Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа), страница 9

П1) последовательность (1.42) является ограниченной и имеет верхний предел Е = О. Докажем теперь следующее замечательное утверждение. Теорема 1.13 (Конти — Адамара). 1. Если последовательность (1.42) не ограни сена, то степенной ряд (1.41) сходится лишь при х = О. П. Если последоввгавльность (1.42) огра,ни гена и имеет верхний предел Е > О, то ряд (1.41) абсользтно сходится для значений х, удовлетворяющих неравенству /х/ ( 1/Е, и расходится для значений х, удовлетворягощих неравенству х > 1/Е. 1П. Если последовательность (1.42) ограничена и ее верхний предел Е = О, то ряд (1.41) абсолютно сходится для всех значений х.

Доказательство. 1. Пусть последовательность (1.42) не ограничена. Тогда при х у- .0 последовательность также не ограничена, т. с. у этой послодовательности имеются члены со сколь угодно большими номерами и, удовлетворяющие неравенству ьгга,„хЯ > 1 или )а„х"! > 1 Но это означает, что для ряда (1.41) (при х ~ 0 ) нарушено необходимое условие сходимости (см. вьш. 1, гл. 13, 3 1, и.

2), т. е ряд (1 41) расходится при х у'= 0 . 44 ФУнкциОИАльные пОслеДОВАтельнОсти и 1гяды Гл. 1 точкой, а стало быть, является пределом этой последовательности, т. е. последовательность (1.42) является бесконечно малой. Но тогда для положительного числа 1/(2~х~) найдется номер, начиная с которого М4< —. 2)х! Стало быть, начиная с указанного номера, и ''"~=1:1М 4<-,<1 т.

е. ряд (1.41) абсолютно сходится по признаку Коши (см. вып. 1, гл. 13, 3 2, п. 3). Теорема полностью доказана.. Доказанная теорема непосредственно приводит к следующе- му фундаментальному утверждению. Теорема 1.14. Для каждого степенного ряда (1.41), если он не является рядом, сходящимся лиигь в точке х = О, суще- ствует положигпелоное число В (возможно, равное бесконеч- ности) такое, что этот ряд абсолюгпно сходится при ~х~ < В и расходтпся при, )х! ) Л. Это число Л называется радиусом сходимости рас- сматриваемого степенного ряда, а интервал ( — Л, В) называется промежутком сходимости этого ряда.

Для вычисления радиуса сходимости справедлива формула Л= 11.43) 11ш ~Да„! ( в случае, когда 1пп ",Д~а„( = О, В = оо) . гг — > оо 3 а меч анис 1. На концах промежутка сходимосги, т. е. в точках х = — Л и х = Л, степенной ряд может быть как сходя- щимся, так и расходящимся ) . Так для ряда 1+ 2,' х радиус сходимости Л равен единице, у=1 промежуток сходимости имеет вид ( — 1, 1) и этот ряд расходится па концах указанного промежутка. х Для ряда 2,' — промежуток сходимости тот же ( — 1, 1), но этот последний ряд сходится на обоих концах указанного про- межутка.

') Отметим следуягщую теорему Абеля: если степенной ряд 11.41) сходится при х = 1Г, то сумма его о(х) является непроданной в точке тс слева. Без ограничения общности можно считать, что Н = 1, но в таком виде тоорема Абеля (фактически утверждающая регулярность метода суммирования Пуассона- Абеля) доказана в дополнении 3 к гл. 13 вып. 1. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 3 а м е ч а н и е 2. Все результаты настоящего пункта справедливы для ряда (1.41), в котором вещественная переменная х заменена комплексной переменной г.

Для такого ряда устанавливается существование положительного числа Л такого, что ряд абсолютно сходится при ~г~ < Л и расходится при [г~ > Л,. Для вычисления Л справедлива формула (1.43). Число Л называется радиусом сходимости, а область ~г~ < Л кругом сходимости указанного степенного ряда. 2. Непрерывность суммы степенного ряда. Пусть степенной ряд (1.41) имеет радиус сходимости Л > О.

Лемма 2. Каково бы ни было положительное число г, удовлетворяюьцее условию г < Л, ряд (1.41) равномерно сходится на сегменте [ — г, г), т. е. прп ~х[ < г. Доказательство. В силу теоремы 1.14 ряд (1.41) абсолютно сходится при х = г, т. е. сходится ряд !во[+ Е !аь[г ь=1 Но последний числовой ряд служит мажорантным для ряда (1.41) при всех х из сегмента [ — г, г]. На основании признака Вейерштрасса ряд (1.41) сходится равномерно на сегменте [ — г, г]. Лемма доказана. Следстпвие. В услооаях леммы 3 сумма ряда (1.41) является функцией, непрерывной на сегменте [ — г., г] (в силу творе; мы 1.7), Теорема 1.1б. Сумма степенного ряда внутри его промежутка сходимости является непрерывной функцией. Доказательство.

Пусть о'(х) сумма степенного ряда (1.41), а Л его радиус сходимости. Фиксируем любое х внутри промежутка сходимости, т. е. такое, что ~х~ < Л. Всегда найдется число т такое, что ~х[ < г < Л. В силу следствия из леммы 2 функция В(х) непрерывна на сегменте [ — г, г]. Стало быть, В(х) непрерывна и в точке х. Теорема доказана. 3.

Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенного ряда. Теорема 1.16. Если Л > 0 . -радиус сходимотпи степенного ряда (1.41), а х удоолстворяет условию ~х~ < Л, то ряд (1.41) моэкно почленно иьпоегрировать на сегменте [О, х]. Полученный в результате почленного интегрирования ряд имеет тот оюге радиус стодимости Л., 'ипо и исходный ряд. Доказательство. Для любого х, удовлетворяющего условию ~х~ < Л, найдется г такое, что ~х~ < г < Л. Согласно 46 ФУНК11ИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ВИДЫ ГЛ.

1 аох + — х + ... + — х + ..., ац 2 а„ 2 и радиус сходимости которого, согласно теореме 1.14, является величиной, обратной верхнему пределу последовательности, п 1а,, г( ~/Га„~ ) а и 1/п (1.44) Так как верхний предел последовательности (1.44) тот же, что и у (1.42) 1), то теорема доказана. Теорема т.17. Степенной рлд (1.41) вну1при его проме.- жутка сходимости можно дифференцировать почлеино. Ряд, полученный почленным дифференцированием, имеет тот же радиус сходимости ть, что и исходный рлд. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно (в силу теоремы 1.9 и лемллы 2) доказать лишь второе утверждение теоремы.

В результате почленного дифференцирования (1.41) получим ряд а!+2 аг х+...+и, ап т,"' +(и+1) а„т! х" +..., радиус сходимости Л которого (согласно теореме 1.14) обратен верхнему пределу последовательности (1.45) Так как последовательность (1.45) имеет тот же верхний предел, что и (1.42) 2), то теорема доказана. Следствие. Степенной рлд внутри его промежутка сходи- мости, можно дифференцировагпь почленно сколько угодно раг.

Рлд, полученный и-кратным почленным дифференцироваиием исходного степенного рлда, имеет тот же радиус сходимосгпи, что и исходный рлд. ') Ибо 11ш бгп = 1, 1пп ~/Га ~! = 1ш~ "~1/[а ) = !пп [",/[а )] = 1пп [1/[а )]. г) Ибо 1пп г/и -ЬТ = 1, 1шг 1',/[а„.~~~ = !пп " 1/[а ~ = 1пп [ ~/[а4] = 1пп [ ~/[а4~.

лемме 2 ряд (1.41) сходится равномерно на сегменте [ — г, г~1., а стало быть, и на сегменте [О, х). Но тогда в силу теоремы 1.8 этот ряд можно почленно интегрировать на сегменте [О, х). В результате почленного интегрирования получится степенной ряд РЛЗЛОсКЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 47 О 5. Разложение функций в степенные ряды 1. Разложение функции в степенной ряд. Определение 1. Будем говоритаьс что функция 7(х) на интервале ( — Л, Л) (на множестве (х)) может быть разложена в спгепенной ряд, если существует, степенной ряд, сходящийся к 7(х) на указанном исспсервале (указанном мссозссестве).

Сгграведливы следующие утверждения. 1'. Для гпого чтобы функция с'(х) могла бьпаь разложена в спсепенной ряд на, интервале ( — Л, Л), необходимо, чспобы, зта функцил имела на указанном интервале непрерывные производные .лсобого порядка ) . В самом деле, степенной ряд внутри его промежутка сходи- мости, который во всяком случае содержит интервал ( — Л, Л), можно почленно дифференцировать сколько утодно раз, причем все полученные при этом ряды сходятся внутри того же промежутка сходимости (теорема 1.17). Но тогда суммы рядов, полученных сколь угодно кратным дифференцированием (в силу теоремы 1.15), представляют собой функции, непрерывные внутри указанного промежутка сходимости, а стало быть, непрерывные на интервале ( — Л, Л).

2'. Если функция 7" (х) моснсет бьсть на исстервале ( — Л, Л) разложена в степенной ряд, то лишь единсспвенным образом. В самом деле, пусть функция 7" (х) может быть разложена на интервале ( — Л, Л) в степенной ряд (1.41). Дифференцируя указанный ряд почленно п раз (что заведомо можно делать внутри интервала ( — Л, Л)), получим З г")(х) = а„п. '+ ап г (сс+ 1)!х+... Отсюда при х = О найдем 1~~~(0) = а„п! или у" с'о (О) (1.46) и! Таким образом, .коэффициенты степенного ряда (1.41), в котоРый может быть Разложена фУнкциЯ 7"(х)с однозначно опуеделяетсл формулой (1 46).

) Отмегим, что существуют функции, имеющие нв интервале ( — Н, Н) непрерывные производные любого порядка, по не ржсложиьсые пв этом интервале в степенной ряд. Примером такой функции люжет служить 2 с(х) ( е ~~' при х~О, О при х= О. 48 ФункЦНОнлльные пОслеДОВлтельнОсти и 17ядсы Гл. 1 Предсюложим теперь, что функция 1(х) имеет на интервале ( — Л, Л) непрерывные производные любого порядка. Определение в.