Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа), страница 4

1 для всех и > Х(е), всех натуральных р (р = 1, 2, ... ) и всех х из множества (х). Теорема 1.2. Для того чтобы фунациональный ряд иь(х) (1.8) я=1 равномерно на множестве (х) сходился к некоторой сумме, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашелся номер М(е) такой, что из-р иь(х) < е (1.9) г=п-~-1 для всех и > Х(е), всех натуральных р и всех х из множества (х). Теорема 1.2 является следствием теоремы 1.1: достаточно заметить, что в левой части неравенства (1.9) под знаком модуля стоит разность Я„ьр(х) — Я„(х) частичных сумм ряда (1.8).

Доказательство г е о р е м ы 1.1. 1) Н е о б х о д им о с т ь. Пусть последовательность (1„(х)) сходится равномерно на множестве 1х) к некоторой предельной функции 1(х). Фиксируем произвольное е > О. Для положительного числа е/2 найдется номер Х такой, что для всех и > Х и сразу для всех х из множества (х) ~)'„(х) — 1" (х)~ < е/2. (1.10) Если р любое натуральное число, то для и > Х и для всех х из множества (х) тем более справедливо неравенство ~('„гр(х) — 1'(х)~ < е/2. (1.11) Поскольку модуль суммы не превосходит суммы модулей, то в силу (1.10) и (1.11) получим ~Хь ~р(х) — 1„(х)/ = !()„р (х) — 1(х)] + (1'(х) — 1„(х))/ < < ()и.ер(х) — 1(х)/ + !((х) — 1„(х)/ < е (для всех и > Х, всех натуральных р и всех х из множества 1х)). Необходимость доказана.

2) Достаточность. Из неравенства (1.7) и из критерия Коши для числовой последовательности вытекает сходимость последовательности (1„(х)) при любом фиксированном х из множества )х) и существование предельной функции 1(х). Так как неравенство (1.7) справедливо для лгобого натурального р, то, осуществив в этом неравенстве предельный переход РЛВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ при р э оо 1см. вью. 1, теорему 3.13), получим, что для всех п ) А' и всех х из множества 1х) справедливо неравенство )~(х) — 1„(х)! ( е.

~ иь1х) . оь(х). я=1 Этот ряд сходится равномерно на множестве 1х), если выполнены следующие два условия: 1) последовательность иь(х) яоллется невозрастающей на мгюжестве 1х) и равномерно на этом множестве сходится к нулю; 2) ряд 2„, иь(х) имеет равномерно ограниченную на множеЬ=1 стае 1х) последовательность частичных сумм. Доказательство почти текстуально совпадает с доказательством соответствующего признака сходимости числовых рядов 1см. вып. 1, гл. 13, 3 5, п. 2). Мы предлагаем читателю провести его самому. П р и м е р 1. В качестве примера изучим вопрос о равномерной сходимости ряда ян /ст Е у ь=! 11.12) Так как последовательность 11/Ц 1для всех х) не возрастает и равномерно стремится к нулю, то в силу признака Дирихле— Абеля ряд 11.12) равномерно сходится на любом множестве, .па О ) В силу сказанного в и. 1 обе эти формулировки эквивалентны.

В силу произвольности е ) О достаточность доказана. 5. Достаточные признаки равномерной сходимости. В зависимости от удобства будем формулировать признаки равномерной сходимости либо в терминах последовательностей, либо в терминах рядов ) . Для формулировки первого признака введем новое понятие. Определение.

Последовательность функций 11п1х)) пазывается равномерно ограниченной на множеств е 1х), если существует тпакое вещественное число А, что для всех х из множества 1х) и для всех номеров п справедливо неравенство ~Д,1х)~ ( А. Теорема 1.3 (признан Дирихле — Абеля). Пусть дан функциональный ряд 20 ФУнк11иОИАльные ИОслеДОВАтельнОсти и 1~Яды гл.

1 котором ряд ~з1пы (1.13) я=1 обладает равномерно ограниченной последовательностью час- тИЧНЫХ СУММ. ВЫЧИШ1ИМ И ОЦЕНИМ и-Ю ЧаСтИЧНУЮ СУММУ Яп(Х) ряда (1.13). Суммируя тождество 2едп — зш1сх = соз~й — — )т, — соз~ И+ — )х 2 2 2 по всем Й от 1 до п, получим Х х Г 11 2зш —. Яо(х) = сов — — соз(п+ — )х. 2 2 2 Отсюда х С 11 соз — — сов(п -Ь вЂ” ~х Е (х) 2 2 2зш 2 Стало быть, для всех номеров п справедливо неравенство Ф.(х)~ < . „ (1.14) з1п(х/2) Из неравенства (1.14) очевидно, что последовательность (Я,(х) ) частичных сумм ряда (1.13) равномерно ограничена на любом фиксированном сегменте, .нс содержащем точек х = 2кт (т = = О, х1, х2, ...

), ибо на любом таком сегменте ~ з1п(х/2)~ имеет положительную точную нижнюю грань. Итак, мы доказали, что ряд (1.12) сходится равномерно на любом сегменте, не содержащем точек х = 2кгп, где т = О, х1, х2..... Теорема 1.4 (признак Вейерштрасса). Если функииональный ряд (1.15) иь(х) я=1 определен на множестве (х) и если су1цествует сходя1цийся числовой ряд 2 сь такой, что для всех х ив множества (х) и я=1 для любого номера к справедливо неравенство ~иь(х)~ < сы (11б) то функциональный ряд (1.15) сходится равномерно на множестве (х). 21 РЛВНОМЕРНЛЯ СХОДИМОСТЬ Краткая формулировка: функциональный ряд схо- дится равномерно на данном мноэбсестве, есоби еао можно мажо- рировать на этом множестве сходяийимся числовым рядом.

Доказательство. СогласнокритериюКошидлячисло- вого ряда 2 сй, для любого е > О найдется номер й1(е) такой, й=1 что для всех н > б'б '1е) и для любого натурального р справедливо неравенство п-~-р сй < е. (1.17) й=п-~-1 Из неравенств (1.16) и (1.17) и из того, что модуль суммы не превосходит суммы модулей, получим п-~-р ий(х) ( е й=п-~-1 (для всех н > д1(е), всех натуральных р и всех х из множест1х)) Согласно критерию Коши функциональный ряд (1.15) схо- дится равномерно на множестве 1х1. Теорема доказана. Пример 2.Ряд ,.

д>О, й1б-б ' й=1 сходится равномерно па всей бесконе пюй прямой, ибо на всей прямой е1п йх 1 йб.б - йб,.б: а числовой ряд р — при д > О сходится (см. вып, 1, гл. 13). й1-~-б й=1 3 а и е ч а н и е 1. Признак Вейерштрасса не является ббеобходимым. В самом деле, выше установлено, что ряд (1.12) сходится равномерно на любом сегменте, не содержащем точек х = 2япб (т = О, ~1, ~2, ...). В частности, ряд (1.12) сходится равномерно на сегменте [бг/2,3ябб2]. Однако па указанном сегменте ( б1п йх~ модуль й-го члена ряда (1.12) имеет точную верхнюю й 1 х 1 грань, равную —, т.

е. мажорирующий числовой ряд р — предй й й=1 ставляет собой заведомо расходящийся гармонический ряд. 22 ФУнсс11НОнлльные пОследОВАтельнОсти и 1еяды Гл. 1 Теорема 1.5 (признак Дини ') ). Пусть последовательность (1п(х)) не убывает (или не возрастает) в каждой точке сеглсента [а, 6] и сходится на этом сегменте к предельной функции 1'(х). Тогдоь если все элементы последоваспельности 1п(х) и предельная функция 1'(х) непрерывны на сегменте [а, 6], то сходимость последовательноспиа ()п(х)) является равномерной на сегментпе [а, Ь]. Доказательство. Ради определенности предположим что последовательность (1п(х)) не убывает на сегменте [а, 6] (сглучай невозрастающей последовательности сводится к этому случаю помножением всех элементов последовательности на — 1).

Положим г (х) = 1(х) — Л,(х). Последовательность (гп(х) ) обладает следующими свойствами: 1) все 1„(х) неотрицательны и непрерывны на сегменте [а, 6], 2) (г„(х)) является невозрастающей на сегменте [а, Ь]; 3) в каждой точке х сегмента [а, 6] существует предел 1пп гп(х) = О. Требуется доказать, что последовательность (гп(х)) сходится к нулю равномерно на сегменте [а, 6]. Достаточно доказать, что для любого е > О найдется хоспь один номер н такой, что гп(х) < е сразу для всех х из [а, 6] (тогда в силу невозрастания (гп(х)) неравенство гп(х) < г будет справедливо и для всех последующих номеров). Предположим, что для некоторого е > О не найдется ни одного номера п такого, что гп(х) < в сразу для всех х из [а, 6]. Тогда для любого номера п найдется точка хп из [а, 6] такая, что 1п(Хп) > Е.

(1.18) Из последовательности (хп) в силу теоремы Больцапо-Вейерьитрасса можно выделить подпоспедовательность (хп,), сходящусося к некоторой точке хо сегмента [а, 6] (см. вып. 1, гл. 3, 8 4). Все функции г,п(х) (при любом номере т) непрерывны в точке хо. Стало быть, для любого номера т 111П Гт(тпе) = Гт(ХО). (1.19) Ь вЂ” тес С другой стороны, выбрав для любого фиксированного номера т превосходящий его номер пы мы получим (в силу невозрастапия последовательности) гп~(тпе) ~ ~гпг (Хпь). ) Улисс Дини — итальянский математик (1840- - 1918).

РЛВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ Сопоставляя последнее неравенство с (1.18), будем иметь гю(хн„) > г (1.20) (для любого фиксированного т и превосходящего его номера пь). Наконец, .из сопоставления (1.19) и (1.20) получим гю(хо) ~ г (для любого номера т). Последнее неравенство противоречит сходимости последовательности (иа(х)) к нулю в точке хо. Полученное противоречие доказывает теорему. 3 а меч ание 2. В теореме Дини существенно условие м он о т о н н о с т и последовательности (уо(х)) на сегменте [а, 6], ибо немонотонная на [а, 6] последовательность непрерывных на этом сегменте функций может сходиться в каждой точке сегмента [а, 6] к непрерывной на этом сегменте функции 1(х), но не сходиться к ней равномерно на [а, 6].

ПРимеРом может слУжить последовательность фУнкЦий ун(х), равных вгппх при 0 < х < к)п и равных нулю при к[п < х < к (п = 1, 2,...). Эта последовательность сходится к 1'(х) = 0 в каждой точке [О, к], но не сходится равномерно на [О, к], ибо ]('„(хн) — 1(хн)] = 1 при ха = к/(2п) для всех номеров п. 3 а меч ание 3. Сформулируем теорему Дини в терминах рядов: если все члены ряда пепрерывиы и веотрииательны на сегменгпе [а, 6] и сумма этого ряди такэк:е непрерывна на сегменте [аз 6], то указанный ряд сходится к своей сумме равномерно на сегменте [а, 6]. 3 ам е ч ан не 4. Теорема Дини и ее доказательство сохраняют силу, если в этой теореме вместо сегмента [а, 6) взять любое ограничешюе замкнутое множество (х).