VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 3

е. заряд на единице площади поверхности проводника. Таким образом, 16 элкктРОСТАтикл пРОВОдникОВ распределение зарядов по поверхности проводника дается фор- мулой 1 ар и = — Еп (1.9) 4я 4я дп (производная от потенциала берется в направлении внешней нор- мали и к поверхности). Полный заряд проводника (1.10) где интеграл берется по всей его поверхности. Распределение потенциала во всяком электростатическом по- ле обладает следующим замечательным свойством: функция ~р(х, у, л) может достигать максимального или минимального значения лишь на границах области поля.

Эту теорему можно сформулировать и как утверждение о невозможности устойчи- вого равновесия внесенного в поле пробного заряда е, так как нет такой точки, в которой бы его потенциальная энергия е(о имела минимум. Доказательство теоремы весьма просто. Допустим, например, что в некоторой точке А (не находящейся ва границе поля) по- тенциал имеет максимум. Тогда можно окружить точку А такой малой замкнутой поверхностью, на которой везде производная по нормали друдп ( О. Следовательно, и интеграл по этой по- верхности ~ — ф ( О. г1о в силу уравнения Лапласа (ду до — '"аУ= /'21 рЛ =О, дп в противоречии с предположением. й 2. Энергия электростатического поля проводников Вычислим полную энергию Ф электростатического поля заряженных проводников ); у= ~ ~ Еэдг (2.1) где интеграл берется по всему объему пространства вне проводников.

Преобразуем этот интеграл следующим образом: Ф = — — / Екгаг(~р~йУ = — — ~ с((у (соЕ) сй'+ — / езс((у Ед1г. 8п 8п 8п ') Квадрат Е не совпадает со средним квадратом ез истинного поля вблвзв поверхности проводника, а также в в объеме последнего (где Е = О, но, разумеется, ез ф 0). Вычисляя интеграл (2Л), мы тем самым отвлекаемся от не интересующей нас здесь внутренней знергвн проводника как такового н от знергвн сродства зарядов к его поверхностн. 17 ЭНВРГИЯ ЗЛВКТРОСТАТИЧВСКОГО ПОЛЯ ПРОВОДНИКОВ Второй интеграл обращается в нуль в силу (1.4), а первый преобразуется в интеграл по ограничивающим поле поверхностям проводников и по бесконечно удаленной поверхности.

Но последний интеграл обращается в нуль в силу достаточно быстрого убывания поля на бесконечности (предполагается, что произвольная постоянная в у выбрана таким образом, что 1о = О на бесконечности). Нумеруя проводники индексом а и обозначая постоянные значения потенциала вдоль каждого из них через р„получим ) 11 Наконец, вводя полные заряды проводников еа согласно (1.10), получим окончательно выражение 1 — ~ еа'Ра~ 2 а Еа ~~~ СаьУЬ ь (2.3) где величины С„, С ь имеют размерность длины и зависят от формы и взаимного расположения проводников. Величины С, называют коэффициент ми емхости, а величины Саь (а ф 6) коэффициентами электростатической индукции. В частности, если имеется всего один проводник, то е = Су, где С .-- емкость; порядок величины емкости совпадает с линейными размерами тела.

Обратные выражения для потенциалов через заряды: — 1 'Ра = р Саь еь' Ь (2.4) где коэффициенты С,ь составляют матрицу, обратную матрице — 1 коэффициентов Саь. ) При преобразовании объемного интеграла в поверхностный здесь и ниже надо иметь в виду, что Е есть составляющая поля по направлению нормали, внешней по отношению к проводнику; зто направление противоположно направлению нормали, внешней по отношению к области об ьемного интегрирования,т. е.пространства вне проводников. В связи с этим при преобразовании изменен знак интеграла. аналогичное выражению для энергии системы точечных зарядов.

Заряды и потенциалы проводников не могут быть заданы одновременно произвольным образом; между ними существует определенная связь. В силу линейности и однородности уравнений поля в пустоте эта связь тоже должна быть линейной, т, с. выражаться соотношениями вида 18 ЗЛВКТРОСТАТИКЛ ПРОВОДНИКОВ Гл. с отс' = — ~ ЕБЕсЛГ.

Это выражение можно преобразовать далее двумя зквивалент- ными способами. Подставив Е = — кгас1ср и имея в виду, что варьированное поле, как и исходнос, удовлетворяет уравнениям (1.4) (так что с11т бЕ = 0), пишем б~Р~ ~' атас1 со . БЕ сЛГ 4л = — — ~ с1п (ср бЕ) сЛс' = — ~~~ со, ~ б.Е„ф, а или окончательно бФ = Е д.бе., (2.5) а т. е. получаем изменение знергии, выраженное через изменения зарядов. Этот результат, впрочем, заранее очевиден как работа, которую необходимо произвести над бесконечно малыми зарядами беа, чтобы перенести их к заданным проводникам из бесконечности, где потенциал поля равен нулю.

С другой стороны, можно написать бФ = — — ~ Екгас1бусЛГ = 4л =-,— 1'™( ')"=Кс ' 1 '~ а или бФ = ~ еабСоа~ а т. е. изменение знергии выражено через изменения потенциалов проводников. Формулы (2.5), (2.6) показывают, что, дифференцируя знергию тс по величинам зарядов, мы получаем потенциалы проводников, а производные от Ф по потенциалам дают значения зарядов: (2.7) С другой стороны, потенциалы и заряды являются линейными функциями друг друга. С помощью (2.3) имеем д'У деь С Ьа~ дсо дЬов дсо Вычислим изменение знергии системы проводников при бесконечно малом изменении их зарядов или потенциалов. Варьируя исходное выражение (2.1), имеем энеРГия электРОстлтическОГО пОля пРОВОдникОВ а изменив порядок дифференцирования, мы получили бы С 6. Отсюда видно, что С 6 = С6 (2.8) (и, аналогично, С, = С, ).

Энергия Ф может быть представ— 1 — 1 лена в виде квадратичной формы потенциалов или зарядов: СаььЬга~Р6 = ~ С, 6 еаеь ° (2.9) а,6 а,6 Эта квадратичная форма, как и исходное выражение (2 . 1 ), должна быть существенно положительной. Из этого условия возникают определенные неравенства, которым удовлетворяют коэффициенты Саь. В частности, все коэффициенты емкости положительны: (2.10) С,>0 (а также и С,1 > О) ). Напротив, все коэффициенты электростатической индукции отрицательны: С6<0 (пф6). (2.11) Это обстоятельство очевидно уже из следующих простых соображений. Представим себе, что все проводники, за исключением лишь одного (а-го), заземлены, т.

е. их потенциалы равны нулю. Тогда заряд, индуцированный заряженным (а-м) проводником на каком-либо проводнике 6, равен еь = Сь,эг . Знак индуцированного заряда противоположен знаку индуцирующего потенциала, а потому С 6 < О. В этом можно убедиться, исходя из того, что потенциал электростатического поля не может достигать максимального и минимального значений вне проводников. Пусть, например, потенциал единственного незаземленного проводника эга > О. Тогда потенциал бУдет положителен и во всем пространстве, так чтобы его наименьшее значение (нуль) достигалось только на заземленных проводниках. Отсюда следует, что на поверхности последних нормальная производная потенциала д9г/дп будет положительной, а их заряд согласно (1.10) -- отрицательным.

С помощью аналогичных рассуждений можно убедиться в тОм,чтОС6 >О. Энергия электростатического поля проводников обладает свойством экстремальности, имеющим, правда, не столько физический, сколько формальный характер. Для вывода этого свойства представим себе, что распределение зарядов в проводни- ') Укажем также, что среди условий положительности формы (2.9) фигурируют и веравенства г СР.Сьь > С.ь. 20 ГЛ. ! ЗЛВКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ ках подвергается бесконечно малому изменению (при неизменном полном заряде каждого проводника), в результате которого заряды могут попасть и внутрь проводников; при атом мы отвлекаемся от того, что в действительности такое распределение зарядов не может быть стационарным.

Рассмотрим соответствующее изменение интеграла 1 Г который надо представлять себе теперь распространенным по всему пространству, включая объем самих проводников (так как после смещения зарядов поле Е будет, вообще говоря, отличным от нуля и внутри проводников). Пишем бФ = — — / 8габу дЕ1АГ' = 4к 1 — — йн (1р БЕ) Л' + — ~ 1д йу БЕ дК Первый интеграл, будучи преобразован в интеграл по бесконечно удаленной поверхности, исчезает.

Во втором в силу уравнения (1.8) имеем дГРР бЕ = 4пдр, так что Но зтот интеграл обращается в нуль, если 1р соответствует истинному злектростатнческому полю: в зтом случае внутри каждого проводника 1р = сонями, а интегралы ) бр ГПГ по их объемам равны нулю, поскольку полные заряды проводников остаются неизменными. Таким образом, знергия истинного злектростатического поля минимальна1) по сравнению с знергией полей, которые были бы созданы всяким другим распределением зарядов по объему проводников 1 тпеорема Томсона).

Из атой теоремы вытекает, в частности, такое следствие: введение незаряженного проводника в поле заданных зарядов (заряженных проводников) уменьшает полную знергию поля. Для того чтобы убедиться в зтом, достаточно сравнить знергию истинного поля, которое установится после введения проводника, с знсргисй фиктивного поля, соответствующего отсутствию индуцированных зарядов на введенном проводнике. Первая, будучи минимально возможной, меньше второй, которая в то же время совпадает с знергией первоначального поля (так как при отсутствии индуцированвых зарядов поле «прониклоа бы внутрь 11 ) Мы не будем приводить здесь простых рассуждений, показывающих, что речь идет именно о минимуме, а не об зкстремуме вообще.

21 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПРОВОДНИКОВ ТГ' = — -Ъ'ГТ,Ь~Г~Ы 1 2 (2.14) проводника, не изменившись). Этот результат можно сформулировать и другим образом: незаряженный проводник, расположенный вдали от системы заданных зарядов, притягивается к ним. Наконец, можно показать, что проводник (заряженный или незаряженный), внесенный в электростатическое поле, вообще не может находиться в устойчивом равновесии под влиянием одних только электрических сил. Это утверждение обобщает указанную в конце предыдущего параграфа аналогичную теорему для точечного заряда и может быть получено путем совместного применения последней и теоремы Томсона; мы не станем приводить здесь соответствующих рассуждений. Формула (2.9) удобна для вычисления энергии системы проводников, находящихся на конечных расстояниях друг от друга.

Особого рассмотрения, однако, требует энергия незаряженного проводника, находящегося в однородном внешнем поле к., которое можно представлять себе созданным зарядами, находящимися на бесконечности. Согласно (2.2) зта энергия равна '1т = еу/2, где е — удаленный заряд, создающий поле, а у — потенциал поля, создаваемого рассматриваемым проводником в точке нахождения заряда е (из Ф исключена энергия заряда е в его собственном поле, как не имеющая отношения к интересующей нас энергии проводника).