Иванов Б.Н. - Мир физической гидродинамики. От проблем турбулентности до физики космоса, страница 5

По значениям Р и р, используя уравнение состояния вещества, можно определить все остальные термодинамические величины. В заключение параграфа остановимся на пределах применимости макроскопического описания. Гндродинамика, так же как и термодинамика, не интересуется микроскопическим состоянием вещества срелы. Среды Рассматриваются как сплошные, т.е. их атомарной структурой можно пренебречь.

В соответствии с этим гидродинамические соотношения, так же как и термодинамические, применимы к любым средам. Сами же пределы гндродннамнческого описания особенно четко проявляются при рассмотрении макроскопических движений газов. А именно, законы гилродинамики (в данном случае газодинамики) справедливы до тех пор, пока длины свободных пробегов 1 молекул (см, в дальнейшем) газа много меньше характерных размеров Х системы. Так, в аэродинамических тРубах при нормальных давлениях ведут исследование газовых потоков, обтекающих разного рода модели, на основе законов пшродннамики; ведь в этом случае 1 «Ь, где Ь вЂ” размеры модели. Если же понижать давление в каналах трубы, то течение сильно разреженных газов уже не будет описываться гидродинамикой, ибо в этих условиях может оказаться, что 1 ° Ь.

Вообще, в рамках гндродинамики полагают О. 2й 5 2. Движение жидности с высоты птичьего полета Границы применимости гидродинамики и термодинамики совпадают. В связи с этим замечанием напомним, что точность описания в термодинамике определяется относительным уровнем тепловых флуктуаций в макросистеме. Что же касается течений сильно разреженных газов, то они должны рассматриваться на основе методов статистической теории явлений переноса. Вихрь в званой втиосфврв (вид с во«ив«вской высоты) 4 3. Течение гемодельной» жидкости 3.1. Закон сохранения вещества в гидродинамике Как понимать название настоящего параграфа? Дело в том, что реальная жидкость отличается сложностью явлений, происходящих в ней.

Действительно, при взаимном скольжении слоев жидкости в ней проявляются силы внутреннего трения — свойство так называемой вязкости. Хотя бы небольшое различие температур в разных точках жидкости ведет к процессам теплопередачи. Неоднородность в химическом составе жидкости влечет за собой появление диффузии. При значительных скоростях движения сред (особенно газов) проявляются эффекты сжимаемости, т.е.

плотность среды становится переменной. Наконец, в электропроводяших жилкостях каждая точка среды будет характеризоваться дополнительно своими значениями электрических и магнитных полей, а также наличием токов. Поставим жидкость в такие условия, когда от большинства перечисленных свойств можно отвлечься. Примем во внимание лишь самое главное из ее свойств, а именно, чисто механические закономерности движения. «Портрет» такой жидкости будет скорее «дружеским шаржем» на реальную жидкость.

Подобную «модельную» жидкость в гидродинамике называют идеальной. В предыдущем параграфе было отмечено, что для рассмотрения течений жидкости используются законы сохранения. Остановимся сначала на законе сохранения массы. Макроскопическое движение в среде, естественно, сопровождается переносом массы. Изменение величины р(г, «) подчиняется закону сохранения массы в его локальной формулировке: Убыль массы в единицу времени в некотором объеме должна равняться потоку массы через поверхность, охватывающую рассматриваемый объем.

Сформулируем это утверждение количественно. Пусть рассматриваемый объем в жидкости есть тв (мы его выделяем в жидкости мысленно). Количество жидкости (ее масса) в объеме Ро будет выражаться как р)гв, где В 3, Теченое «модельной» жидноппн 22 Р есть среднее значение плотности жидкости в объеме 5~ (ведь сама плотность есть функция координат). Что же касается уменьшения количества жидкости в объеме Ра за единицу времени, то оно запишется в виде ~~(Р~'ь) «ь1 Знак «-» здесь поставлен для того, чтобы само выражение было положительным.

Рассмотренное уменьшение количества жидкости в объеме Ъ'д за единицу времени может быть вычислено и другим способом. Сам объем Ъ~ ограничен некоторой поверхностью Яю Введем направленный элемент поверхности вЯ; его абсолютная величина равна площади элемента поверхности, а направлен он по внешней нормали к поверхности. Масса жидкости, вытекающая через элемент поверхности ЙЯ за единицу времени, будет Рддр, ведь скалярное произведение ВИЯ = ~е!~ИУ) сох (е, дУ) есть секундный объем жидкости. Выражение ВИЯ положительно, если угол д, дУ острый, и отрицательно, если он тупой, т.е. элементарный поток ре вЯ жидкости берется со знаком «+», если жидкость вытекает из объема Рю и со знаком « — » в случае его втекания в объем $~. Чтобы получить полное количество жидкости, вытекающее за единицу времени из объема Рь, нужно обойти всю ограничивающую его поверхность Яе и просуммировать все элементарные потоки (со своими знаками).

Так нужно было бы сделать. Однако мы воспользуемся средним значением нормальной составляющей скорости В«потока, и запишем искомое выражение как (»») Р«»л Сравнивая теперь (») и (»»), получим окончательно гз(Р»ь) = Рб»»»»мк Ы (3.1) Зто есть закон сохранения вещества в гидродинамике. Заметим, что в физике уравнение вида (3. 1) встречается неоднократно. Если для величины и ее потока имеет место соотношение типа (3.!), это означает ее сохранение. В данном случае, рассматриваемой величиной является плотность массы р, а плотностью потока массы выражение ре.

Рассмотрим стационарное течение жидкости, т. е. такое ее движение, при котором величины, описывающие это движение, не зависят Рн Рьа 1 Рвс. 3.1 23 5 3. Течение «исдельлои» жиднооли аз(Р га) = О. В силу этого, из (3.1) следует (3.2) р1и1$ь = ргегоз = сопзГ; здесь ог — площади сечений трубки тока в соответствующих местах. Эта важная и простая формула найдет в дальнейшем многочисленные применения. В случае несжимаемой жидкости, т.е. когда плотность вдоль трубки тока неизменна: Р1 = Р? = Сопзг из (3.2) вытекает хорошо известная связь о1 ~2 ег Я1' говорящая о том, что в узком месте жидкость течет быстрее, чем в широ- ком.

3.2. Уравнение Бернулли возьмем за основу Закон сохранения импульса в жидкости должен выражаться соотноше- нием типа (3.1), т. е. — ад.абъоаа = аатока Заааа. (3.3) Это и есть уравнение движения в гидродинамике. Оно аналог уравнений движения Ньютона. Для случая стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости из уравнения (3.3) следует известное соотношение Бернулли 2 р — + — = сонм. 2 Р (3.4) При этом в безвнхревых течениях сопзг одна и та же для всех линий тока в жидкости.

Наличие же вихрей приводит к тому, что сопзг может быть различной для различных линий тока и линий вихря. Заметим, что запись (3.4) верна для условий невесомости, а также лля горизонтально расположенных трубок тока, находящихся в поле тяжести. Ввиду важности уравнения (3.4) приведем его элементарный количественный вывод. Для этого рассмотрим пучок линий тока, образующих от времени. Используем понятие трубки тока, это есть объем движущейся жидкости, поверхность которого ограничена линиями тока (траекториями «точек жидкости»). Пример трубки тока дается на рнс.

3.1. Ясно, что в трубке тока изменения количества жидкости не происходит (поток жидкости через боковую поверхность трубки тока отсутствует), т.е. 24 б 3. Течение «моделькой» жидкости 2 2 Р~ Я Ш дьс — Рзо2и22ас = (о2 — и1), 2 где Р— давление жилкости, Ьт — масса рассматриваемого элемента жидкости. Поскольку же Лт = рЯзн;гьс, где т — номер сечения, то последнее соотношение переходит в и| 1 ~ и2 Р2 — + — = — + —.

2 р 2 р Это не что иное как формула (3.4). Обобщением формулы (3.4) на случай наличия поля тяжести является е2 Р— + — +рл = солнц 2 р (3.5) где р — ускорение силы тяжести, л — вертикальная координата рассматриваемого сечения трубки тока. Полученные нами соотношения (3.4), (3.5) описывают движения идеальной жидкости. Поскольку в отмеченные формулы время 1, неявно содержащееся в скорости и и ускорении д, входит лишь в квадрате, то сами уравнения движения не изменятся при операции 1 — -1.