Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа), страница 3

Ильин, 3. Позняк Декабрь 1972 г. ГЛАВА 1 ФУНКЦИОНАЛЬНЫК ПОСЛКДОВАТКЛЬНОСТИ И РЯДЫ В этой главе будут изучены последовательности и ряды, членами которых являются не числа, а функции, определенные на некотором фиксированном множестве. Такие последовательности и ряды широко используются для представления и приближенного вычисления функций. ~ 1. Равномерная сходимость 1. Понятие функциональной последовательности и функционального ряда. Если фиксировано некоторое.

лтожество (х) ) и если каждому числу и из натурального ряда чисел 1, 2......, и, ... стпавнтся в соответствие по определеть ному закону некотпорая функция 1 (х), заданная на множеставе (х), то множество занумерованных функций 11(х), Ях), ... ..., тп(х), ... мы и будем называтпь функциональной нос л е д о в а т е л ь и о с т ь ю.

Отдельные функции тп(х) будем называть ч л е н а м и или э л е м е н т а м и рассматриваемой последовательности, а множество(х) областью определения этой последовательности. Для обозначения функциональной последовательности будем использовать символ тв(х). Формально написанную сумму и„(х) = а1(х) + из(х) + ... + и„(х) + ... (1.1) в=1 бесконечного числа членов функциональной последовательности ип(х) будем называть функциональным рядом. Члены ии(х) этого ряда представляют собой функции, определенные на некотором множестве (х). Указанное множество (х) называется при этом о б л а с т ь ю о и р е д с л е н и я функционального ряда (1.1).

') Под (х) можио понимать, в частпости, как множество точек прямой, так и множество точек х = (хп хь ..., х„,) евклидова пространства ь 14 ФУнкционлльные НОслеДОВлтельности и РЯДЫ Гл. 1 Как и для случая числового ряда, сумму первых и членов ряда (1.1) называют п,-й частичной суммой этого ряда. Подчеркнем, что изучение функциональных рядов совершенно эквиваленгпно изучению функоиональных последовательностей, ибо каждому функциональному ряду (1.1) однозначно соответствует функциональная последовательность Яг( ') Яа( ) . " Я ( ) ...

(1.2) его частичных сумм и, наоборот, каждой функциональной последовательности (1.2) однозначно соответствует функциональный ряд (1.1) с членами иг(Х) = Яг(Х), и„(Х) = Я,г(Х) — Я„г(Х) Прн и > 2, для которого последовательность (1.2) является последовательностью частичных сумм. Приведем примеры функциональных последовательностей и рядов. Хг(х)) 1 гу(х)4 12( о! 1У 1 х Риа 1.1 П р и м е р 1. Рассмотрим последовательность функций (го(х)), каждая из которых определена на сегменте О < х < 1 и имеет вид 1 — пх при О < х < 1(п, Л,(х) = (1.3) О при 1(11<х<1. На рис. 1.1 изображены графики функций )г(х), ~з(х) и 1о( ).

П р и м е р 2. В качестве примера функционального ряда рассмотрим следующий ряд по степеням х: 1+~ — * =1+х+ — *+ + — *+... (14) Ь=1 Заметим, что (и+1)-я частичная сумма ряда (1.4) отличается от разложения е* по формуле Маклорена только на величину остаточного члена Л„ ьг(х). РЛВНОМВРНАЯ СХОДИЬСОСТЬ 2. Сходимость функциональной последовательности в точке и на множестве. Предположим, что функциональная последовательность (или ряд) определены на множестве (х).

Фиксируем произвольную точку ха из множества (х) и рассмотрим все члены последовательности (или ряда) в точке хо. При этом получим числовую последовательность (или ряд). Если указанная числовая последовательность (или ряд) сходится, то говорят, что функциональная последовательность (или ряд) сходится в точке хе. Множество всех точек хо, в которых сходится данная функциональная последовательность (или ряд), называется о б л встык сходи мости этой последовательности (или ряда). В различных конкретных случаях область сходимости может либо совпадать с областью определения., либо составлять часть облаппл оссределенсля, либо всюбще являться пустым множеством. Соответствующие примеры читатель найдет ниже. Предположим, что функциональная последовательность ) Г„(х)) имеет в качестве области сходимости множество (х1.

овокупность пределов, взятых для всех значений х из множества 1х), образует вполне определенную функцию у(х), также заданную на множестве (х). Эту функцию называют предельной фу нкцией последовательности (с„(х)1. Совершенно аналогично, если функциональный ряд (1.1) сходится на некотором множестве (х), то на этом множестве опредслена функция 5(х), являющаяся Лх) предельной функцией последовательности его частичных сулим и называемая 1 суммой этого ряда. Последовательность (1.3) из рассмотренного выше примера 1 сходится на всем сегменте 0 < х < 1.

В самом деле, ~„(0) = 1 для всех номеров п, т. е. в точке х = 0 последовательность (1.3) сходится к единице. о 1 х Если же фиксировать любое х из полусегмента 0 < х < 1, то все с"„(х), начиная с некоторого номера (зависящего, конечно, от х), будут равны нулю. Стасю быть, в любой точке х полусегмента 0 < х < 1 последовательность (1.3) сходится к нулю. Итак, последовательность (1.3) сходится на всем сегменте 0 < х < 1 к предельной функции с" (х), имеющей вид ( 1 при х=О., (О при 0<х<1. График этой предельной функции изображен на рис.

1.2 16 ФУнкционАльные пОслеДОВАтельнОсти и ряды Гл. 1 Подчеркнем, что эта функция не является непрерывной на сегменте 0 < т, < 1 (она разрывна в точке х = 0). Обратимся теперь к фу.нкциональному ряду (1.4) из примера 2. Этот ряд сходится в любой точке х бесконечной прямой и его сумма равна е*. Доказательство можно найти в гл. 13 вьш. 1 (см. пример 3 из п. 1 3 1 гл. 13) 3. Понятие равномерной сходимости на множестве.

Предположим, что последовательность Их) Ь(х) ." Ых) " (1.5) сходится на множестве (х) к предельной функции ) (х). Определение 1. Будем говорить, что последоватс,льность (15) сходится к функции у(х) равномерно на множес т в е (х), если для любого г > 0 можно указать такой номер Х(г), что при и > М(г) для всех х из множества (х) справедливо неравенство ) (1.6) 3 а м е ч а и и е 1.

В этом определении весьма существенно то, что нол1ер )у' зависит только от г и не зависит от х. Таким образом, для любого г > 0 найдется универсальный номер зу'(г), начиная с которого неравенство (1.6) справедливо сразу для всех х' из множества (х). 3 а м е ч а н и е 2. Из сходи. мости последовательности (уп(х)) на множестве (х) вовсе не вытекаегп равномерная сходимость ее на этом множестве. Так, последовательность (1.3) из рассмотренного выше примера 1 сходится на всем сегменте [О, Ц (это установлено выше).

Докажем, что эта последовательность не сходится равномерно на сегменте [О, Ц. Рассмотрим последовательность точек х = 1/(2п) (и = 1, 2, ... ), принадлежащих сегменту [О, Ц. В каждой из этих точек (т. е. для каждого номера и) справедливы соотногпения уп(хп) = 1/2, )'(хп,) = О. Таким образом, для любого номера и ~Уп(х ) — Х(х )~ = 1!2, т. е. при г < 1/2 неравенству (1.6) нельзя удовлетворить сразу для всех точек х из сегмента [О, Ц ни при каком номере и. ') Впрочем, это доказательство сразу вытекает из формулы Маклорена для е и из того, что остаточный член в этой формуле стремится к нулю для всех х. ) Если под (х) понимать множество точек х = (хь ..., х .) пространства Е, то мы получим определение равномерной сходимости по<ледовательности З„(х) = З„(хь хн ..., х ) функций т переменных.

17 РЛВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ]~в гр(х) — 1в(х)[ < е (1. 7) ') Для доказательства достаточно оценить остаточный член й„зл(х) в формуле Маклорена для функции е . Этот остаточный член, представляюьций собой разность е' и (и + 1)-й частичной суммы ряда (1.4), сразу для всех х из сегмента -г ( х ( г удовлетворяет неравенству е! ]Л зл(х)] (,, е' 1п. Ч- 1)! (см. вып. 1, формулу (8.62)). 3 а м е ч а н и е 3. Отметим, что равномерная на множестве (х) сходимость функциональной последовательности (~„(х)) к функции 1(х) эквивалентна сходимости числовой последовательности (ев), члены е„которой представляют собой точные верхние грани функции ]1о(х) — 1(х)] на множестве (х).

3 а м е ч а н и е 4. Из определения 1 непосредственно вытекает, что если послеДовательность ()в(х)) РавпомеРно схоДитсЯ к 1(х) на всем множестве (х), то (~„(х)) равномерно сходится к 1(х) и па любой части множества (х). 11риведем теперь пример функциональной последовательности, равномерно сходящейся на некотором множестве (х). Рассмотрим все ту же последовательность (1.3), но не на всем сегменте [О, Ц, а на сегменте [б, Ц, где Б -- фиксированное число из интервала О < б < 1. Для любого такого б найдется номер, начиная с которого все элементы 1в(х) равны нулю на сегменте [б, Ц. Так как предельная функция 1(х) также равна нулю на сегменте [б, Ц, то на всем этом сегменте неравенство (1.б) будет справедливо для любого е ) О, начиная с указанного номера.

Это доказывает равномерную сходимость последовательности (1.3) на сегменте [б, Ц. Определение х. Функционвльнът" ряд называегпся р а вномерпо сходя и4имся ма мнохс ест ве (х) к своей сумме о(х), если последовательность (о„(х)) его частнчьумх сумм сходится равномерно на мпохсестве (х) к предельной функции о(х). Докажите сами, что функциональный ряд (1.4~ из рассмотренного выше примера 2 сходится к своей сумме е равномерно на каждом сегменте — г < х < г, где г —. любое фиксированное положительное чис;ю ) . 4.

Критерий Коши. Справедливы следующие две основные теоремы. Теорема 1.1. Для того чтобы функциональная последовательность (1в(х)) равномерно на мнооюестве (х) сходилась к некоторой предельной функции, необходимо и достаточно., чтобы для любого е ) О нашелся номер )у'(е) такой, что 18 Функционлльные пОслеДОВАтельнОсти и ВЯДы Гл.