными данными. Задача 3. Годовые прибыли фирмы, тыс. долл., за 5 лет представлены в таблице. 4-й 3-й 2-й Год 144 135 120 112 99 Прибыль Построить экспоненциальный тренд и сделать прогноз на следующий год.

Решение. Построим временной рад из логарифмов у(1) = = 1п х(7): 3-й 1-й Год, г 4,60 4,91 4,97 4,79 4,72 у(7) Проведя линейную регрессию, получаем линейный тренд: 1г,(г) = 4,52+ 0,091. Возвращаясь к исходным величинам, получаем 1г„(г) = ехр(4,52+ 0,091). В качестве прогноза на следующий год имеем 1г„(6)=157,6, тыс. долл. 9 тур. Стационарность. Аатокорреяяция. Периодограмма Временной ряд можно рассматривать как последовательность наблюдений некоторого случайного процесса Х(1), ! > О, в целочисленные моменты времени.

Случайный процесс Х(7) называется стационарным в узком смысле, если для любого д > 0 и любых 0 < 1, < 1, « ... г„распределение многомерного вектора (Х(г,), Х(г,), ..., Х(7„)) совпадает с распределением вектора (Х(г, + з), Х(г, + а), ..., Х(г„+ 4)). Таким образом, стационарный в узком смысле случайный процесс ведет себя с любого момента так же (в статистиче- 379 ЧАСТЬ 11. Математическая статистика ском смысле), как и с начала. Однако проверить это условие на практике бывает затруднительно.

Определим характеристики случайного процесса: функцию математического ожидания и(г) = МХ(г) и ковариациоииую функцию В(О 5) = сотт(Х(г), Х(5)), г, 5 > О. Отсюда можем выразить дисперсию 0Х(г) = В(А г) и среднее квадратическое отклонение о(г) =,~~Х(г) =,(В(г, г). Корреляционной функцией называется Я(О 5) = В(б 5)/(а(г) х а(5)). Случайный процесс Х(О называется стационарным в широком смысле, если длЯ него т(г) = соп51 и В(гг+ 5, гг+ 5) = ВЦ, гг) длЯ любых гг г, 5 > О.

Это Условие Уже пРоше пРовеРить статистическими методами. Из него также следует, что В(гг + 5, г, + 5) = = В(г„гг) для любых гг „5 > О. Автокорреляциоииой функцией спщионариого случайного процесса называется функция г(г) = Я(5, 5 + г), где 5 > 0 — любое. ПрИМЕр 1. ПуетЬ Х(Г)=сСО5(кгг+ср), ГдЕ Иг > 0 — ЧИСЛО, ~ е У(0, 1), а гр равномерно распределено от 0 до 2л, и зти случайные величины независимы.

Данный процесс стационарен как в широком, так и в узком смысле, причем г(г) = соз(тиг). ДЕИСтВИтЕЛЬНО, ПОСКОЛЬКУ МС = 0 И МЧг = 1, тО Лг(Г) =- 0 И В(г,, гг) = МХ(О)Х(гг)= М(Г'соз(тиг, +Ф)соз(тигг+г~)) = ы с(и = (со5(кег+ и)со5(и1, +и) — = 2а гя с(и = — ) (соа(те(г, -гг))+ соз(тя(О + гг)+ 2и) — = 2, 2я 1 1 1 = — со5(ти(г — гг))+ — 51п(ти(г +гг)+2гс) = — со5(и(Г, — г )), 4п о так что В(г, + 5, гг+ 5) = В(г„гг) лля любых г, „5 > О.

Кроме того, о(г)=,)В(бг) =ъ/ Г2 и Я(гм гг) = 2В(г„гг) = соз(ти(г, — гг)), ОтКУДа СЛЕДУЕТ Кг) = СО5(кгГ). В случае временных рядов имеем дело с автокорреляционной функцией от целых чисел, т.е. и(/с). Ее можно оценить статистически следуюшим образом. зао Глава 17 Выборочной автокорреляциоииой функцией называют (х, — х)(х — х) г(/с) = '=' л х~ (х, — х)' Этой формулой имеет смысл пользоваться только при достаточно больших размерах и (не менее 50). Отметим, что точность приближения снижается с ростом /Г, поэтому на практике обычно ограничиваются изучением ограниченного числа первых значений г(/Г) (как правило, не более л/4).

Кроме того, полученная оценка оказывается смещенной (со смещением порядка 1/и). График выборочной автокорреляционной функции называют коррелограммой. Построение коррелограммы для реальных временных рядов может давать различные результаты. Если все значения выборочной автокорреляционной функции достаточно велики и испытывают слабую тенденцию к убыванию, это может свидетельствовать о наличии тренда (или обшей нестационарности ряда). Если после удаления тренда и анализа остатков получаем коррелограмму, похожую на график периодической функции, это может свидетельствовать о наличии одной сезонной (циклической) компоненты с соответствующим периодом.

Если после удаления тренда и сезонной компоненты коррелограмма имеет хаотический характер, причем значения выборочной автокорреляционной функции малы и попадают (все или почти все) в 95%-ный доверительный интервал — 1/л ~ 2/ /л, это свидетельствует о том, что остатки можно считать за «белый шум» (последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин).

Некоторые другие случаи поведения коррелограмм будут рассмотрены в следующем параграфе. Бывают ситуации, когда временные ряды содержат несколько циклических компонент с разными периодами, которые накладываются одна на другую и создают сложную картину. Для их анализа можно применить следующий метод, предложенный А. Шустером в 1898 г. Введем функции Звв ЧАСТЬ 11. Математичесиая патистииа А(Л)= -~ х„ соя †, В(Л) =-~ х„ з(и†, Я (Л) = А (Л) + В (Л).

2 " 2Ы 2 " . 2те» т т т и,, Л и„, Л График функции У(Л) называют периодограммой. Построенная функция должна принимать большие значения (иметь локальные максимумы — пики) для тех значений Л, которые являются периодами имеющихся у временного ряда циклических составляющих. На практике, в силу наличия случайности временного ряда, это не всегда так, и некоторые максимумы могут не иметь отношения к реальным периодам. Поэтому к анализу периодограммы следует подходить с осторожностью.

В настоящее время разработаны также другие, более точные и более сложные методы. 5 ху.Ф. Модели авторегрессии и скользящего среднего До сих пор предполагалось, что случайная компонента временного ряда представляет собой «белый шум» (последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин). Однако на практике это может оказаться не так, и величины могут быть зависимы. Эта зависимость может возникать и в результате каких-то преобразований ряда, что также необходимо учитывать. Для описания этих явлений используются, в частности, следующие модели.

Процессом скользящего среднего порядка р называется процесс вида Х(/с)=Е, +Вдм, +...+В Е,„,, где „— некоторые коэффициенты, а с,„образуют последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Определенный таким образом процесс всегда является стационарным. В коррелограмме процесса скользящего среднего достаточно велики только значения г(/с) при /с от 1 до р (те, для которых коэффициенты В„отличны от нуля), а остальные малы и хаотичны. Процессом авторегрессии порядка р называется процесс вида Х(тс)мтр,2Г(тс-1)+" +ар,ХЯ-В)+~,, Звг Глава ау где ср, — некоторые коэффициенты, а с, образуют последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин.

Такой процесс является стационарным только при дополнительном условии: все корни характеристического уравнения х'=ср,х' '+" +ср, должны быть по модулю меньше единицы. Коррелограмма процесса авторегрессии имеет вид экспоненциального убывания или затухающих колебаний (при р > 1). В простейшем случае, при р = 1, автокорреляционная функция представляет собой просто геометрическую прогрессию: Г(/с) = ср,' .

Как правило, рассматриваются процессы скользящего среднего и авторегрессии небольших порядков (первого или второго). В случае, когда применяется модель авторегрессии первого порядка, т.е. Х(сс) = срзХ(сс — 1)+ Ц„, момсно также провести линейную регрессию Х()с) по Х(/с — 1).

Пример 2. Временной ряд описывает значения выхода 70 последовательный партий продукта в химическом производственном процессе (данные расположены по столбцам). «~» ЧАСТЬ П. Матеиатикескаи статистика Выборочное среднее значение выхода продукции составляет 51,13 единицы, а выборочное среднее квадратическое отклонение — 11,91 единицы. Тренд и циклические компоненты отсутствуют. Видно, что в ряду имеется отчетливая тенденция к чередованию «вверх-вниз», однако невозможно предсказать точно выход следующей партии. Проведем линейную регрессию Х(/с) по Х(к — 1).

Результат представлен на рис. 17.3. 80 70 40 30 20 20 30 40 80 80 70 80 80 Х(Тс-1) и ° 7З В качестве оценки коэффициента Чт, (как автокорреляции) получаем 4т, = — 0,4. Подобная отрицательная зависимость часто наблюдается в данных о выпуске продукции и является следствием эффекта «переноса».

В данном примере высокий выход цикла производства приводил к получению дегтярных остатков, которые не полностью устранялись из емкости и отрицательно влияли на выход следующего цикла. 884 ЧАСТЬ! 1. Математическая статистика Мееяв 8174,40 8991,84 Июль Июль 5078,33 5586,16 Август 4957,92 Сентябрь Октябрь 4507,20 2257,!9 Сентябрь Октябрь 2482,91 3400,69 3740,76 Ноябрь Ноябрь 2968,71 Декабрь Декабрь 3265,58 2147,14 1325,56 Январь Февраль Январь Февраль 2361,85 1458,12 Март 2290,95 Март 2520,05 2953,34 3248,67 4216,28 8227,57 4637,91 9050,33 Май Июнь Июнь Построить зкспоненциальный тренд и вычислить сезонные индек- сы.

Сделать прогноз на следующий год. Продажи мороженого «Пломбир» 10 Ъ' $5000 з зооо 1ООО 0 2 4 6 а 1О 12 14 1616 20 222426 Месяц Рвс. 17.5 386 2. В таблице представлены данные по продажам, руб. в день. Мороженого «Пломбир» фирмой в Нижнем Новгороде за два года (рис. 27.5.) Глава зт ф 3. В таблице представлены данные по розничной торговле бензином, млн Долл., в США в 1995-1995 гг. !Рис.

17.6). 1993 1992 1991 Меазя 11 981 1О 966 1О 839 10 508 11 297 Январь 11 443 10 652 1О 498 10 071 10 064 11 476 11 800 10 883 12 790 1О 725 Март 11 052 12 701 11 842 11 684 10 885 12 346 11 836 13 937 11 960 12 491 Май 11 846 Июнь 14 210 12 835 12 291 11 874 12 638 12 225 Июль 14 013 13 207 12 091 14 186 13 710 12 418 12 218 12 406 Август Сентябрь 13 213 12 854 11 679 11 569 11 350 11 678 12 002 13 190 12 983 !2 237 Октябрь 11 806 12 650 12 647 11 418 11 360 Ноябрь 11 619 12 931 11 785 11 308 Декабрь 12 880 Построить линейный тренд и вычислить сезонные индексы.

Розничная продажа бензина в США 14500 14 000 ! 3 500 а а 1ЗООО Я 12500 12 000 11 500 9 а 11 000 о 10500 1О ООО 9500 о 1О 20 30 40 50 60 Месяц Рис. зу.б 387 ф ЧАСТЬ Н. Математическая статиоика !956 1958 Месяц 1957 Январь Февраль 204 242 284 315 188 233 277 301 318 267 235 317 Март 356 362 269 227 313 348 348 Май 234 270 318 363 355 264 Июнь Июль 315 374 422 435 302 364 413 491 347 293 Август 505 Сентябрь Октябрь 259 312 355 404 404 229 274 306 347 359 Ноябрь 203 237 271 310 305 Декабрь 229 306 336 278 337 Построить экспоненциальный тренд и вычислить сеэонные индексы.