Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа), страница 5

Такое множество принято называть компактным. П р и м е р 1. Последовательность (ха) сходится к нулю 11 равноьиерно на сегменте [О, — 1. 2" 11 В самом деле, 1) для любого х из [О, — ] эта последовательность сходится к нулю; 2) все функции хн и предельная функция нуль непрерывны на [О, -]; 3) последовательность (х ) не 11 и 11 возрастает на сегменте [О, — ~.

2 Все условия теоремы Дини выполнены. 6. Почленный переход к пределу. Непрерывность суммы ряда и предельной функции последовательности. Рассмотрим произвольную точку а бесконечной прямой, и пусть (х) произвольное множество, быть может; и не содержащее 24 ФУнкционлльные ИОслеДОВАтельнОсти и ЕЯДы Гл. л точку а, но обладающее тем свойством, что в любой е-окрестности точки а содержатся точки этого множества Справедливо следующее утверждение. Теорема 1.о.

Пусть функциональный ряд ~ ий(х) (1.1б) й=л сходится равноллерно на множестве (х) к сумме Б(х). Пусть далее д всех членов этого ряда существует в точке а предельное эначеьиле 1пп ий(х) = бй. в — ле Тогда и функция Ях) имеет в точке а предельное гначение., причем 1пп Я(х) = ~ 1пп ий(х) = ~ бй, (1.21) й='1 й=л т. е. символ предела (1пп) и символ суммирования (г~) моэхпло переставлять местами (или, как говорят,, к пределу моэлслло переходить п о ч л е н н о). Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всег о докажем, что числовой ряд 2 бй сходится.

Б силу критерия Коши, примененного й=л к функциональному ряду (1.15), для любого е > О найдется номер лу'(е) такой, что ~лл„-ел(х) + ип.ег(х) + .. + ивер(х)~ < е (1.22) для всех и > Х(е), всех натуральных р и всех х из множества (х(. Переходя в неравенстве (1.22) к пределу х — ~ а г), получим ~бп, л + бн-ег + .. + бьч р~~ < е < 2е (для всех и > Х(е) и всех натуральных р). Стало быть, для числового ряда 2; бй выполнен критерий й=л Коши и этот ряд сходится.

Оценим теперь разность Я(х) — 2 бй для значений х из май=! лой окрестности точки а. Так как Я(х) = 2, ий(х) для всех й=! ') Иными словами, точка о является предельной точкой (х). е) Такой предельный переход можно осуществить по какой-либо последовательности точек (х ), сходящейся к о. РЛВНОМВРНЛЯ СХОДИМОСТЬ точек множества (х), то для любого номера и справедливо тож- дество Ои с и и 00 еи О(х) — ~ ЬЬ = ~~~ ив(х) — ) ЬЬ~ + ! иЬ(х) — ~ ЬЫ Ь=! Ь=! й=! 'и=п -Р! й=п 1! Из этого тождества для всех х из (х) получаем неравенство ии п и ею ии Е(Х) — ~! ЬЬ < ~~! иь(Х) — ~! Ь! + ~! иЬ(Х) + ~~! 6! . Ь=! Е=! й=! Ь=п-~-1 ь=-п-г! (1.23) Фиксируем произвольное е > О.

Так как ряд 2 6ь сходить=! ся, а ряд (1.15) сходится равномерно на множестве (х), то для фиксированного нами е найдется номер и такой, что для всех точек х из множества (х) Ьь < :, ~ иь(х) < †. 3' 3 Ь=п-~.! В=п-',! (1.24) Поскольку предел конечной суммы равен сумме пределов сла- гаемых, то для фиксированного нами е > О и выбранного номе- ра и можно указать б > О такое, что п и ~~) иь(х) — ~ Ьь <— 3 ь=! Ь=! (1 25) для всех точек х множества (х), удовлетворяющих условию О < )х — а) < в.

Вставляя (1.24) и (1325) в правук1 тасть (1.23), мы окончательно получим, что Е(х) — 2 Ьь < е Ь=! для точек х множества (х), удовлетворяющих условию О < < ~х — а~ < в. Тем самым доказано, что функция о'(х) имеет в точке х = а предельное значение и справедливо равенство (1.21). Теорема доказана. Сформулируем теорему 1.6 в терминах функциональных последовательностей. Если функциональнал последовательность (уи(х)) сходится равномерно на множестве (х) к предельной функции 1(х) и 26 ФУИЕННОИАльные ИОследОВАтельнОсти и Вяды Гл. 1 если все элементы этой последовательности имеют в точке а предельное значение, то и предельная функция 7"[х) имеет в точке а предельное значение, причем 1пп 7" [х) = 1пп( 1пп 7'„[х)) = 1пп (1пп 7'[х)), т. е. символ 11га предели последовительности и символ 1пп ь -э ьь х-эа предельного значения функции можно переставлять месепами [или, как говорят, к пределу при х — ) а можно переходить почленно). Замечание к теореме 1.6.

Если вусловияхтеоремы 1.6 дополнительно потребовать, чтобы точка а принадлежала множеству 1х) и чтобы все члены иь[х) ряда [1.15) были непрерывны в точке а [или соответственно непрерывны в этой точке справа или слева), то и сумма Я[х) ряда [1.15) будет непрерывна в точке а [или соответственно непрерывна в точке а справа или слева).

В самом деле, в этом случае Ьь = ил[а) и равенство [1.21) принимает вид 1пп Я[х) = ~ ил[а) = 51а), ь=1 что и означает непрерывность функции Я[х) в точке а [или, если стремление х к а одностороннее, то непрерывность Я[х) в этой точке соответственно справа или слева). Применяя указанное замечание к каждой точке некоторого сегмента [а, Ь), мы придем к следующей основной теореме. Теорема 1.7. Если все члены функционального ряда [функциональной последовательности) непрерывны на сегменте [а, Ь) и если указанный ряд [указанная последовательность) сходится равномерно на, сегменте [а, Ь), то и сумма этого ряда [предельная функция этой последовательности) непрерывна на сегменте [и, Ь). Замечания к теореме 1.7.

1) В теореме 1.7 вместо сегмента [а, Ь) можно взять интервал, полусегмент, полупрямую, бесконечную прямую и вообще любое плотное в себе множество [х1. 2) В теореме 1.7 существенно требование р а в н ом е р н о й сходимости, ибо неравномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций может сходиться к разрывной функции [см, пример [1) из ьпь 1 — 3 настоящего параграфа). Заключительное замечание. Все теоремы этого параграфа справедливы для последовательностей функций, заданных на множестве 1х) пространства .Е™. Ь 2 ПОе!ЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВЛНИЕ И ПИФФЕРЕН11ИРОВЛНИЕ 27 й 2.

Почленное интегрирование и почленное дифференцирование функциональных последовательностей и рядов 1. Почленное интегрирование. Имеет место следующая основная теорема. Теорема 1.8. Если функциональная последовательность (1в(х)1 сходится к предельной функции ) (х) равномерно на сегменте [а, Ь] и если каждая, функция, 1„(х) интегрируема на сегменте [а, Ь], то и предельпага фусскция 1(х) интегрируема гса сегменте [а, Ь], причем указсснную последовательнвспсь можссо исстегрирввать на сегменте [а, Ь] почлени о, т.

е. предел 1пп ] )в(х) с(х ь существует и равен ] 1'(х) сух. о Доказательство. сРиксируекспроизвольноее > О. В силу равномерной сходимости последовательности (1 (х)1 к 1(х) для фиксированного е > О найдется номер Х(е) такой, что при всех п > Х(е) и при всех х из сегмента [а, Ь] справедливо неравенство (1.26) [Ув(*) Х( )] 2(Ь Если будет доказано, что предельная функция 2'(х) иптегрируема на сегменте [а, Ь], то, используя известные оценки интегралов 1) и неравенство (1.26), мы получим ь ь ь / ув(х)сьх — ] 1(х)дх = Я (х) — 1(х)]сьх < а о о ь ь < ] [ув(х) — 1(х)[дх < [ дх = — < е 2(Ь вЂ” о) а 2 (для всех и > сэ'(е)).

') Имеются в виду следующие оценки интегралов, установленные в Ь 6 гл. 10 выл. 1: 1) если функция Е(х) интогрируема на сегменто (а, Ь], то с с и функция [г(х)[ интегрируемв на (о, Ь), причем 1 Р(х)сьх < ) [г(х)[дх; 2) если Г"(х) и к(х) ойе интогрируемы на (о, Ь) и всюду на этом сегмонте с ь 1(х) < я(х), то / 1(х) сьх < 1 я(х) Йх. 28 ФУнкционлльные ИОслеДОвлтельнОсти и ЕЯДы Гл. 1 Ь Тем самым будет доказано, что преде11 1пп ) 7п(х) дх суще- и-э со Ь ствует и равен ) 1(х) г1х, и нам остается доказать интегрируе- мость функции 7" (х) на сегменте [а, 6]. Подвергнув сегмент [а, 6] разбиению при помощи и р о и з- в о л ь н ы х точек и = хо < х1 « ... х~ = о на ьч чаетич- НЫХ СЕГМЕНТОВ [Хь 1, Хь] (й = 1, 2, ..., т), дОГОВОрИМСя ОбОЗ- начать символом озь (7) (соответственно озь (7о) ) колебание на а-и частичном сегменте [хь 1, хь] функции 7'(х) (соответст- венно 1п(х)) Убедимся в том, что для любого е > 0 и любого й = 1, 2, ..., пч найдется достаточно большой номер п, для ко- торого справедливо неравенство .У) < .(~-) + „, (1.27) В СаМОМ ДЕЛЕ, .КаКОВЫ бЫ НИ бЫЛИ Х' И Х" ИЗ СЕГМЕНта [Хь 1, Хь], справедливо неравенство [1(х ) — 7(х )~ < [((х ) — 7„(х )~ + [7„(х ) — ~„(х )~ + + ~1п(хн) — 1'(хп) ~.

(1.28) В силУ РавпомеРпой сходимости 11о(х)) к 1'(х) длЯ любого е > 0 найдется номер п такой, что дтя всех х из [а, б] будет спра- ведливо неравенство (1.26). Таким образом, для этого номера п ~~(х ) — (п(х )~ + ~~п(х ) — 7(х )~ < и, стало быть, в силу (1.28) й ') — у( и)~ < ~у.( ) — у ( п)~+,' Из последнего неравенства и из произвольности точек х' и хн сразу же вытекает справедливость для выбранного номера п неравенства (1.27). Обозначим теперь для взятого нами произвольного разбие- ния сегмента [а, о] символами Я и в верхнюю и нижнюю суммы функции ((х), а символами Яо и ав верхнюю и нижнюю суммы функции (п (х) .

Умножая неравенство (1.27) на длину й-го частичного сег- мента Ьхь и после этого суммируя его по всем й = 1, 2, ..., 1п, мы получим неравенство Я вЂ” а < ߄— аа + е. (1.29) ') Напомним, что к ол е б ание м функции на данном сегменте называется разность мезкду точной верхней и точ~ой нижней гранями этой функции на данном сегменте. *з 2 ПОс!ЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВЛНИЕ И дИФФЕРЕННИРОВАНИЕ 29 Неравенство (1.29) установлено нами для произвольного разбиения сегмента [а, 6). В силу интегрируемости функции уп(х) на сегменте [а, 6) найдется разбиение этого сегмента, для которого ߄— з„< е ) и, стало быть, па основании (1.29) Я вЂ” з < 2е.

Так как е произвольное положительное число, то последнее неравенство доказывает интегрируемость 1(х) на сегменте [а, Ь ) . Теорема доказана. формулируем теорему 1.8 в терминах функциональных рядов: Если функциональныа ряд (1.15) сходится к своей сумме Б(х) равномерно на сегменте [а, 6) и если каждый член этого ряда иь(х) представляет, собой функцию, интегрируемую на сегменте [а, 6~), то и сумма Я(х) интегрируема на сегменте [а, 6), причем указанный ряд можно интегрировать на сегменте [а, 6) п о ч л е и и о, т.