Иванов Б.Н. - Мир физической гидродинамики. От проблем турбулентности до физики космоса, страница 8

или зде йг = — 4я33г —. Й Это соотношение в сущности есть дифференциальное уравнение для распределения концентраций с(г). Его решение имеет вид с = — + сопзь 34 Э 4. Течение реальнои жидкости Оно дает распределение состава смеси в неподвижном сферическом слое жидкости между двумя концентрическими поверхностями. Учет граничных условий для концентраций приводит к выражению 4лР(с„— сз) Л= $3 и Отсюда следует, что если гз = оо (неограниченная среда вокруг сферы радиуса гг) н при этом на бесконечности концентрация равна нулю, то ДГ = 4лРс!г1. (х) Этой формулой может описываться, например, скорость растворения твердого тела в жидкости, ибо она определяется скоростью дифФузии растворяюшегося вещества в жидкости.

В самом деле, ведь в узком слое вблизи поверхности тела сразу образуется насыщенный раствор. Последующее же растворение идет по мере диффузии растворенного вещества из этого слоя в окружаюшую жидкость. Если растворяемое тело имеет форму шара (радиуса г~) и концентрация насышенного раствора вблизи него равна сы а вдали от шара положена равной нулю, то полный диффузионный поток 1ч от шара в растворитель, т. е. количество растворяюшегося в единицу времени вещества, определится через (х), Здесь удобно остановиться на размерности коэффициента диффузии. Если определить т' как число молекул растворенного вешества, проходящих в единицу времени через единичную площадку, то [1„[ = 1/(с м ). Концентрация же есть число растворенных молекул в единичной объеме и ее размерность [с[ = 1/мз.

Если же теперь в (4.З) сравнить размерности обеих сторон, то получим мз [Р[ = —. с Как оценивать времена диффузионных процессов? Исходим из соображений размерности. Прежде всего, время выравнивания концентрации в некоторой смеси не может зависеть от самой концентрации. В самом деле, если концентрацию смеси в различных местах изменить в одинаковое число раз, то пропорционально этому изменению изменится и диффузионный поток и время выравнивания останется прежним. Совершенно очевидно, что время установления т однородного состава смеси во всей системе может определяться лишь коэффициентом диффузии Р и размером Ь той области среды, в которой концентрации различны.

Из этих величин можно составить единственную комбинацию, имеюшую размерность времени д2 т (4.4) Р Время т можно назвать «временем релаксации» для процесса диффузии, т. е. временем установления равновесного состава смеси вдоль системы. Оно пропорционально квадрату размера системы и обратно пропорционально коэффициенту диффузии. Демонстряннонное моделирование случшйного молекулярного движеютн Прибор представляет собой плоскую доску, покрытую (с некоторым зазором) с лицевой стороны стеклом. Сама доска покрыта металлическими шестиугольникаии, расположенными в шахматном порядке. Снизу пространство доски разделено металлическиии пластинаии на ячейки.

Сверху доска в своей центральной части имеет плоскую коническую воронку, в которую пожег насыпаться металлическая дробь. Шарики дроби, проходя через «лес препятствий», испытывают случайные блуждения по пространству доски. В какую ячейку доски попадет тот или иной шарик предсказать невозможно. Можно лишь рассчитать вероятность попасть дробинке в ту или иную ячейку. При достаточно большом количестве бросаний дробинок заполнение пространства ячеек образует распределение, напоминающее закон ошибок Гаусса. 3 5.

Взгляд изнупграг случайные процессы в газах Здесь мы хотим углубить понятия о вязкости, теплопроводности и диффузии, введенные «полуэмпирическим» путем в предыдушем параграфе. А именно, будет установлена связь вязкости, теплопроводности и диффузии с молекулярной динамикой в газах. Такой физический подход к изучению явлений переноса в газах особенно полезным оказывается в приложениях. Появление аэрокосмической техники ставит летательные аппараты в экстремальные условия полета.

В самом деле, на околоземной орбите аппарат движется в сильно разреженной атмосфере; здесь окружаюшую среду нельзя рассматривать как сплошную. Производя сход с орбиты, аппарат проследует через ионосферные слои, представляюшие собой частично ионизованную плазму. Движение аппарата на более низких высотах, через плотные слои атмосферы, сопровождается образованием мошной уларной волны. Огромная коническая ударная поверхность с тупой вершиной раскаляет воздух внутри себя до нескольких тысяч градусов.

Чуть поодаль от этого раскаленного и уплотненного воздушного «шита» движется сам летательный аппарат. Значительно потеряв скорость, в дальнейшем аппарат совершает Планирующий полет по обычным законам аэродинамики. 36 э" 5. Взгляд изнутприт случайные процессы в газок Процессы диффузии, вязкости и теплопроводности называют кинетическими процессами, а иногда процессами переноса и даже случайными процессами. Последний термин пожалуй наиболее удачен, ибо понять термодинамическую необратимость указанных процессов легче всего с точки зрения законов больших чисел. Сами эмпирические постоянные — коэффициенты вязкости, теплопроводности н диффузии — называют кинетическими коэффициентами.

В жидкостях н газах кинетические коэффициенты, являясь некоторыми характеристиками вещества, проявляют, вообще говоря, зависимость от температуры и давления. Нахохсдение кинетических коэффициентов производится обычно опытным путем: создаются градиенты и измеряются соответствующие потоки. Производя такого рода измерения при различных телшературах и давлениях, находят зависимость кинетических коэффициентов от состояния вещества среды. В жидкостях и плотных газах отсутствуют сколько-нибудь общие зависимости кинетических коэффициентов от Т и Р.

Последнее связано с различием молекулярных взаимодействий в различных жидкостях, которое существенно для процессов молекулярного переноса массы, импульса и энергии. Идеальные газы, т. е. газы с не взаимодействующими молекулами (точнее, слабо взаимодействующими), допускают теоретическое рассмотрение связи кинетических коэффициентов с молекулярными параметрами в общем виде. Однако как бы мало нн было взаимодействие между молекулами такого относительно разреженного газа, именно оно (взаимодействие) является механизмом установления статистического равновесия в системе. Материал, изложенный в этом параграфе, будет использован в дальнейшем (см. Э 16 и др.). 5.1.

Пробег и сечение столкновения Взаимодействие молекул (или атомов) на относительно больших расстояниях носит характер слабого притяжения (ван-дер-ваальсовы силы). Что же касается взаимного влияния молекул при их тесном сближении, то оно проявляется как обоюдная «непроницаемость». Возникновение резко возрастающих сил отталкивания между молекулами на расстояниях, сравнимых с собственными размерами молекул, обусловлено двумя обстоятельствами: 1) кулоновским отталкиванием ядер, 2) «квантовомеханической несовместимостью» внешних электронных оболочек одинаковых молекул при их взаимном касании (электроны есть ферми-частицы 11).

Если попьпаться графически изобразить зависимость энергий межмолекулярного взаимодействия 7У з от расстояния т между центрами молекул, то несколько условно указанная функция 1г11(т) представлена на рис. 5.1. Условность рнс. 5.1. связана с тем, что взаимодействие молекул, в отличие от взаимодействия атомов, зависит не только от взаимных расстояний, т1 О понятии «ферма-частяца, нян фермнон», равно как н о ряде дРугих квантов»о понятий, см. в дальнейшем 111.1.

З 5. Взгляд изнутриг случайные процессы в газах 37 но и от взаимной ориентации, т. е. У з является функцйей многих параметров. На этом рисунке гд есть «радиус» молекулы; Ц> — «глубина потенциальной ямы», она порядка величины критической температуры данного вещества и составляет десятые или сотые доли электронвольта. Заметим, что аналогичная функция 01 з(г) для межатомного взаимодействия внутри молекулы имеет минимум Уд порядка нескольких электронвольт.

Рис. 5.2 Рвс. 5.1 Рассмотрение реальных взаимодействий молекул, а оно должно проводиться на квантовомеханической основе, является довольно сложным делом. Мы введем упрощение, перейдя от кривой взаимодействия двух молекул (рис. 5.1) к кривой взаимодействия двух упругих шаров (рис. 5.2). На рис.

5.2 тд есть радиус шара; само же взаимодействие сволится к кратковременным моментам столкновений шаров. Рассмотрим достаточно разреженный газ молекул (шаров), в котором можно было бы пренебрегать одновременными столкновениями более чем двух молекул в одном акте О столкновения. Пусть число молекул в еди- О нице объема есть п. Какое среднее расстоя- <~ ние 1 должна пройти молекула двя того, чтобы О с заметной вероятностью столкнуться с другой Рве. 5.3 молекулой? Слой газа малой толщины «прозрачен» для нашей молекулы.

Спроецируем все молекулы слоя на экран елиничной плошади (см. рис, 5.3). При достаточно большой толщине 1 слоя он становится «непрозрачным»; при этом на экран проецируется п1 молекул. Доля площади экрана, покрытая проекциями молекул, есть ятдп1. Если эта величина близка к единице, то слой непрозрачен. Таким образом, расстояние, пролетев которое молекула почти наверняка испытает столкновение, будет 1 я'оп Величину 1 называют длиной свободного пробега молекул, а г о = 4ягд (5.1) 38 З 5. Взгляд азнушраг сяучааные лраиессы а газах эффективным сечением столкновения молекул.

Выражение (5.1) следует из того, что наибольшее расстояние между центрами двух шаров (молекул), на котором они могут пройти так, чтобы еще коснуться друг друга, равно 2тд. В итоге 1 (5.2) па Наряду с величиной ! можно рассматривать также и среднее время т между двумя последовательными столкновениями молекул. Ясно, что по порядку величины т в где а — средняя скорость теплового движения молекул. Сделаем численные оценки рассматриваемых величин.

Сечение взаимодействия 4л(!О-ю)з ! !О-ш мз В ! мз газа при нормальных условиях, т. е. 0 С и давлении 1 атм, содержится и = 2,7. 10м молекул. В результате для длины свободного пробега молекул получим ъ 3 ° !О м. !0-7 2,7 1Оз'! 10 м Среднюю тепловую скорость молекул (например, азота) оценим по фор- муле ~~т З 3 !О-"З !Ог х'" а ~/ — ~ ) вб 10 ьг/с.

у' т (, зо !о-" ) Отсюда среднее время ме:кау столкновениями молекул будет З 1О т 5 10 с. б 10з Произведенные численные оценки вполне согласуются (в пределах порядков величин) с прямыми опытными данными, а также с более последовательными (чем это принято в нашем изложении) теоретическими расчетами. Зто означает, что модель газа с молекулами-шарами достаточно хорошо передает суть изучаемых явлений.

5.2. Молекулярное рассмотрение процесса диффузии Пусть в газе давление и температура всюду одинаковы. Сам газ представляет собой смесь двух компонент, причем состав смеси меняется вдоль одного направления, которое примем за ось Х. Станем рассматривать один из газов смеси (газ 1); обозначим п1 число молекул его в единице объема, которое будет функцией координаты а. Построим на оси Х условную единичную площадку с координатой л и расположенную перпеидикулярно оси. Число молекул, пересекающих з 5. Взгляд ознугорог глучооные процессы в газах 39 эту площадку в единицу времени, есть п~в, где о — средняя тепловая скорость молекул. При этом диффузионный поток определяется как разность числа молекул данного сорта проходящих плошадку слеаа— направо и справа налево, Для подсчета же самого потока через единичную плошадку, очевидно, следует брать лишь слой газа толщиной 8, где М— длина свободного пробега молекул, и расположенного по обе стороны от выбранной плошадкн. Тогда диффузный поток запишется как у оп~(к — 1) — оп1(в+ 1).