Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа), страница 2

4. Интегрирование дифференциальных форм 1. Определения (224). 2. Дифференцируемые цепи (225). 3. Формула Стокса (227). 4. Примеры (229). 217 221 224 Г л а в а 8. Мера и интеграл Лебега 230 243 Г л а в а 9. Интегралы, зависящие от параметров 277 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра (277). 2. Свойства непрерывности, интегрируемости и дифференцирусмости интегралов, зависящих от параметра (278) 3.

Случай, когда пределы интегрирования зависят от параметра (280). 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 1. Понятие несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра.Понятие равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра (282). 2. Свойства непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственных интегралов, зависящих от параметра (285). 3. Несобственные интегралы второго рода, зависящие от параметра (289).

3. Применение теории интегралов, зависящих от параметра к вычислению несобственных интегралов 4. Интегралы Эйлера 277 282 290 294 1. О структуре открытых и замкнутых множеств 2. Измеримые множества 1. Внешняя мера множества и ее свойства (235). 2. Измеримые множества и их свойства (237). 9 3. Измеримые функции 1. Понятие измеримой функции (243).

2. Свойства измеримых функпий(245). 3. Арифметические операции над измеримыми функциями (246). 4. Последовательности измеримых функций (248). 4. Интеграл Лебла 251 1. Понятие интеграла Лебега от ограниченной функции (251). 2. Класс интегрируемых по Лебегу ограниченных функций (255). 3. Свойства интеграла Лебега от ограниченной функции (256).

4. Интеграл Лебега от неотрицательной неограниченной функции и его свойства (259). 5. Интеграл Лебега от неограниченной функции произвольного знака (263). 6. Предельный порсход под знаком интеграла,Лобога (265). 7. Классы Лебега Ь" (Е) (270). 8. Заключительные замечания (273). Дополнение 1. Необходимое и достаточное условие интегрируелюсти по Риману 273 Дополнение 2. Необходимое и достаточное условие интогрируемости ограниченной функции по Лсбсгу ............

275 ОГЛАВЛВНИБ 302 306 311 Глав 1 311 320 323 329 335 358 370 1. Область сходимости интегралов Эйлера (294). 2. Непрерыв- ность интегралов Эйлера (295). 3. Некоторые свойства функ- ции Г(р) (296). 4. Некоторые свойства функции В(р, д) (298). 5. Связь между эйлеровыми интегралами (299).

6. Вычисле- ние определенных интегралов с помощью эйлеровых интегра- лов (300). Формула Стирлипга Кратные интегралы, зависящие от параметров 1. Собственные кратные интегралы, зависящие от парамет- ров (306). 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметров (307). 3. Приложение к теории ньютонова по- тенциала (309). а 10. Ряды и интеграл Фурье Понятие об ортонормированных системах и об общем ряде Фурье Замкнутые и полные ортонормированные системы Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее 1.

Равномерное приближение непрерывной функции тригоно- метрическими многочленами (323). 2. Доказательство заик- нутости тригонометрической системы (326). 3. Следствия замкнутости тригонометрической систомы (328). Простейшие условия равномерной сходимости и почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье 1. Вводные замечания (329). 2. Простейшие условия абсо- лютной и равномерной сходимости тригонометрического ря- да Фурье (331). 3. Простейшие условия почленного диффе- ренцирования тригонометрического ряда Фурье (333).

Более точные условия равномерной сходимости и условия схо- димости в данной точке 1. Модуль непрерывности функции. Классы Гельдера (335) 2. Выражение для частичной суммы тригонометрического ряда Фурье (337). 3. Интегральный модуль непрерывности функции (339). 4. Принцип локализации (344). 5. Равномер- ная сходимость тригонометрического ряда Фурье для функ- ции из класса Гельдера (346). 6.

О сходимости тригономет- рического ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции (351). 7. Суммируемость тригонометрического ряда Фурье непре- рывной функции методом средних арифметических (355). 8. Заключительные замечания (357). Интеграл Фурье 1. Образ Фурье и его простейшие свойства (359). 2. Усло- вия разложимости функции в интеграл Фурье (361). 3.

По- нятие о прямом и обратном преобразованиях Фурье (366). 4. Некоторые дополнительные свойства преобразования Фу- рье (368). Кратные тригонометрические ряды и интегралы Фурье 1. Понятие кратного тригонометрического ряда Фурье и его прямоугольных и сферических частичных сумм (370). 2. Мо- дуль непрерывности и классы Гальдера для функции 7л пе- ременных (372). 3.

Условия сходимости кратного тригоно- метрического ряда Фурье (373). 4. О разложении функции в Х-кратный интеграл Фурье (376). ГВ ОГЛАВЛЕНИЕ Гла Гла При ближ Алфа в а 11. Гильбертово пространство 1. Пространство !а 1. Понятие пространства !а (378). 2. Общий вид линейного функционала в 1 (381). 3. О слабой компактности ос раниченного по норме !з множества (384).

2.Пространство ь~ 1. Простейшие свойства пространства Ьэ (388). 2. Сепарабельность пространства ьз (389). 3. Существование в ьз замкнутой ортонормированной системы, состоящей из счетного числа элементов (392). 4. Изоморфизм пространств ь~ и 1 и следствия из него (394). 3. Абстрактное гильбертово пространство 1. Понятие абстрактного гильбертова пространства (400). 2. Эквивалентность понятий полноты и замкнутости ортонормированной системы и гильбертовом пространстве (402). 4.

Вполне непрерывные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве 1. Понятие линейного непрерывного оператора (406). 2. Понятие сопряженного оператора (408). 3. Понятие вполне непрерывного оператора (412). 4. Существование собственных значений у линейного вполне непрерывного самосопряженного оператора (414). 5. Основные свойства собственных значений и собственных элементов линейного вполне непрерывного самосопряженного оператора (418). в а 12. Основы теории кривых и поверхностей 1. Векторные функции 1. Понятие векторной функции (421).

2. Предельное значение векторной функции. Непрерывность (422). 3. Производная векторной функции (423). 4. Дифференцируемость векторной функции (426). 5. Формула Тейлора для векторных функций (427). 6. Интегралы от векторных функций (428). 2. Некоторые сведения из теории кривых 1. Регулярные кривые (429). 2.

Касательная к кривой (429). 3. Соприкасающаяся плоскость кривой (430). 4 Кривизна кривой (432). 5. Кручение кривой (434). 6. Формулы Френе. Натуральные уравнения кривой (436). 3. Некоторые сведения из теории поверхностей 1. Первая квадратичная форма поверхности. Измерения на поверхности (438). 2. Вторая квадратичная форма поверхности (441). 3. Классификация точек регулярной поворхности (44Ц. 4. Кривизна кривой па поверхности (444).

5. Споциальные линии на поверхности (445). 6. Формула Эйлера. Средняя и гауссова кривизна поверхности. Теорема Гаусса (449). л о ж е н и е. О вычислении значений функции по приемно заданным коэффициентам Фурье 1. Задача о суммировании тригонометрического ряда Фурье с приближенно заданными коэффициентами Фурье (452). 2. Метод регуляризации для задачи о суммировании тригонометрического ряда Фурье (454). 3. Заключитольные замечания о значении хсетода регуляризации (459) . витный указатель 378 378 388 400 406 421 421 438 460 ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕтЬЕМ~г ИЗДАНИЮ Вторая часть «Основ математического анализаь была издана тиражом, меньшим, чем первая часть, и превратилась в еще большую библиографическую редкость.

Несмотря на сравнительно небольшой объем, книга полностью охватывает материал, входящий в программу второго года обучения студентов специальностей «физика» и «прикладная математика), и, кроме того, содержит легко отделяемые от основного материала главы, посвященные теории меры и интеграла Лебега, теории гильбертовых пространств и входящие в программу так называемого «анализа-3» университетских курсов.

Книга переиздается стереотипно с текста второго издания, учитывающего опыт чтения лекций не только на физическом факультете, но и на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета. В. А. Ильин Июнь 1998 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМ~' ИЗДАНИЮ В основу этой книги положены лекции, читавшиеся авторами в течение ряда лет в Московском государственном университете. Как и в первой части, авторы стремились к систематичности изложения и к выделению важнейших понятий и теорем. Кроме основного программного материала, книга содержит ряд дополнительных вопросов, играющих важную роль в различных разделах современной математики и физики: теорию меры и интеграл Лебега, теорию гильбертовых пространств и линейных самосопряженных операторов в этих пространствах, вопросы регуляризации рядов Фурье, теорию дифференциальных форм в евклидовых пространствах и др. Ряд разделов курса изложен с болыпей общностью и при меныпих, чем обычно, ограничениях. Сюда относятся, например, условия почленного дифференцирования и почленного интегрирования функциональных последовательностей и рядов, теорема о замене переменных в кратном интеграле, формулы Грина и Стокса, необходимые условия интегрирусмости ограниченной функции по Риману и по Лебегу.

12 ПРЕЧИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИ!О Как и в первой части, в книге рассмотрен ряд вопросов, связанных с вычислительной математикой. В первую очередь сюда относятся дополнение к главе 2 о приближенном вычислении кратных интегралов и специальное приложение о вычислении значений функции по приближенно заданным коэффициентам Фурье (метод регуляризации А. Н. Тихонова). Материал данной книги вместе с первой частью полностью охватывает университетский курс математического анализа. Отметим, что всюду в тексте при обращении к первой части мы называем ее «выпуском 1». Подчеркнем также, что при чтении этой книги глава 8 «Мера и интеграл Лсбега», глава 11 «Гильбертово пространство» и все дополнения могут быть опущены без ущерба для понимания остального текста книги.

Авторы книги приносят глубокую благодарность А. Н. Тихонову и А. Г. Свешникову за множество ценных советов и глубоких замечаний, Ш. А. Алимову, труд которого пад этой книгой вышел за рамки редактирования, Л. Д. Кудрявцеву и С. А. Ломову за большое количество ценных замечаний, П. С. Моденову и Я. М. Жилейкину, предоставившим материалы по теории поля и приближенным методам вычисления кратных интегралов. В.