Иванов Б.Н. - Мир физической гидродинамики. От проблем турбулентности до физики космоса, страница 9

(ч) В (*) п,(х — 1) есть число молекул сорта ч1», находящихся в единице объема вблизи точки к — Е Изменение же функции п~ в двух близких точках в — 1 и х+ 1 может быть выражено произведением ее производной на расстояние между этими точками, т. е. дп1 п1 (х — 1) — п1 (в + 1) — 1 —. йх Здесь предполагается, что концентрация молекул сорта «1» растет в положительном направлении оси Х.

В результате (ч) примет внд Й~1 — И вЂ”. 7ч Сравним теперь (чч), например, с (4.3), тогда получим, что Р вй (5.4) Таким образом, коэффициент диффузии в газах по порядку величины равен произведению средней тепловой скорости молекул на их длину свободного пробега. Выражению (5.4) можно придать другой вид. Используя для 1 (5.2), запишем В по' где и — полное число молекул обоих компонентов газа в единице объема. Если же обратиться к уравнению состояния идеального газа, то из него плотность числа молекул и тогда (5.6) В результате, коэффициент диффузии обратно пропорционален давлению (при заданной температуре). Что же касается зависимости 1ЦТ), то ее легко выяснить, если вспомнить, что е ГТ; в итоге Ю Тч~. Заметим здесь, что сечение взаимодействия о для реальных молекул является убываюшей функцией температуры, нбо время взаимодействия уменьшается с ростом относительных скоростей молекул.

Однако указанная зависимость весьма слабая. Для модели молекул-шаров о есть константа. 40 4 5. Взгляд ознузлрос случайные процессы в газах 5.3. Диффузия как задача о случайном блуждании частиц Изучая процесс диффузии, мы невольно залаем вопрос: почему с течением времени частицы смешаются на значительные расстояния от первоначального положения? Если движение молекул соверщенно случайно и все направления равновероятны, то частица, казалось бы, должна «топтаться на месте».

Рассмотрим движение броуновской частицы — частицы макроскопической, но достаточно малой для топу, чтобы чувствовать различие в числе ударов молекул жидкости с разных сторон, Беспорядочность н случайность результирующего воздействия молекул на частицу, вызывает столь же беспорядочное и случайное ее движение как целого. Обратимся к рис. 5.4а, на нем изображено движение броуновской частицы, наблюдаемое под микроскопом. Каждьгй прямолинейный отрезок фиксирует смешение частицы из некоторого начального положения в конечное через равные промежутки времени хзг. Общее время наблюдения 4, общее число смещений хт' а~. Рис.

5.4 На рис. 5.46 представлено одно звено большой ломаной, состоящее из двух последовательных смещений АВ и ВС. Отрезок АС есть замыкающий. По известной геометрической теореме (АС) =(АВ) +(ВС) — 2АВ ВСсовво. Введем в рассмотрение дополнительный к Вз угол а, тогда на основе равенства сову = сов(я — а) = — сова, приведенное соотношение запишется (АС) = (АВ) +(ВС) + 2АВ ВСсова.

(е) Перейдем теперь к большой ломаной. Ее можно представить как состоящую из множества парных звеньев. Для каждой пары последовательных О Разумеется, что наблюдаемое движение броуновской частицы в промежутке между регистрацией событий запутано и хаотично. э 5.

Взгляд азнутраг случааные ирацессы е газах 41 смешений можно написать соотношение типа («). Складываем их почленно и делим на общее число смещений з1Г. В полученной сумме последним суммарным членом, содержащим сова;, можно пренебречь в силу его чрезвычайной близости к нулю. Зто следует из самого характера броуновского движению оно хаотично, а значит все значения угла а будут встречаться одинаково часто. Другими словами, в последней сумме частота появления близких по величине слагаемых, но имеющих противоположные знаки, практически одинакова. Наблюдения показывают, что средние значения квадратов смещений (г.'гх)з с большой точностью одинаковы, и это тем более правильно, чем большее число смещений 1«' мы рассматриваем.

В итоге, средний квадрат результирующего смешения Ал (см. рис. 5.4 а), для которого мы введем обозначение гз, будет связан с (гзх)з равенством г з = дг(гхх)з. (5.7) Число смещений Х выражается через полное время 1 наблюдения и временной интервал Ы между смещениями, следующим образом Тогда (5.7) запишется в виде з (~х) зЪ» (5.8) Обратим здесь внимание на сходство соотношений (5.8) и (4.4). Зто сходство не только количественное, но и сходство в постановке задач. Указанное позволяет установить следующую связь Х,з В1 (5.9) Результат (5.9) замечателен во многих отношениях.

Во-первых, он отвечает на поставленный в начале параграфа вопрос — почему частица уходит из первоначального положения, а не остается в некоторой ограниченной области; более того, результат (5.9) показывает, как частица «мигрирует» во времени (радиус «миграции» пропорционален ъ6). Во-вторых, полученный вьпюд раскрывает природу процесса диффузии. 5.4. Связь между случайными процессами перепаса в газах Диффузионный поток у связан с избыточным переносом молекул в одном из направлений, т.е. связан с переносом массы.

Теплопроводность можно рассматривать как «диффузию энергии», а вязкость — как «диффузию импульса макроскопического движения». Поскольку необратимый перенос массы, энергии и импульса в газе связан с одним и тем же молекулярным механизмом, соответствующие кинетические коэффициенты обязаны иметь один и тот же порядок величины. При этом мы берем 42 й 5. Взгляд азнузлраг случайные процессы в газах те коэффициенты переноса„которые являются аналогами друг друга и в соответствуюших процессах диффузии, теплопроводности и вязкости играют одинаковую роль.

Так, «диффузия энергии» будет описываться так называемым коэффициентом температуропроводности к к Х= рСр пер з! т! Р— — —— р тип (5.!!) где т! — коэффициент динамической вязкости, т — масса молекулы, Указанные коэффициенты переноса 23, 1т, н имеют одинаковую размерность [мз/с]. В результате проведенного анализа можно написать, что 22 к т! (5.12) рС, р' .0 к з! (5.13) иср пти Полученные соотношения (5.12) и (5.13) выражают связь между кинетическими коэффициентами в газах.

Отметим, что для большинства реальных газов измеренное отношение н/3с находится в пределах 0,75 —; 0,90. Из (5.13), при учете (5.4), сразу следуют выражения для коэффициента теплопроводности; к ° пере! (5. 14) и коэффициента вязкости; ита!. (5.15) Если в (5.14) и (5. ! 5) использовать для длины свободного пробега ! соотношение (5.2), а для средней тепловой скорости н молекул связь и „ЙТ/тт, то получим (5.1ь: ъ/тйТ т1 (5.17) а Таким образом, в отличие от коэффициента диффузии, коэффициенты теплопроводности и вязкости не зависят от давления. От температуры коэффициенты к и т! зависят примерно как ГТ. где и — коэффициент теплопроводности, Ср — теплоемкость при постоянном давлении для единицы массы тела, ср — теплоемкость, отнесенная к одной молекуле, р — плотность массы, и — плотность числа частиц. «Диффузия импульса макроскопического движения» описывается коэффициентом кинематической вязкости В 5, Взгляд изнутри: случайные працессы в газах 43 Изложенные выше молекулярно-кинетические представления впервые последовательно были рассмотрены австрийским физиком-теоретиком Людвигом Больцманом (1877 г.).

Не все физики того времени верили в реальность атомной картины мира. По этой причине судьба великого Больцмана была трагичной. Он не смог вынести нападок противников своей теории и покончил жизнь самоубийством. На могиле Людвига Больцмана изображена знаменитая формула Я = й!пга, которую физики причисляют к разряду сверхформул. Она связывает макроскопическую характеристику тела, так называемую энтропию Я, с его микроскопическими состояниями, а именно, с вероятностью га этих состояний; коэффициент к — известная постоянная Больцмана. Само макросостояние тела в целом может быть реализовано огромным числом способов распределения всех его частиц цо их различным микросостоянням.

Логарифм этого числа способов и есть энтропия. При низких температурах энтропия Я вЂ” О, а при высоких быстро растет. Во всех реальных молекулярно-кинетическнх процессах перехода к равновесию энтропия только возрасгает; в самом состоянии равновесия она максимальна (для данных условий), Указанные процессы в обратном направлении самопроизвольно идти не могут, ибо это связано с уменьшением энтропии; по этой причине нх называют необратимыми. Рассмотренные выше процессы вязкости, теплопроводности и диффузии, связанные с молекулярным механизмом переноса, являются необратимыми (на что мы ранее указывали).

Вихревая дорожка Кармана за круговым цилиндром лри числе Рейнольдса ме = 140. Диаметр цилиндра 1 см, скорость течения 1,4 си/с. Визуализация движения в воде осуществляется следующим образом: частицы метятся электролитическим способои и освещаются лазерным пучком.