Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа)

В. А. ИЛЬИН, Э. Г. ПОЗНЯК ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ЧАСТЫ1 ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ Допущено Министерством обще1 о и профессионального образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика» МОСКВА ФИЗМАТЛИТ 2002 УДК 517 Нфб ББ1( 22.1б УЧЕБНИК УДОСТОЕН ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРЕМИИ СССР ЗА 1980 ГОД ИЛЬИН В. А., ПОЗНЯК Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть Пл Учеб.: Для вузов.

4-е изд. Мл с1»ИЗМАТЛИТ. 2002. 16! с. — !Курс высшей математики и математической физики). — 18Б:» 6-9221-0131-5 1Бьллл. 2) Один пз вьшусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А.Н.Тихонова, Б.А.Ильина. А.Г.Свелпникова. Учебник создан на базе лекций. читавпилхся авторами в течение ряда лет ня физическом факультете я факультете вычисзплтельной математики и кглбернетикн '»!псковского государственного университета. Книл а включает теорию функционал« ных ллолиледовательностей и рядов, кратных !в том числе несобственных!. криволинейных и поверхностных ллнтегралов, интегралов, зависящих от параметров, теорию рядов и инлегралов Фурье.

3-0 н «дал«не — 1999 г. Для студентов выси»их учебных заведеннй„обучакяцихся по специальностям «Физика» н «Прикладная математика». Ил. 18. Учебное издание ИЛВИИ Владимир Алекс««««дров«ли. ПОЗНЯК Эдуард !шлривоаи« ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Часть П Серия «Курс высшей математики и математической физики» Редактор Д.А.

Мллрглзоеа Оригинал-макет: В.В. За«глек«ли ЛР 50071930 ог 00.07.99 Подписано в печать 20.06.01. Формат 60х«30,«16. Бумага офсетная 8»1. Печа» ь офсетная. Уел. печ. л. 29. Уч.-изд. л. 26.,27. Тираж 5000 зкз. Заказ УР 18В1»! 5-9221-0131-5 Издательская фирма «Физико-мате»латическая литература» МАИК «НаукаУИнгерперводпка» 117861 Москва, Профсоклная ул., 90 Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Ивановская об.ластная типография» 183008, г. Иваново, ул. Тшлографская, б 785922 101318 1БВХ« 5-0221-0131-5 уВып. 2) 1БВХ 5-0221-0134-Х (Сл «Р113МК1.11Г1. 1999. 2001, 2002 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к третьему изданию Предисловие к первому изданию . Г л а в а 1. Функциональные последовательности и ряды 1.

Равномерная сходимость 1. Понятие функциональной последовательности и функционального ряда (13). 2. Сходимость функциональной последовательности в точке и на множестве (15). 3. Понятие равномерной сходимости на множестве (16). 4.

Критерий Коши (17). 5. Достаточные признаки равномерной сходимостн (19). 6. Почленный переход к пределу. Непрерывность суммы ряда и предельной функции последовательности (23). 2. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование фунггпионачьных последовательностей и рядов 1. Почленное интегрирование (27). 2.

Почленное дифференцирование (29). 3. Сходимость в среднем (34). 3. Равностепенная непрерывность последовательности функций. Теорема Арцела 4. Степенныо ряды 1. Степенной ряд и область его сходимости (41). 2. Непрерывность суммы степенного ряда (45). 3.

Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенного ряда (45) 5. Разложение функций в степенные ряды 1. Разложение функции в степенной ряд (47). 2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (48). 3. Элементарные представления о функциях комплексной переменной (50). 4. Равномерное приближение непрерывной функции многочленами (теорема Вейерштрасса) (52). Г л а в а 2. Двойные и п-кратные интегралы 1. Определение и существование двойного интеграла 1. Определение двойного интеграла для прямоугольника (58). 2. Существование двойного интограла для прямоугольника (59). 3.

Определение и существование двойного интеграла для произвольной области (61). 4. Определение двойного интеграла при помощи произвольных разбиений области (64). 2. Основные свойства двойного интеграла '8 3. Сведение двойного интограла к повторному однократному 1. Случай прямоугольника (69).

2. Случай произвольной области (71). '3 4. Тройные и и-кратные интегралы 5. Замена переменных в п-кратном интеграле Дополнение. О приближенном вычислении и-кратных интегралов 11 11 13 13 27 37 41 57 58 68 69 73 77 93 ОГЛАВЛВНИВ 1.

Формулы численного интегрирования, оптимальные для классов функций (93). 2. О формулах численного интегрирования, оптимальных для каждой конкретной функции (95). 3. Пример приближенного вычисления кратного интеграла (97). Г л а в а 3. Несобственные интегралы Г л а в а 4. Криволинейные интегралы 118 1. Определения криволинейных интегралов и их физический смысл 2. Существование криволинейных интегралов и сведение их к определенным интегралам 118 121 127 127 Г л а в а 5.

Поверхностные интегралы 1. Понятие поверхности 1. Понятие поверхности (127). 2. Регулярная поверхность (128). 3. Задание поверхности с помощью векторных функций (131) . 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности (133). 5. Вспомогательные леммы (134). 2. Площадь поверхности 1. Понятие площади поверхности (137).

2. Квадрируемость гладких поверхностей (138). 3. Поверхностные интегралы 1. Понятия поверхностных интегралов первого и второго родов (142). 2. Существование поверхностных интегралов первого и второго родов (143). 3. Поверхностные интегралы второго рода, не зависящие от выбора декартовой системы координат (147). 137 142 Г л а в а 6, Основные операции теории поля 149 149 1. Преобразования базисов и координат.

Инварианты 1. Взаимные базисы векторов. Ковариантные и контравариантные координаты векторов (149). 2. Преобразования базиса и координат (152). 3. Инварианты линейного оператора. Дивергенция и ротор линейного оператора (1э3). 2. Основные понятия и операции, связанные со скалярным и векторным полем 156 98 1. Несобственные интегралы первого рода (одномерный случай) 98 1.

Понятие несобственного интеграла первого рода (98). 2. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода. Достаточные признаки сходимости (100). 3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов (102). 4. Замена переменных под знаком несобствонного интеграла и формула интегрирования по частям (104) .

2. Несобственные интегралы второго рода (одномерный случай) 106 1. Понятие несобственного интегрьша второго рода. Критерий Коши (106). 2. Заключительные замечания (107). 3. Главное значение несобственного интеграла ......... 109 4. Кратные несобственные интегралы............ 110 1. Понятие кратных несобственных интегралов (110). 2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций (11Ц. 3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций (114). 4. Главное значение кратных несобственных интегралов (117). огллвлкник Глав 189 1. Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл (200).

2. Выражение объема через поверхностный интеграл 201). 3. Условия, при которых дифференциальная форма Р(х, у) 4х+ Я(х, у) 4у представляет собой полный дифференциал (201). 4. Потенциальные и соленоидальные векторные поля (206). олнение. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве .

Доп 210 Знакопеременные цолилинейные формы 1. Линейные формы (210). 2. Билинейные формы (211). 3. Полилинейные формы (211). 4. Знакоперехп.нные полилинейные формы (212). 5. Внешнее произведение знакопеременных форм (212). 6. Свойства внешнегопроизведения зпакопеременных форм (215).

7. Базис в пространстве знакопеременных форы 1216). 210 1. Понятия скалярного и векторного поля (156). 2. Дифферен- цируемые скалярные поля. Градиент скалярного поля. Про- изводная по направлению П57). 3. Дифференцируемые век- торные поля. Дивергенция и ротор векторного |юля. Произ- водная векторного поля по направлению (160).

4. Повторные операции теории поля (164). Выраженно основных операций теории ноля в криволиней- ных координатах 165 1. Криволинейные координаты (165). 2. Выражение градиента и производной по направлению для скалярного поля в кри- волинейных координатах (170). 3. Выражение дивергенции, ротора и производной по направлению для векторного поля в криволинейных координатах (172).

4. Выражение оператора Лапласа в криволинейных ортогональных координатах П74). 5. Выражение основных операций теории поля в цилиндриче- ской и сферической системах координат 1174). а 7. Формулы Грина, Стокса и Остроградского Формула Грина 1. Формулировка основной теоремы П76). 2. Доказательство формулы Грина для специального класса областей И77). 3. Инвариантная запись формулы Грина П79).

4. Вспомога- тельные предложения (182). 5. Специа.льное разбиение обла- сти Г1 с кусочно-гладкой границей Ь (185). 6. Доказательство теоремы 7.1 (188). Формула Стокса 1. Формулировка основной теоремы (189). 2. Доказательство формулы Стокса для гладкой поверхности, однозначно про- ецирующейся на три координатные плоскости (190). 3. Ин- вариантная запись формулы Стокса (192) 4. Доказательство теоремы 7.3 (193), Формула Остроградского.......

19о 1. Формулировка основной теоремы П95). 2. Доказательство формулы Остроградского для специального класса облас- тей П96). 3. Инвариантная запись формулы Остроградско- го (198). Некоторые приложения формул Грина, Стокса и Остроград- ского .............................. 200 ОГЛАВЛВНИВ 2. Дифференциальные формы 1. Определения (217). 2. Внешний дифференциал (219). 3. Свойства внешнего дифференциала (219). 3. Дифференцируемые отображения 1. Определение дифференпируемых отображений (221). 2. Свойства отображония у' (222).