Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Для этого достаточно доказать, что дискрнмннвнт этого уравнения положителен,т. е. достаточно установить неравенство (с — ас1) > (ср — Ъд)(Ь вЂ” ар). (7.78) Пегьо убедиться в том, |то неравенство (7.78) эквивалентно следующему неравенству: (2(с 4- ад) — 1уЗ~ > (4д — р )(4ас — Ь ). (7.79) Поскольку квадратный трехчлен (ад 4-ра+ д) имеет комплексные корни, то 4д — р~ > О. Неравенство (7.79),заведомо имеет место, если 4ас — Ь' ( О. Докажем. что это неравенство справедливо и в случае. ко~да 4ас — Ь' > О. В этом с т ад случае д > О, а~ > 0 и 4 уасд > рб. Поэтому.
учитывая, что ' > 'сад, 2 оудем иметь () (1 + д1)ллЛа11э + с1 (7.80) где ам с~ и д1 — некоторые посзоявные, а Р(1) — многочлен степени 2Л— Р(1) — 1. Разложив ) дробь „на сумму щюстешлнх, мы сведем вопрос: (сэ + д1)л о вычислении интеграла (7.80) к вычислению суммы интегралов вида ~11 ()с = 1. 2, ...Л). (се Э- д,)ь~l а11' 4 ., ') Пр Л>1.
(2(с+ аф — бр)э > (4 Яде — рб)е = = (4д — р )(4ас — б ) + 4(рллас — блуд) > (4д — р )(4ас — Ь~). В написанной цепочке неравенств имеется хотя бы один знак строгого неравенства >, ибо первый знак > обращается в знак = лишь при с = ад, но при с = ад, в силУ того. что Ь ф аул заведоь1о (Рл7щс — Ь /У) Р О. н 1пхэтомУ второй знак > не абра|пастон в знак =.
Итак. нами докжзшю неравенство (7.79), т. е. доказана возможность выбора таких и и и, нри которых в полученных квадратных трехчленах отсутствуют члены первой степеви относил ельно и Сделав замену (7.70) с указанными и н и, мы приведел~ интеграл типа П1 к янгу 244 унтк!!1и овйник в илкй!кн"!и! Вк!х еънкнивх Ртк 7 (р т и -~ 1)!а э'- [Зри -!- (И + в) т 2]! -Е [ва -!- и + 1) [! Г д . [и — д+ 1)! + [2ри — [д+ и) -1- 2]1+ [иэ — и Э- 1) [! ь!)з Постоянные д и ~. находим из системы уравнений 2дк -1- [И -!-и) -1-2 = О, 2!ю — (и+ и) -!-2 =- О. Легко убедиться в том, по ') д = 1, в = — !. Таким образом, замена [7.76) 1 — ! имогт вид у =, гак гто 1-Е1' т~-1 241 31' -Р 1 „! Э- 3 Их = ',, т —,'-.г -Е 1 = ',, г — г -Е 1 = [1 ! 1)а' ' [1 ! 1)а' [1 ! 1)г' Рассматриваемый интеграл принимает вид (1 -!- !) З! [!'+ З)ь78!'-'+1 где =,/' ! г)1 /' г)1 7~ =2,, 1е=2 [!э+ З)ьУЗ!'- +1' У [!е-Е З)ЯР+1' Для выч1к ~ешгя интеграла 7~ делаем полстшовку и = тУЗГ+ 1, а для вы/ ! чиеления ивтеграла 1 делаем подстановку г = !) 3 -1- —,.
В резулшате получим ди 1 и 1 л +в+1 В = 2 /, = — асс!к — + С = — асс!к з э'- С., ,/ на+8 Я ь78 ьг2 2(! — х)а '.г+ 1 /8 1 2 э76 э-С = 1п 1 2;Г6 +1 Г8 ') Можно было бы положить наоборот; и =- — 1. и =- 1. Каждый из эчих интегралов озносгг1ся к изу генному вылив частному виду. Тем самым мы доказали интегрнруемость [в элементарных функпиях) интегралов всех грех типов 1, П и И1. Таким образом, еще раз помимо подстановок Эйлера доказана июегрируемость фушгпин [7.66) в элементарных функпиях. г1х П р и м е р. Вычнслигь интеграл 1 = / . э к (" — "') кои Пвс [7.75)., мы до:пкны прежде всего сделать замену [7.76).
В результтпе этой замены полечим 245 Э:1;1И1!ТИ>1ЕСИИЕ ИНТЕ!'РАД>Ы 8 11. Эллиптические интегралы К интегралам от ккадратичных иррациональностей естественно примыкают следующие интегралы: и( .,~": (г !7.8Ц '(" """"" '>"(': подынте> ральнь>е функции которых содержа> корень квадратный вз много п>енов третьей нли че>вер>ой степени. Эти интегралы весьма >вето вс>речаются г, приложениях.
О>метим сразу же, что ин>егралы (7.8Ц и (7.82), вообще говоря, ис явля>отея ллгмгитаркъ(ми фуикдиями. Оба эти интеграла принято называгь эллиптическими к тех случаях. когда ови и(' кьй>ажаются в!»» зл(м(нт>И»в «функции. и псекдовяяив>личгскими в тех случаях. когда они выражаются через элементарные функции (( Ввиду важности .шя приложений интегралов (7.8Ц и (7.82) возникла необходимость составления таблиц и графиков функций, определяемых этнми инте>раламн. При произвольных коэффипиен>ах а, Ь. с, (> н г такие т аблицы и графики составить очень > рудно. Поэтому возникла задача о сведении всех интегралов вида >7.8Ц н >7.82) к нескольким типам инт(тра.кш, содержащих по во>мо>кностн мень>пе произвольных козф()>ицнентов !или, как говорки о приведении интегралов (7.8Ц и (7.82) к канонической форме).
Прежде всего. заметим. что интеграл 17.8Ц сводится к интегралу !7.82). В гамом деле, кубичный трех >лен;зав( домо имеет хотя бы один вещественный корень хг. а поэтому его можно предо>ашп ь в ваде ах + Ьх + ох + ,г г З-(> = а(х — хо)1х -(-рг -Ь(>). Сделав подстановку х —,гг = х> .
мы. как лагко видеть, преобр г>уег> интеграл (7.8Ц в (7.82) Таким обрпзом, нам до( тато (но рассмо > ре> ь .щшь интеграл (7.82). В (пьчу резуль>азов 3 6 многочлен четвер>ой степени можно разлоясить нв произведение двух квадратных грехчленов с вещественными коэффщ>иентами а> ' + Ьхз + сг ' + ()х Е е = г>(х -Р рх + (!) (х + р х + д ). Все>да пай>ется некоторая линейная или дробно-линейная по>ктанокка, уничтожающая у обоих квадратных трехчленов линейные члены >.
Сделав >акую полстановку. мы с то тостыо до (щщаехи»о. представлщоще>о собой элемен трную функпию, преобразуем ин>еграл 17.82) к вику (7-) ВЬ!') >('! где Л - некоторая рациональная функщтж Далее можно показать, что при любых комбинациях абсолютных значений и знаков оот ояи»ых А. >и и >и' намлется замена, сводящая ии.геграл (7.83) к так называемому каноническому иип>ггралу )7.84) > Названая щюнсходят о>того, по впервые с этими ннтегра>ами вс>ретились при решении задачи о сщшмлении эж>ипса (см. пример 3 п.
б 3 1 гл. 1Ц. >) Это доказывается точно так ж(ч как в п. Ь 8 10. 246 ИНТЕГРИРОВАН!!Е В Э:1ЕМЕНТАГП!ОХ ФуНЕН!11!Х ГЛ. 7 в кагором через к обозначена погчоянная, удовлетворяющая ус ювию О < < й < 1. Любой квноннчег:кий шюеграл (7.84) с сочностью до слагаемого, пр("дсчавляючцего собой элементарную функпичо„может бычь щэиве,(ен к гл(- дующим треь( стандартным интегра.чам: дг ;.'-'г!г го=.((о-( ° а( ') го =.(( -(('( (О<5<!). Иэ Ьыч( Ч(:с)((: Е" (7.85) (7.88) (' ч.' '~(ээ — э'.( г' Интегралы (7.86), (7.87) и (7.88) принято называгь эллиптическими интегралами соошегсчвенно 1-го, 2-го и 3-го рода, в форме Лгоа:оэ(дрп.
Особенно вюкную роль в приложениях иг!эаюг интегра(ы (7.8б) и (7.87). Если (" читать. что оба эти интегра(а обращаются в нуль прн э» = О, то полу'(атея две вполне определенные функции. которые обьг(но обозначают символш(и Е()г, р) и Е(к. Н). Лежандром и другими чппемагиками и(учены их свойства. Для них угтановлен ряд формул, состав.к."ны обширные таблипы и графики. Наряду с элементарными функциями функции Е и Е про шо вошли в сеа(ейство функций. часто используемых в анализе.
Здесь еще раз стоит отметить усчовносчь понятия чгн'ментарной функпии. Вместе с тем следует под и ркнуть. что задачи интегрального исчисления вовс(. не ограни (иваются и:(учением функций, интегрируемых в члеменчарных функциях. ') Жозеф Лиувилль . французский мачемачик (1809- 1882). г) Адриан Мари Лежандр — французский математик (1752 — 1833). Интегралы (7.85э) принято называть эллиптическими иговггралами соответственно ! -го. 2-го и 3-го рода. Каж,(ый из этих интегралов.
как показано Лиувиллем ), представляет собой исэлсмситорнрдо фргвгцию. Эллиптическис интегр ьчы 1-го и 2-го рода содержач только один гчарамечр 15 принимающий вещественные значения из интервала О < й < 1, э эл.ппмический интеграл 3-го рода. кроме того, содержит параметр )ч, который может принимать и комплексные значения.
Лежандр г) подеерч интегралы (7.85) дальнечпччему упрощению. сделав замену. г = э!чч р ((О ч (Эо < х((2). С помощькэ агой замены первый из интегрэ.лов (7.85) преобразуется к виду (7.86) Второй из интегралов (7.85() при:этой замене с то шостью до постошшого множителя оказывается равным разности интеграла (7.86) и с (е,чующего интеграла: 1 — кг ыпг Ээдчо. (7.87) Третий из инте(ралов (7.85) преооразуется к виду гдлвл а ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ Понятия пецрерывцой функции и диффереццируемой функции уже известны нам пз глав 4 и 5. В иастошпей гттаве будс)т установлен ряд важных свойств произвольных непрерывных и диффсрспцируемых функций. Дття вывода этих ст)ойств мы введем новое определение предельного значения функции и докажем эквивалент)н)сть этого определения старому определении), дашюму в гл.
4. й 1. Новое определение предельного значения функции 1. Новое определение предельного значения функции. Его эквивалентность старому определению. Пусть, как и в З 2 гл. 4, функция у = с" (х) определена па веко гором множестве (х)„и пусть а некоторая точка, быть может, и пе прииадлс>катттая множеству (тг), во обладая)щая тем свойством„что в любой е-окрестности точки а имеются точки множества (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
