Иванов Б.Н. - Мир физической гидродинамики. От проблем турбулентности до физики космоса, страница 10

Благодаря этому отчетливо видно, что чем дальше продвигается течение, тем больше становится ширина вихревой пелены. На большем расстоянии (не показано на фото) спутная струя развивается в два параллельных ряда шахиатно расположенных вихрей в б. Законы сопротивления движению тел в жидкости 6.1. Метод подобия. Число Рейпольдса Общие уравнения гидродинамики сложны в математическом отношении — они нелинейны.

Последнее видно даже из простого соотношения Бернулли, в которое скорость входит во второй степени. Положение еше более осложняется (в математическом плане) при изучении движения вязких жидкостей. Лишь небольшое число задач на вязкие течения может быть решено точно. В связи с этим в гидродинамике большое значение придается эксперименту (это, впрочем, характерно и для всей физики).

В указанных условиях исследования особенно ценными оказались так называемые методы подобия. Их сущность можно уяснить из следующих рассуждений. В уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости в качестве параметра, характеризующего самую жидкость, входит лишь кинематическая вязкость гг = т)ггр. Функциями, которые должны быть определены в результате решения уравнения, являются скорость о и отношение давления к плотности Р) р (плотность, в данном случае, постоянная величина). Формирование типа течения жидкости происходит также через условия на границах тела и зависит от его формы, размеров Ь и скорости п, Э 6. Законы сааравовленоя двоженою тея в жодкаопо 45 Рассмотрим определенный тип течения жидкости, им может явиться обтекание жидкостью тела заданной формы, например шара.

Пусть течение стационарно, т.е. скорость потока в каждой точке неизменна во времени. Тогда данный тип движения жидкости определится тремя параметрами: и, Ь, а. Учитывая размерности этих параметров: м [о[= —, [Ц=м, [а]=-, с с составим их безразмерную комбинацию.

Она единственная и называется числом Рейнольдса иЬ раЬ Ке = — = —. (6.1) о Число Рейнольдса входит в гидродинамические уравнения, и его численное значение существенно определяет структуру этих уравнений. Введем безразмерные координаты г/Ь и скорость В/и, т. е. будем измерять длины в единицах Ь, а скорость в единицах и. В результате решения нщродинамических уравнений получим для распределения скоростей функцию вида — —, Ке (6.2) Какие следствия вытекают из этого выражения? Если рассматривать два различных течения одного и того же типа (в нашем случае обтекание шаров различного радиуса жидкостями различной вязкости), то «поле скоростей» (6.2) у них будет одинаковым, если только числа Рейнольдса этих течений совпадают.

Указанные течения могут быть получены друг из друга простым изменением масштабов измерения координат и скоростеи; такие течения называют подобными. В итоге, мы приходим к следующему положению: течения одинакового типа с одинаковым числом Рейнольдса подобны. Практическим следствием рассмотренного является возможность моделирования реальных (крупномасштабных) течений в аэродинамических трубах, до постройки летательного аппарата, его уменьшенная копия продувается в газовом потоке, имеющем параметры, которые обеспечивают равенство чисел Рейнольдса для модели и аппарата. 6.2. Сопротивление при малых скоростях. Формула Стокса и опыты Милликеиа по определению элементарного электрического заряда В развитии гидродинамики долгое время (вплоть до конца 19 века) сосуществовали две тенденции: чистые теоретики обьясняли явления, которых никто не наблюдал; практики, занимающиеся строительством гидротехнических объектов, повсеместно встречались с явлениями, которые оставались необъяснимыми.

Причину такой ситуации Джон фон Нейман — один из крупнейших ученых МХ столетия (уделявший гидродинамике немало внимания)— 46 б 6. Зононы сопротивления движению тая в жидности видел в том, что теоретики прошлого изучали «сухую воду» (т. е, жидкость, лишенную вязкости), а не реальную «мокрую» воду, с которой имели дело практики. Впервые уравнения гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости были сформулированы Лж.

Стоксом — английским физиком и матема- тиком — в 1845 г. на основе модельных представлений французского ученого Л. Навье. Выясним относительную роль отдельных членов, входящих в гидро- динамические уравнения движения вязкой жидкости (уравнение Навье— Стокса), в зависимости от значения числа Рейнольдса. Если записывать члены этого уравнения лишь по их порядку величины, то оно будет выглядеть следующим образом: рн — 21 — = — Р 2 (6.3) Х, (мы имеем в внау стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости) В; Собранные вместе, они и представляют запись (6.3), к которой следует относиться чисто символически.

Здесь смысл обозначений тот же, что и в предыдущем параграфе (В 6.1), Член, содержащий плотность р называют инерционным; член с вязкостью включает в себя коэффициент ту. Легко заметить, что число Рейнольдса Ке = ( инерционный ) член (6.4) вязкостной ) ( член При малых его значениях, Ке < 1, инерционный член мал по срав- нению с вязкостным (см. (6.4)). При этом, согласно (6З), будет мала и скорость.

В результате при малых скоростях течения жидкости можно не учитывать инерцию самой жидкости при обтекании ею тела. В этом случае линии тока в натекающем (например, на цилиндр) потоке, имеют вид, приведенный на рис. 6.1 а. Поставим задачу о нахождении выражения для силы сопротивле- ния Р, оказываемой со стороны жидкости на тело с характерными размерами Ь, движущееся с малой скоростью и. Свойства жидкости, в рассматриваемом случае, можно описывать только коэффициентом вязкости 21. Сначала выпишем размерности участвующих величин: Щ= 2, (т(]=, Щ=м, ]и!=-.

Отсюда сразу видно, что размерность произведения тфм совпадает с раз- мерностью силы, т. е. (6.5) я Во избежание нелоразумений, заметим (лля сцениалистов), что в уравнении Нева«- Стокса, лля указанного случая: член (Вч)В имеет лоряаок величины и /А, член (Чггр)гзе Чи(рйт и, наконец, член тгР(р Р(рй.

б б. Законы сопротивления двшкеною твл в жодкоопы 47 не иЯ а) Жй к зю в) Ряс.б.5. Обтекание цилиндра; поток при различных значениях числа Рейнопьдса Это и есть искомая формула. В случае шара численный коэффициент в (6.5) равен бя. Точное выражение при этом имеет вид В = бят)Ви, (6.6) где  — радиус шара. Формулу (6.6) называют формулой Стокса. Она справедлива для медленных движений шара в жидкости. Формула Стокса полезна в целом ряде случаев. Так, она позволяет определять скорости макроскопических частиц, которые приближенно можно считать шариками, при их движении в жидкости под влиянием некоторой силы.

Например, осаждение частиц происходит под действием силы тяжести; сортировка частиц по массе в центрифуге идет под влиянием центробежных сил; неравномерно распределенные в жидкости взвешенные частицы участвуют в процессах диффузии под влиянием случайных флуктуаций давления.

В классических опытах Милликена по определению величины элементарного электрического заряда также использовалась формула Стокса. Напомним методику этих экспериментов. В камеру, содержашую две горизонтальные пластины плоского электрического конденсатора, путем распыления вводились мельчайшие капельки масла. При этом сами капельки обладали электрическим зарядом (или благодаря электризации при распылении или в результате поглошения ионов из воздуха). Путем слежения за капелькой под микроскопом определялась скорость и ее равномерного осаждения (электрическое поле в этот момент отсутствовало). КоэФфициент вязкости т) воздуха, плотность р масла и напряженность д поля тяготения считаются известными.

Тогда из условия равенства сил Р =Р„„р,т.е. тд= р -тгВ д =бят)иВ, 3. 3 получим для радиуса капельки выражение бят)и (4г'3) ярд 48 в 6. Законы саправавпекап дваженаю пгеп в жадкасгла Теперь включаем электрическое поле (с напряженностью Е), компенсирующее действие поля тяготения, иначе говоря, обеспечиваем выполнение соотношения «э» = «т»ж = «со»ю из которого следует, что дЖ = бяг1Ви.