Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа), страница 7

Более того, если хо любая точка [а, 6), то последовагпельность первообразных Фп(х) функций 1п(х), удовлетворяющих условию Ф„(хо) = О, сходится равномерно на сегментпе [а, 11~ к псрвгэобро„зной Ф(х) предельной функции 1" (х), удовлетворяющей условию Ф(хо) = О. Доказательство. Достаточно заметить, что для последовательности первообразных Ф„(х), удовлетворяющих условию Фн(хо) = 0 выполнены все условия теоремы 1.9.

Это обеспечивает равномерную на [а, 6) сходимость последовательности (Фн(х)) к предельной функции Ф(х), у которой в каждой точке [а, Ь~ существует производная, равная предельной функции 1 (х) последовательеюсти (~п (х) ) . 3 ам е чан и е 4. Подчеркнем, что в теореме 1.10 не требуется ни ограниченности, ни тем более интегрируемости функций 1 (х) на сегменте [а, 6).

Материал последних трех пунктов позволяет сделать следующий в а ж н ы й в ы в о д: равномерная сходимость не выводит из класса функцийч имеющих предельное значение (теорема 1.6) из класса непрерывных функций, (теорема 1.7), .из класса ин!пеграруемых функций (теореаса 1.8), из класси функций, имеющих первообразную (теорет!а 1.10) и (в случае равномерной сходимости производных) из класса дифференцпруемых функций (теорема 1.9). В заключение этого пункта приведем основанный на теореме 1.9 пример функции Г(х), производная 1'(х) которой суп1ествует всюду па сегменте [О, 1], но является разрывной в каждой рациональной точке этого сегмента. Пусть 34 Функ>)НОнлльные НОследОнлтельнОсти и 1тя>ды гл. 1 1 ! 1 ! положим пь(х) = — >>>(х — хь).

Тогда каждая производная и>(х) = — 1> (х— ь2 ье — х>) разрывиа в одной точке хе и непрерывна во всех остальных точках. Так как для всех х из сегмента (О, 1) [и>(х)] ч е < —, ]и>(х)] « —, ]х — хь]~ 1, 1 -Ь 2]х — хь] 3 то оба ряда 2 а>(х) и 2 и~>(х) мажорируюгся сходящимся числовым ря>=1 ь=> 1 дом 3- 2 —, и потому сходятся па сегменте (О, 1) равномерно.

По теореме в=-> к 1.9 сумма 1(х) ряда 2 аг(х) имеет на гегменте (О, 1) производную ~'(х), >=> РавнУю сУмме РЯда 2 иг(х) и имеющУю РазРыв в каждой точке хь (Й = >=1 = 1, 2, ... ). 3. Сходимость в среднем. Предположим, что каждая функция фа(х) (и = 1, 2, ... )! а также функция 1'(х) интегрируемы на сегменте [а, Ь]. Тогда (как известно из гл. 10 вып. 1) и функция [)п(х) — ~(х)] = ~,(х) + ~ (х) — 21п(х)1(х) также является интегрируемой на сегменте [а, Ь].

Введем фундаментальное понятие сходимости в среднем. Определение 1. Говорят, что последовательность ()о(х)) сходится в среднем к функции 2'(х) на сегменте [а, Ь] есл,и 1пп )' [)'„(х) — 1'(х)] дх = О. Определение д. Говорят, что функциг>нвльный ряд с х одится в среднем кфункцииЯ(х) па сегменте[а, Ь]! если последовогпельность частичных сумм этого ряда сходится в среднем к Б(х) на этом сегменте, 3 ам с чан не. Из этих определений вытекает, что если последовательность (или ряд) сходится в среднем к 1(х) па всем сегменте [а, Ь], то эта последовательность (или ряд) сходится в среднем к у" (х) и на любом сегменте [с, д], содержащемся в [ач Ь].

Выясним вопрос о связи между сходимостью в среднем и равномерной сходимостью пос;гедовательности. Докажем сначала, что если последовательность (фо(х)1 сходится к ф1>нкции 1" (х) равномерно на сегменте [а, Ь], то ~~„(х)~ сгодится к 1'(х) и в среднем на [а, Ь]. Фиксируем произвольное е ) О. Для положительного числа > в силу равномерной сходимости найдется номер Х '1>! 2(Ь вЂ” о) 1 2 ПОНЛЕННОР ИНТЕГРИРОВАНИЕ и диФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 35 такой, что (1. 32) при всех х ич [а, Ь] и всех и > зУ. В силу (1.32) для всех н ) Х [уо(х) — 1(х)] йх < дх = — < е, о т.

е. последовательность (Г„(х)) сходится к 1(х) на сегменте [а, Ь] в среднем. Убедимся теперь в том, что сходимость последовательности на некотором сегменте в среднем не влечет за собой не только равномерной на зтом сегменте сходимости, но и сходимости тотл бы в одной точке указанного сегмента,. Рассмотрим последовательность сегментов 1м 1г, ..., принадлежащих [О, 1] и имеющих следующий вид: 1 = [О, 1], 12 = [01 — ]., 12 -г1 = [ — ~ — ]~ ~ 1а +1 1 = [1 — 1 1]. Определим и-й член последовательности следующим образом: ]' 1 на сегменте 1„, [ 0 в остальных точках [О, 1].

Построенная нами последовательность сходится в среднем к функиии з'(х) = 0 на сегменте [О, 1]. В самом деле, Я„(х) — О] дх = ] 1~(х) йх = / дх = о 1. = длине сегмента 1„— з 0 (при и — + со). Вместе с тем построенная нами последовательность не сходится ни в одной точке сегмента [О, Ц. 36 Функ!1НОИАльные пОслеДОВАтельнОсти и 1йЯДы Гл. 1 В самом деле, какую бы точку хв из сегмента [О, Ц мы ни фиксировали, среди как угодно больших номеров и найдутся как такие, для которых сегмент 1„содержит точку хв (для этих номеров 1"„(хо) = 1), так и такие, для которых сегмент 1„не содержит точку хв (для этих номеров 1й(хо) = О). Таким образом, последовательность (1й(хо) содержит бесконечно много членов, как равных единице, так и равных нулю, т.

е. эта погледовательность расходится. Оказывается, сходимость последовательности ()й(хв) к предельной функции г" (х) на сегменте [а, 6) в среднем обеспечивает во:зможпость почленпого интегрирования этой последовательности на указанном сегменте. Теорема 1.11. Если последовательность Ц„(хо) сходится в среднем на сегменте [а, 6) к функции 1'(х), то эту последовательность можно почленно интегрировать на сегменте [а, 6), т. е. предел ь 11гп )' ~„(ьх) дх ~йй й ь существует и равен ) 1(х) дх.

й Прежде всего докажем следующую лемму. Лемма 1. Длл любъ1х интегрируемых на сегменте [а, 6) функций 1'(х) и я(х) справедливо неравенство ~йх)Е(х) дх < (1.33) й называемое неравенством Квази-Буняковского. Доказательство леммы 1.

Рассмотрим следующий квадратный трехчлен относительно Л: ь И(х) — ЛЕ(х)7 дх = а ь ь ь = ) 1~(х) дх — 2Л / ~(х)д'(х) дх + Лг / Ег(х) дх ) 0 й й й Так как этот трех щен неотрииателен, то он не имеет различных вещественных корней. Но тогда его дискриминант неположите.лен. т. е. с ь ь ь [ 1(х)Е(х) Йх) — ) 1 (х) ах ) К (х) ах ~ О. й й й ,Лемма доказана. *г 3 РАВнОстепеннАЯ ненРВРыВнОсть. теОРемл лРцелл 37 Доказательство теоремы 1.11. Используя неравенство (1.33) при я(х) = 1, будем иметь ] 1„(х)дх — ] 1(х)дх = Ц„(х) — 1(х)]Их < -+ О (при и -+ сс).

Теорема доказана. й 3. Равностепеннаи непрерывность последовательности функций. Теорема Арцела Пусть каждая из функций ~„(х) определена на некотором сегменте [а, Ь]. Определение. Последовательность функций (1"„(х)) назьь вается равностепенно непрерывной на сегмент е [а, 6], если для любого г > О найдется б > О такое, чгпо неравенство ]У„(х') — Ть(ха) < е справедливо для всех номеров и и для всех точек х' и ха из сегмента [а, 6], связанных неравенством (,/ и! ( 3 а м е ч а н и е 1. Непосредственно из этого определения вытекает, что если последовательность (Ть(х)1 Равпостепенно непрерывна на [а, 6], то и любая ее подпоследоватсльность равностспенно непрерывна на [а, 6]. Докажем следующее замечательное утверждение.

Теорема 1.12 (теорема Арцела). Если последовательноспкь функций ~~„(х)) равностепенно непрерывна и равномерно ограничена на сегменте [а, 6], то из этой последовательности можно выделить подпослсдовательпость, равномерно сходяиэуюся на сегменте [а, Ь]. Доказательство. Рассмотрим на сегменте [а, 6] следующую последовательность точек (х„): в качестве х~ возьмем ту точку, которая делит сегмент [а, 6] на две равные части, в качестве хз и хз возьмем те две точки, которые вместе с х1 делят сегмент [а, 6] на четыре равные части (рис. 1.3), в качестве хз, хз, хв и хт, возьмем те четыре точки, которые вместе с хм хэ и хз делят сегмент [а, 6] на восемь равных частей (рис.