Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа), страница 6

е. рлд Ь ~~1 [ иь(х) с[х Ь=! ' Ь сходится и имеет своей суммой [ Я(х) дх. и 3 а меч ание. В учебниках по математическому анализу теорема 1.8, как правило, доказывается при более жестком предположении о том, что кажДаЯ фУнкЦиЯ зп(х) не только пнтегРиРУемач но и непрерывна на сегменте [а, 6]. Нри этом дополнительном предположении приведенное выше доказательство упрощается, ибо для доказательства интегрируемости предельной функции у(х) на сегменте [а, 6) достаточно сослаться на теорему 1.7. 2.

Почленное дифференцирование. Докажем следующую основную теорему. Теорема «.У. Пусть каждая, функция ~„(х) имеет, на сегменте [и, 6) производную Д(х) ), причем последовательность производных (З„(х)1 сходится равномерно на сегменп1е [и, 6~), ') В силу теоремы 10.1 из гл. 10 вып. 1. ) В силу тео1»емы 10.1 из вып. 1 существование для произвольного е ) 0 разбиения сегмента, для которого о — е ( 2е является необходимым и достаточным уыювием интегрируемости всякой о г р а н и ч е н н о и на данном сегменте функции.

Ограниченность 1(т) на сегменте [о, Ь) сразу вьггекает из неравенства (1.2б) и из ограниченности интегрируемой на сегменте [а, Ь) функции 1 (х). з) Под термином «функция 1(х) имеет производную на сегменте [а, Ь)» здесь и ниже подразумевается существование производной 1'(т) в любой внутренней точке [а, Ь), правой производной 1'(о «- О) в точке о и левой производной 1 (Ь вЂ” О) в точке Ь. 30 ФУнк11НОнлльные НОследОВлтельнОсти и ряды Гл.

1 а сама последовательность 11 (х)) сходится хотя бъл в одной точке хо сегмента [а, Ь]. Тогда последовательность 11п(х)) сходится к некоторой предельной функции 1'(х) равномерно на всем сегменте [ап Ь], прллчем зту последовательность моиюно дллфференцировать на сегменте [а, Ь] и о член но, т. е. всюду на сегменте [и, Ь] предельная функция л" (х) имеет производную ул(х), являющуюся предельной функцией последовагпельности (У.'( )) Доказательство. Сначаладокажем, что последовательность )лп(х)) сходится Равномеуно ни сегменте [а, Ь]. Из сходимости числовой последовательности (1п(хо)) и из равномерной на [а, Ь] сходимости (Д(х)) заключаем, что для произвольного е > 0 найдется номер Х(е) такой, что [1 +р(хо) ~ (хо)] <, [~ эр(х) ф (х)] < (1.30) для всех и < Лу'(е) всех натуральных р и (это относится ко второму неравенству (1.30)) всех х из [а, Ь].

Пустьх произвольная точка сегмента [а, Ь]. Дляфункции [(пл р(1) — уп(1)] при любых фиксированных п и р выполнены на сегменте [хо, х] все условия теоремы Лагранжа (см. теорему 8.12 из вып. 1). По этой теореме между х и хо найдется точка ( такая. что УпЛ-Р(Х) — 1п(Х)] — Уп+Р(ХО)-Хп(ХО)] = Цпэ.рй-Хп(О](Х вЂ” ХО) Из последнего равенства и из неравенств (1.30) с учетом того, что ]х — хо] < Ь вЂ” во получим,что ].ллп-~-р(х) 1п(х)[ < е (для любого х из [а, Ь], любого п > л'у'(е) и любого натурального р). Но это и означает, что последовательность (уп(х)) Равномерно па сегменте [а, Ь] сходится к некоторой предельной функции 1 (х) Остается доказать, что в л, ю ба й точке хо сегмента [а, Ь] пределылая функция 1" (х) имеет производную и что зти производная явллется предельной функцией последовагпельности (1'„'(х)).

Фиксируем на сегменте [и, Ь] п р о и з в о л ь н ую точку хо и лто ней положительное число б такое, чтобы б-окрестность точки хо целиком содержалась в [а... Ь] (в случае, если хо является ) В силу критерия Коши, т. е. теоремы 1.1.

*о 2 НОь!леннОе интегриРОВлние и диФФерен11иРОВлние 31 граничной точкой сегмента [а, Ь| под б-окрестностью точки хо л1ы будем подразумевать правую 1юлуокрестиость [а, а+ б) точки а или соответственно левую полуокрестность (Ь вЂ” б, 6) точки Ь). Обозначим символом 11."лх) множество всех чисел ьхху удовлетворяющих условию О < [лх[ < б при и, < хо < Ь, условию О < ьлх < б при хо = а и условию — б < 11х < О при хо = Ь, и докажем, что последовательность функций аргумента Ьх У (хо+ 1х) — ~„(хо) 'Рп( х/ = ,Ьх сходится равномерно па указанном множестве 1ххх).

Для произвольного е > О в силу равномерной сходимости (Д(х)) найдется номер )у'(е) такой, что [У.', „(х) — У.'(х)[ < (1. 31) для всех х из [а, 6), всех и > )у'(е) и всех натуральных р. Заметив это, фиксируем произвольное пах из множества (балх) и применим к функции [~„.лр(1) — ~„(Ь)) (при любых фиксированных и и р) на сегменте [хо, хо + 1хх] теорему Лаз ранжа. По этой теореме найдется число О из интервю1а О < 0 < 1 такое, что ~Рп,р(1~х) — ~Рп(~1х) = [Г ер(хо + Ьх) Г (хо + лх)) [1 ер(хо) Г (хо)) 1Лх = 1,, лр(хо + балх) — 1„(хо + 6~ах).

Из последнего равенства и из неравенства (1.31), справедливого для в с е х точек х сегмента [а, 6), получим, что Ь'+ (11*) — Р (~л*)[< для любого 11х из (Ьх), любого и > Х(е) и .1юбого натурального р. Таким образом, последовательность (~рв(Ьх)) сходится равномерно на множестве (ьлх) (в силу критерия Коши). Но это позволяет применить к указанной последовательности в точке Ьх = О теорему 1.6 о почленном предельном переходе. Согласно теореме 1.6 ) функция 1(хо -Л олх) — 1(хо) ЯвлЯющаЯсЯ пРедельной фУнкцией последовательности )~ро (ьлх) ), ') Используется формулировка теоремы 1.6 в терминах функциональных последовательностей. 32 ФУНКЦИОНЛЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И тоЯДЫ ГЛ.

т имеет при тлх — + 0 предельное значение, причем 1пп у(хо -т тхх) — у(хо) гхх — те гхх 1пп ] 11ш тр„(Ьх)1 = 1пп ~ 1пп тр„(г)тх)] = а — тоь«1 -о Ы вЂ” 0 11пт 1пп " ' " ' = 1пп )„(хе). п-~со (ах-~0 тхх и — тоо Это и доказывает, что производная функции ((х) в точке хв существует и равна 1пп Д(х). Теорема доказана. Приведем формулировку теоремы 1.9 в термипах функциональных рядов. Если каоюдая функция иь(х) имеетп производную на сегменте (ат 6] и если ряд из производных 2; тть(х) сходится равной=т мерно на сегменте (а, 6], а сам ряд ~„иь(х) сходигпся хотя ь=т бът в одной точке сегмента )а, 6]т то ряд ~„иь(х) сходится ь=т равномерно на всем сегменте [а, Ь] к некотпорой сумме Я(х), причем зтот ряд можно дифференцировать на сегменте (а, 6] почленно, т.

е, его сумма о'(х) имеет, тса сегмштте (а, Ь] производную, являющуюся суммой ряда из произоодпых 2 ии~(х). ь=! 3 ам е ч ание 1. Подчеркнем, что в теореме 1.9 предполагается лишь существование па сегменте (а, 6] производной у каждой функции 7'„(х). Ни ограниченность, ни тем более интегрируемость или непрерывность этой производной не требуется.

Обычно в курсах математического анализа теорема 1.9 доказывается при дополнительном предположении о непрерывности каждой производной Д(х) на сегменте (а, 6]. 3 а м е ч а н и е 2. Если в теореме 1.9 дополнительно потребовать непрерывности на сегменте (оо 6] каждой производной Д(х), то в силу теоремы 1.7 производная предельной функции )'(х) будет также непрерывна на сегменте (ао 6]. 3 ам е ч ание 3. Для случая функций т переменных теорема 1.9 принимает следующий вид: если каждая функция з„(х) = т„(хт, ..., х ) имеет на ограниченном множестве 1х1 дт" точек Ет частную производную и если последовательность дх:т,.

( У) дуо ) о ) сходится равномерно на (х), а сама последовательность дхь 3 1 2 ПОс!ЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВЛНИЕ И дИФФЕРЕН1!ИРОВЛНИЕ 33 1 х соз — при х~О, О при х=О, так что функция ( 1 1 ) сйп — -Ь 2х соа— О при хфО, при х=О является разрывной при т. = О и непрерывной во всех остальных точках. Занумеруем все рациональные точки сегмента [О, 1) в последовательность хп хэ,..., хь, ... (возможность этого доказана в п. 3 3 4 гл.

3 вып. 1) и 2 В. Л. Ильин и Ес Г. Позняк, часть и (Гн(х)) схоДитсЯ в кажДой точке множества (х), то послеДовательность (уп(х)) можно ДиффеРенЦиРовать по пеРеменной хь на множестве (х) п о ч л е н н о. Из теоремы 1.9 вытекает следующее утверждение. 'Теорема 1.10. Если кахсдая функция 1п(х) имеет перво- образную на сегменте. [а, 6) и если последователь!юсть (1п(х)) сходится равномерно на сегменте [а, 6) к предельной функции ('(х), то и предельная функция Г'(х) имеет ггервообразную на сегменп1е [а, 6).