VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 7

7б). Эта зада- п4 — — — — — — — Ф= С ча решается элементарно ), и в результате р=-Фа!г для избыточной (по сравнению с и вдали от края) плотности зарядов получается выражение В ус и= — = 4к 8кзк так что полный избыточный заряд у „Фаб ъ~З 8кз 4 Рвс.

7 ) См. 3 23; в формуле (23.2) для потенциала надо положить в данном случае у ь = ~ос!2, о = к. 38 ЭЛЕКТРООТАТИКА ПРОВОДНИКОВ Гл. ! (Л вЂ” длина периметра обкладки); при вычислении логирифмически расходнгцегосн интеграла в качестве верхнего и нижнего пределов подставляем границы области д « з « ггпу.

Отсюда находим емкость: /У С= + — !и —. 4хд Яхг Более точное вычисление (определение коэффициента и аргументе логарифма) требует применении значительно более сложных методов, причем результат зависит от формы обкладок. Дли круговых (радиуса гг) обкладок получаетси лг Л / 167ГН С = — + — (1п — — 1) 44 4х ~, д (формула Лирзг<4а). й 4. Проводящий эллипсоид Задача об определении поля заряженного проводящего эллипсоида и задача об эллипсоиде во внешнем однородном поле решаются с помощью так называемых зллипсоидальных координат.

Связь зллипсоидальных координат с декартовыми дается уравнением 2 2 2 +,~ +, =1 (а>6>с). (41) Это уравнение, кубическое относительно и, имеет три различных вещественных корня (и = ~, 2), ~), лежащих в следующих интервалах: -с~ > 2) > — Ь~, -Ь~ > ~ > -а~. (4.2) ~> — с, Эти три корня и являются эллипсоидальными координатами точки т, у, з. Их геометрический смысл явствует из того, что поверхности постоянных значений с, г), ~ представляют собой соответственно эллипсоиды, однополостныс гиперболоиды и двухполостные гиперболоиды, причем все они софокусны с эллипсоидом (4.3) Через каждую точку пространства проходит по одной поверхности этих трех семейств, причем эти поверхности взаимно ортогональны.

Формулы преобразования от эллипсоидальных координат к декартовым получаются путем совместного решения 39 пговодящия эллипсоид трех уравнений типа (4.1) и имеют вид ! г 112 (С -1- а )(г1 + а )(~ г- а ) (Ьг ,гг)(сг гг) ! (4 + ь')(ч + ь')(с + ь')' г г 1/2 (сг — Ьг)(аг — Ьг) ! г (С -~ с )(Ч -1- с )(~ г- с ) (аг сг)(Ьг — сг) (4А) Элемент длины в эллипсоидальных координатах имеет вид ц2 с2(~2 + с2 1 2 + с21~2 гг1 = г-Зз-З 62=, )12= 2В1 221„' 2Вс (4.5) где введено обозначение и = С, г), 1',.

Соответственно, уравнение Лапласа в этих координатах есть Если две из полуосей а, 6, с становятся равными, то эллипсоидальная система координат вырождается. Пусть а = 6 > с. Тогда кубическое уравнение (4.1) вырождается в квадратное: (4.7) с двумя корнями, пробегающими значения в интервалах С> — с, — с >г)>-а.

Координатные поверхности постоянных С и г) превращаются соответственно в софокусные сплюснутые эллипсоиды вращения и однополостные гиперболоиды вращения (рис. 8). В качестве третьей координаты можно ввести полярный угол у в плоскости иу (и = р соз сг, у = р зш 1д). Что жс касается зллипсоидальной координаты 1„', то при а = 6 она вырождается в постоянную — а . Ее связь с углом (с заключена в законе, по которому 1, 2 40 злектРООТАтикА пРОВОдникОВ Гл. ! стремится к — а, когда 6 стремится к а: 2 сову = (4.8) в чем легко убедиться из (4.4) или непосредственно из уравнения (4.1).

Связь координат 2, р с координатами (, 2) дается согласно (4.4) равенствами ~К+ с Цц+ сз)1 ~((+ а~Но+ аз)~ 24 0) с' — а' ) ' ~ а' — с' Координаты С, 2), д называют сплюснутыми сфероидальными координатами '). Х~ С=-'Ь2 2~ 21 — а 'и =-с 2 Рис. 9 Рис. 8 Аналогичным образом, при а > 6 = с эллипсоидальные координаты вырождаются в так называемые вытлнуть2е сфероидальные координаты. Две координаты С и ~ задаются корнями уравнения (4.10) причем С > — 62, — 62 > 2„' > — а2.

Поверхности постоянных С и ~ представляют собой вытянутые эллипсоиды и двухполостные гиперболоиды вращения (рис. 9). Координата же 2) вырождается при с — + 6 в постоянную — 6 по закону 2 / д2+ СОВО2 = 2) ')/62-с" где 92 — полярный угол в плоскости уя. ) Мы принимаем здесь такое определение сфероидальных координат, при котором они являются предельным случаем зллнпсоидальных.

В литературе пользуются и другими определениями, легко сводящимися к нашему. 41 пговодящий эллипсоид Связь координат с, ~ с координатами х, р дается формулами ~(с+а )К+и )~' ' ) (с+ь )К+ь )1' ' (412 а2 — ь2 ! ! Ь2 — а~ В сплюснутой сфероидальной системе фокусы координатных поверхностей (эллипсоидов и гиперболоидов) лежат на окружности радиуса ъ'а~ — св в плоскости ху (на рис. 8 АА' есть диаметр этой окружности). Проведем плоскость, проходящую через некоторую точку Р и ось ю Она пересечет фокальную окружность в двух точках; пусть т1 и тэ -- расстояния от этих точек до точки Р.

Если р, г координаты точки Р, то г1~ — — (р — ~Газ — сэ) + гэ, т22 — — (р+,Газ — сэ)2+ г2. Сфероидальные координаты с, ц выражаются через ты т2 по следующим формулам; с=(' ') — а, т)=(' ') — а~. (4.13) В вытянутой жс сфероидальной системе фокусами являются две точки х = х~/а~ — Ь2 на оси х (точки А, А' на рис. 9).

Если гы тэ расстояния от этих фокусов до точки Р, то т| — — р + (х — ~Га2 — Ь~), тэ — — р + (х + ~Га~ — Ь~), а сфероидальные координаты С, ~ выражаются через тм т2 по тем жс формулам (4.13) (с заменой т) на ~). Вернемся к задаче о поле заряженного зллипсоида, поверхность которого задана уравнением (4.3). В эллипсоидальных координатах зто координатная поверхность С = О. Поэтому ясно, что если искать потенциал поля в виде функции только от С, то автоматически будут зквипотснциальными все зллипсоидальные поверхности С = сопвь, в том числе поверхность проводника. Уравнение Лапласа (4.6) сводится тогда к уравнению откуда ~Ы) =А Верхний предел интегрирования выбрав таким образом, чтобы обеспечить исчезновение поля на бесконечности. Постоянную А проще всего определить из условия, что на больших расстояниях т поле должно стремиться к кулоновскому: у — е(г, где злектРОстАтикА пРОВОдникОВ ГЛ.

! С 2 / 444 (4.15) о Распределение плотности заряда по поверхности эллипсоида определяется нормальной производной потенциала 4к дп 4 4к 1,62 44/4 о 4лъЯ~ С помощью уравнений (4.4) легко убедиться в том, что при с = 0 х у — + — + — = а4 Ь4 с4 а2Ь2с2 Поэтому 2 — 2/2 =,', (*— ,+"— „+ — ',) . (4.10) Для двухосного эллипсоида интегралы (4.14) и (4.15) выражаются через элементарные функции. Для вытянутого эллипсоида (а > 6 = с) потенциал поля дается формулой е а — Ь у = АГЫ2 Г'г Ьг а его емкость С Г2:Ь' Атс12 (а/Ь) Для сплюснутого же зллипсоида (о = Ь > с) имеем е а' — с' АГаг — сг уг = агс484,, С = 24аг — сг у 4 + сг агссое (с/а) В частности, для круглого диска (о = 6, с = О) 2а (4.18) (4.19) (4.20) е -- полный заряд проводника.

Стремлению т-Эоо соответствует С вЂ” + Ос; при этом г — С, как зто следует из уравнения (4.1) с и = С. С другой стороны, для больших С имеем Л4 — С212 и 22 2А24Я = 2А(г. Отсюда имеем, что 2А = е, так что окончательно получим 2 44 (4 4) 4 Стоящий здесь интеграл — эллиптический первого рода. Поверхности проводника соответствует значение с = О, поэтому для емкости зллипсоида имеем гл. э злвктРОстлтикв пРОВОдникОВ Найдем вид потенциала у' на болыпих расстояниях т от зллипсоида. Большим т соответствуют большие значения координаты ~, причем т — ~, как зто следует непосредственно из уравнения (4.1). Позтому (в+ аэ)Л, / вв7э Згэ и для потенциала ~р' получаем ! ьа гэ 4ппм1 где Р' = 4пабс/3 — объем зллипсоида, а величина и и анало(е) гичные фигурирующие ниже величины п(п), п(') определяются формулами аьс 1 дв 2 ./ (в+ Ьэ)Н, О (з) аЬс / э(в 2 ,/ (в + аэ)эт, О (э) аЬс / дв 2 / (в + сэ)эт„ (4.25) 4э — Пэьсмь = ~эгп 1' (4.27) ) Эти же коэффициенты фигурируют в задачах о диэлектрическом эллипсоиде во внешнем электрическом поле или магнитном эллипсоиде в магнитном поле (3 8), Таблицы и графики этих коэффициентов для зллипсоидов вращения и для трехосных эллипсоидов можно найти в статьях: 31опет Е'.С.

!/ Р(э!!. Маб. 1945. Ч. Зб. Р. 803; ОАЬогп в'.А. О Рьув. Реч. 1945. Ъ', 57. Р. 351. О Выражение для 9э', как и должно быть, имеет вид потенциала поля электрического диполя: э' причем дипольныи момент зллипсоида Я,=С, м,. (4.26) Аналогичными выражениями определяются дипольные моменты при поле к., направленном вдоль оси у или з. Положительные постоянные п(*)., п("), п(') зависят только от формы зллипсоида, но нс от его объема; они называются козффициеиталэи деполяризации ). Если не предрешать выбор осей координат вдоль осей зллипсоида, то формулу (4.26) надо писать в тензорвом виде: 45 пговодящий эллипсоид Величины н1*), п1п), и(') являются главными значениями симметричного тензора второго ранга и;ы Сравнение с определением (2.13) показывает, что а,ь = п,.„1 у4х есть тензор поляризуемости проводящего эллипсоида.

В общем случае произвольных значений о, 6, с из определений и('), и("), н1') следует прежде всего, что и(*) < п1"1 < и('), если а > 6 > с. (4. 28) Далее, сложив интегралы п~т), п1"1, и(') и введя в качестве переменной интегрирования и = Л„найдем (я) + 1и1 + 1с) аЬс / ди 2 ./ извоз ' (вас)т откуда п~*) + п~я~ +п1'~ = 1. (4. 29) Сумма трех коэффициентов деполяризации равна единице (в тензорном виде это значит, что пн = 1). Поскольку, с другой стороны, эти коэффициенты положительны, каждый из них не может превышать единицы. Для шара (а = 6 = с) из соображений симметрии ясно, что п1*1 = п1") = и('~ = —.

3' (4.30) Для цилиндра (с осью вдоль оси х, а -+ оо) имеем ) п("1 = н~'1 = —. 2 п~*~ = О, (4. 31) п~') = 1. ()=п()=О, Эллиптические интегралы (4.25) выражаются через элементарныо функции для всех эллипсоидов вращения. Для вытянутого эллипсоида вращения (а > 6 = с) с эксцентриситетом е = = чз ь~~ 2 п(*1 = (АгЬп е — е), и(") = и('1 = — (1 — п1*)). (4.32) ез 2 ы ) Эти значения для п1ара и цилиндра находятся, разумеется, в соответствии с результатами, полученными в задачах 1 и 2 Ь 3. Предельному же случаю а, 6 — + оо (плоская пластинка) отвечают очевидные значения элнктРОстлтикА пРОВОдникОВ Гл. ! Если эллипсоид близок к шару (е «1), то приближенно и = — — — е, п =п = — + — е . (4.33) (х) 1 2 2 (у) (х) 1 1 2 3 15 3 15 Дли сплюснутого же эллипсоида (а = 5 ) с): п(') = (е — агс13е), п(х) = п(") = -(1 — п(')), (4.34) ез 2 и ° = г'7Р— 1.