Иванов Б.Н. - Мир физической гидродинамики. От проблем турбулентности до физики космоса, страница 7

Знак « — » в (4.1) обеспечивает положительность правой части равенства. Установим размерность коэффициента вязкости. Поскольку поток импульса есть полный импульс, переносимый через единичную площадку, перпендикулярную выделенному направлению Х, в единицу времени, то кг м/с кг [П1 = м2. с м. С2' Размерность же градиента скорости Но м 1 Так как размерности левой и правой части равенства (4.1) должны быть одинаковы, то для размерности коэффициента вязкости получим кг (г!] = — = Па с. м с Всякая реальная жидкость обладает вязкостью. Если такая жидкость течет, например, вдоль стенок цилиндрической трубы, то тонкий слой жидкости непосредственно прилегающий к поверхности твердого тела будет, вследствие молекулярного сцепления, как бы «прилипать» к стенке.

В результате скорость теченья жидкости будет возрастать от о = 0 Рассмотрим плоскопараллельный поток жидкости, т.е. такое ее течение, в котором вектор скорости 6 всюду имеет одинаковое направление (см. рис. 4.1). Пусть, к тому же, величина скорости о меняется (уменьшается) лишь вдоль положительной оси Х, перпендикулярной потоку жидкости. Тогда скорость будет функцией координаты, т, е, о = о(х). В этом случае для умеренных перепадов (градиентов) до/Их скорости течения, поток импульса П будет пропорционален градиенту скорости: Ио П=-и —, (4. 1) дх Э 4.

Теченое реальной жиднооно на стенках до некоторого максимального значения на оси трубы. Вследствие же (4.1), из жидкости к стенкам установится поток импульса (ведь импульс передается от быстрых частиц к медленным). Но всякое изменение импульса системы со временем означает, что на нее действует некоторая сила, в данном случае — сила трения. Последняя приводит к постепенному замедлению течения жидкости и переходу в конечном итоге ее кинетической энергии в тепло. 4.2. Пуазейлевское течение Французский физиолог и физик Жан Пуазейль в 1840 г. опубликовал свои экспериментальные исследования по движению крови в венах и капиллярных сосудах. Эта работа еще один пример нетрадиционного применения методов гидродинамики.

В теоретическом плане работа Пуазейля сводилась к следующей задаче. Рассмотрим стационарное течение жидкости в цилиндрической трубе. Жидкость будем характеризовать коэффициентом вязкости г1. Геометрия трубы задается ее радиусом В и длиной Ь. Жидкость движется вдоль оси цилиндра под влиянием перепада давлений йР = Рт — Р на концах трубы (см. рис. 4.1 б). На текущую жидкость действуют две силы: сила трения, тормозящая поток, и движущая сила, связанная с дьР. Чтобы написать выражения для этих сил, построим в потоке жидкости вспомогательный коаксиальный цилиидр с радиусом г (отсчет производим от оси цилиндра).

Так как поток импульса П направлен вдоль радиуса от осн к стенке, то сила трения плоШадь цнлиядра Учтем, что сам поток импульса в рассматриваемом случае выглядит как ИО П=-ц —. дг В результате сила трения, действующая на выделенный обьем жидкости со стороны окружения, будет Ив Р,р — — -23 г2л1 —. Ат Разность давлений ььР, действующая на основания рассматриваемого цилиндра, даст движущую силу Г' плошадь ь Р, = сьР. 1 основания) = ЬР нг . цилиндра Поскольку течение жидкости стационарное, то указанные силы должны быть одинаковы (Р = Р ), т, е.

— 2нтйг1 — = нт 1дР, с1г 31 Э 4. Течение реальной жидноояи ди 1аР— = — — г. (ь) 4 2ЬЧ Решение этого уравнения мы предлагаем найти читателю. Здесь же приведем окончательный результат: и = — ( — г ). г (ьь) 4Ьгг Из формулы (ьь) следует, что скорость в потоке вязкой жидкости меняется по параболическому закону, возрастая от нуля на стенках до максимального значения и,„= (ЬР)4йгг)Ргг на оси цилиндрической трубы (см. рис.4.! б). Формула (*ь) названа формулой Пуазейля, в честь экспериментальных работ этого исследователя, хотя непосредственно он к ней отношения не имеет. Формула Пуазейля применима только для ламинарных течений (см.

в дальнейшем). Один из методов эмпирического определения коэффициентов вязкости жидкостей основан на этой формуле. 4.3. Неравномерно нагретая жидкость Реальная жидкость отличается от «модельной» идеальной жидкости еще и тем, что температура ее в различных местах может быть различной. Так, купаясь в реке в солнечный теплый день, вы, нырнув поглубже, попадали в прохладные слои воды.

Спрашивается, какие дополнительные процессы возникают при рассмотрении движения неравномерно нагретой жидкости? Чисто механический обратимый перенос импульса в среде обуславливает, естественно, и обратимый перенос механической энергии.

Если температура движущейся жидкости различна в различных точках, то наряду с обратимым переносом энергии, возникнет и необратимый ее перенос из мест с более высокой температурой в места с температурой более низкой. Этот последний поток энергии связан с переходом системы в термодинамически равновесное состояние. Сам процесс выравнивания температур, который называют теплопроводностью, осуществляется молекулярным механизмом: молекулы из более нагретых участков среды, сталкиваясь при своем движении с молекулами соседних, менее нагретых участков, передают нлг часть своей энергии.

Отметим, что при течении вязкой и неравномерно нагретой жидкости необратимый перенос энергии связан не только с теплопроводностью, но н с наличием трения. Пусть температура Т среды меняется только вдоль некоторого выделенного направления, которое примем за ось Х. Сам поток тепла определим как его количество, проходящее через единичную площадку, перпендикулярную оси Х, в единицу времени. В случае, если перепады температур в неподвижной среде невелики, то плотность потока тепловой энергии г„пропорциональна градиенту температур, т. е. АТ г,= — н —, (4.2) йя' 32 р 4. Течение реальной жиднаопи где и есть так называемый коэффициент теплопроводности, он определяет скорость передачи тепла. Размерность потока тепла, по определению, будет Дж/(лгз с).

Поскольку же размерность )йТ(ах) = град/м, то размерность коэффициента теплопроводности будет Дж Вт м с.град м.град 4.4. Задача, которую решал Фурье В гидродинамике мною элементов так называемой математической физики. Это раздел математики, который изучают и на «мехмате», и на «физфаке» вузов. Он содержит детальную разработку математических вопросов, часто возникающих при решении физических и физико-технических проблем. Одним из основателей классической математической физики является Жан Фурье, французский исследователь, главный труд которого— «Аналитическая теория тепла» (1822 г.). В этой работе вводится понятие о теплопроводности, выводится дифференциальное уравнение для распространения тепла в неподвижных срелах и с помощью его решается множество задач по теплопередаче в системах с усложненной геометрией.

гу Одну из самых простых задач мы изложим ниже. Пусть рассматриваемый слой вещества толщиной Й ограничен двумя параллельны- Ю ми плоскостями; плошадь каждой из них есть Я Х (см. рис. 4.2). Сами плоскости поддерживаются при температурах Т~ и Тз, при этом Т1 > Тз. Т Тг Будем считать коэффициент теплопроводности г вещества к = сопзг; мы пренебрегаем его завиРвс.4.2 симостью ог температуры н для этого полагаем разность Т1 — Тз относительно малой. Поскольку поток тепла будет направлен от Т~ к Тм введем ось Х в направлении от Т, к Тз с началом отсчета в Ть Исходя из соображений симметрии, ясно, что распределение температур Т(х) будет зависеть лишь от х.

Составим уравнение для искомого распределения температур. В выражении лля полного потока тепла (») используем связь (4.2), тогда (») примет вид йТ 9= — кЯ вЂ”, йх где Ч от а не зависит. Полученное дифференциаяьное уравнение для искомой функции Т(х) необходимо проинтегрировать, в результате чего будет найдено его решение, т.е. распределение температуры в слое как функция я.

Для 33 в4. Теченое реальной жвдхосяю этого перепишем уравнение как 6Т = — — ~Ь; яЯ интегрирование левой и правой частей написанного выражения дает Т = — — я+ сопзг. 9 нЯ Мы внлим, что температура есть линейная функция координаты поперек слоя. Определение постоянной интегрирования мы отдаем в руки читателя. 4.5. Диффузия. Растворение кристалла в жидкости До сих пор мы рассматривали однородную жидкость. Сейчас остановимся на изучении поведения смесей жидкостей. Пусть жидкость состоит из смеси двух веществ, причем состав смеси неоднороден вдоль ее объема. Прн макроскопическом движении смеси жидкости ее состав в каждом данном участке не будет меняться. Это есть следствие чисто механического обратимого переноса массы.

Однако неоднородность состава смеси в различных участках вызовет и необратимый перенос компонентов смеси. Механизм этого переноса будет носить молекулярный характер. Сам указанный процесс выравнивания концентрации называют диффузией. При изучении диффузии обычно рассматривают неподвижную, равномерно нагретую, неоднородную жидкость.

Состав смеси описывается концентрацией с, определяемой как отношение массы одного из входящих в состав смеси веществ к полной массе жидкости в данном элементе объема. Пусть даны две сферические концентрические поверхности, между которыми заключен слой вещества. На этих сферах поддерживаются определенные концентрации с~ и сз (см. рис.4.3). Ряс.4.3 Пусть с| > см тогда возникающий диффузионный поток дс = -Ю— (4. 3) дт' где Р есть коэффициент диффузии, а дс(аг — градиент концентрации. Полный же поток вещества Ф =4яг 3 г.