VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Заряд проводника равен нулю, но под влиянием внешнего поля проводник приобретает дипольный электрический момент, который мы обозначим через,У. Потенциал поля электрического диполя на большом расстоянии г от него есть,как известно, ~р = Уг(г~. Поэтому Ф = — ',Уг. 2ГЗ Но — ег~г является в то же время напряженностью к. поля, сов здавасмого зарядом е. Таким образом, Ф = — -,УС.
(2.12) 2 В силу линейности всех уравнений поля очевидно, что компоненты дипольного момента .У являются линейными функциями компонент напряженности к.. Коэффициенты пропорциональности между У и к. имеют размерность куба длины и поэтому пропорциональны объему проводника: ,У; = ~'Гт,ъСы (2.13) где коэффициенты Гт;ъ зависят только от формы тела. Совокупность величин Р'Гтъ составляет тензор поллризуемости тела. Этот тснзор симметричен; а,ъ = аы (доказательство этого утверждения дано в з 11). Соответственно, энергия (2.12) представится в виде 22 ЗЛККТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ Гл. ! Задачи 1.
Выразить взаимную емкость С системы из двух проводников (с зарядами ше) через коэффициенты С,ь. Р с ш е н и е. Взаимная емкость двух проводников определяется как коэффициент в соотношении е = С(ьгг — эгг), а энергия системы выражается через С через а' = е~/2С. Сравнив с (2.9), получим -г -г -г Сы + 2Сгг + Сгг С С„С„вЂ” Сг гг 2. Точечный заряд е расположен в точке О вблизи системы заземленных проводников и индуцирует на них заряды е . Если бы заряд е отсутствовал, а один из проводников (а-й) имел потенциал ~' (остальные по-прсжнему заземлены), то потенциал поля в точке О был бы Ьгс~. Выразить заряды е через Ьг', и ьго.
Р е ш е н и е. Если заряды еь на проводниках сообщают им потенциалы д, а заряды е' — потенциалы Ьгю то из (2.3) следует, что ,ь Применим это соотношение к двум состояниям системы., составленной из всех проводников и точечного заряда е (рассматривая последний как предельный случай проводника малого размера). В одном состоянии имеется заряд е, проводники имеют заряды е, и потенциалы ьг = О. В другом состоянии заряд е = О, а один из проводников имеет потенциал у~, ~ О. Тогда получим еьгс + е ьг = О, откуда еЬгс е ьа Так, если заряд е находится на расстоянии т от центра заземленного про- водящего шара радиуса а (т > а), то |до~ — — ьг~ а(т и заряд, индуцированный на шаре, еа е т В качестве другого примера рассмотрим заряд е, находящийся между двумя заземленными концентрическими сферами радиусов а и Ь на расстоя- нии т от центра (а ( т ( 6). Если наружная сфера заземлена, а внутренняя заряжена до потенциала сь„то потенциал на расстоянии т равен , 1|т — 1/Ь 1/а — 1/Ь Поэтому заряд,индуцированный на внутренней сфере зарядом е, равен а(6 — т) е = — е т(Ь вЂ” а) Аналогично, заряд, индуцированный на внешней сфере, 6(т — а) еь = — е т(Ь вЂ” а) 3.
Два проводника с емкостями Сг и Сг помещены на расстоянии т друг от друга, большом по сравнению с их собственными размерами. Определить коэффициенты С ь. 23 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Р е ш е н и е. Если проводник 1 несет заряд ем а проводник Я нс заряжен, то в первом приближении эн = е1/С, дя = е1(г; при этом мы пренебрегаем изменением пш|я вдоль проводника 2 и его поляризацией. Таким образом, С,1 = 1/Сы С ' = 1(г и, аналогично, С ' = 1/См Отсюда находим для коэффициентов С„в ): С„=С,(1-~ ',')., С„=- ' '., С„=С,(1ч- 4. Определить емкость С кольца из тонкого провода кругового сечения (радиус кольца Ь, радиус сечения провода а; Ь » а), Р е ш е н и е.
Ввиду тонкости кольца полевблизи его поверхности совпадает с полем, которое создавалось бы тем же зарядом, распределенным по осевой линии кольца (зто было бы точным для прямого цилиндра). Поэтому потенциал самого кольца где г — расстояние от данной точки поверхности кольца до элемента ой его осевой линии, по которой производится интегрирование. Разобьем интеграл на две части по областям г < Ах и г > сх, где Ах некоторое расстояние, такое, что а (( й (( Ь.
Хогда при г < ГА можно считать участок кольца прямым и потому а> -л В области же т > Ь можно пренебречь толщиной провода, т. е. считать г просто расстоянием между двумя точками осевой линии кольца. Гегда >а та где р — центральный угол, на который опирается хорда г, а нижний предел интегрирования определяется из 2ЬЗ1п (~рс/2) = й, откуда Рс Ь/Ь. При сложении обеих частей интеграла величина й выпадает, и окончательно получаем для емкости кольца С = е/Р следующее выражение; х6 !и (86/а) 8 3.
Методы решения злектростатических задач Общие методы решения уравнения Лапласа при заданных граничных условиях на тех или иных поверхностях изучаются в соответствующем разделе математической физики, и полное их изложение не является нашей целью. Мы ограничимся здесь ') Следующие члены разложения имеют в общем случае порядок (по 1Я на 1 более высокий, чем выписанные. Если, однако, отсчитывать г как расстояние между кцентрами зарядов» обоих тел (для сфер — между их геометричесхими центрами), то порядок следующих членов будет выше на 2. электРОстлтика пРОВОдникОВ лишь указанием некоторых более простых приемов и решением ряда типичных задач, имеющих самостоятельный интерес ).
Метод изображений. Определение поля, создаваемого точечным зарядом е, расположенным вне проводящей среды, заполняющей полупространство, является простейшим примером применения так называемого метода изображений. Идея этого метода состоит в подборе таких дополнительных фиктивных точечных зарядов, которые вместе с данными зарядами создавали бы поле, для которого поверхность заданного проводника совпадала бы с одной из эквипотенциальных поверхностей поля. В данном случае это достигается введением фиктивного заряда е' = — е, расположенного в точке, представляющей собой зеркальное отражение точки е в граничной плоскости проводящей среды.
Потенциал поля заряда е и его «изображения» е' равен уг = е ( — — — ), (3.1) дуг е а гг = — —— 4х дп, 2х гг (3.2) где а расстояние от заряда до плоскости. Легко убедиться в том, что полный заряд на этой плоскости равен ~ стг41 = — е, как и должно быть. Общий заряд, индуцированный посторонними зарядами на первоначально не заряженном изолированном проводнике, разумеется, остается равным нулю.
Поэтому, если в данном случае проводящая среда 1в действительности проводник болыпих размеров) изолирована, то надо представлять себе, что одновременно с зарядом — е индуцируется заряд +е, который, однако, Решение значительного числа более сложных задач можно найти в книгах; Смаат В. Электростатика и злектродинвмика. — М.. ИЛ, 1954. Ятуйе Иг.11.
Бсанс апг1 бунаппс с1есснсйу. — 14. г'.: М«Сгавг-Н111, 1950); ринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. — Мл Изд. АН СССР, 1948. где т и т' . расстояния точки наблюдения от зарядов е и е'. На граничной плоскости т = т и потенциал имеет постоянное значение ~р = О, так что необходимое граничное условие действительно выполняется и (3.1) дает решение поставленной задачи. Отметим, что заряд е притягивается к проводнику с силой ез/(2а)9 (сила изображен я), а энергия взаимодействия равна — езД4а). Распределение на граничной плоскости поверхностных зарядов, индуцированных точечным зарядом е, дается формулой 25 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ будучи распределен по поверхности большого тела, имеет исчезающую плотность.
Далее, рассмотрим более сложную задачу о поле, создаваемом точечным зарядом е, .находящимся вблизи шарового проводника. Для решения этой задачи воспользуемся следующим результатом, который легко проверить непосредственными вычислениями. Потенциал поля, создаваемого двумя точечными зарядами е и — е', е е 9г =— г г' обращается в нуль на сферической поверхности радиуса Л, центр которой лежит на продолжении прямой, соединяющей точки е и е', на расстоянии 1 и 1' от этих точек, причем 1, 1', В удовлетворяют равенствам ф' = (е/е'), В = Л'.
Предположим сначала, что шаровой проводник поддерживается при постоянном потенциале (е = О (шар зазсмлен). Тогда поле, создаваемое вне шара точечным зарядом е, находящимся на расстоянии 1 от центра шара (в точке А на рис. 1), .будет совпадать с полем, создаваемым системой двух зарядов данным зарядом е и фиктивным зарядом — е', помещенным внутри шара (точка А') на расстоянии 1 от его центра, причем (3.3) Потенциал этого поля Ф =— (ЗА) (см. рис. 1). На поверхности шара индуцируется при этом отличный от нуля полный заряд, равный — е'.
Энергия взаимодействия заряда с шаром равна е е е у = — — —, + —. г' ге (3.6) ее еЛ 2(1 — й) 2(1г — Вг) (3.5) и заряд притягивается к шару с силой ДУ ег1гг ,ч( ((г Лг) г Если жс проводящая сфера поддерживается при равном нулю полном заряде (изолированный незаряженный шар), то надо ввести еще один фиктивный заряд таким образом, чтобы полный индуцированный на поверхности шара заряд оказался равным нулю, причем не должно нарушаться постоянство потенциала на этой поверхности. Это достигается помещением заряда +е в центр шара.
Потенциал искомого поля определится тогда фор- мулой 26 ВЛВКТРОСТАТИКЛ ПРОВОДНИКОВ ГЛ. ! Энергия взаимодействия в ятом случае будет ее 11 1 Г еК 2 ~,1 1 — Р/ 21е(1е — Ке) т (3.7) к Наконец, если заряд е находится в сферической полости в проводящей среде (в точке А', рис. 1), то оп=1 поле внутри полости совпадает с поол'=г лем, которое создавалось бы зарядом е и его «изображением» в точРис. 1 ке А вне сферы (независимо от того, заземлен проводник или изолирован): У=— е еК (3.8) т' Рт Метод инверсии. Существует простой метод, который в ряде случаев позволяет по известному реГпению одной злектростатической задачи находить решение другой задачи. Основанием зтого метода является инвариантность уравнения Лапласа по отношении к определенному преобразованию переменных.
В сферических координатах уравнение Лапласа имеет вид 1 д I 2д~Р1 1 — — 1т — ) + — Ьп~р = О, те дт ( дт) где посредством Ьп обозначена угловая часть оператора Лапласа. Легко убедиться в том, что зто уравнение сохраняет свою форму, если вместо переменной т ввести новую переменную т' согласно к~ т=— (3.9) (преобразование инверсии) и одновременно заменить неизвестную функцию ~п согласно т / Ф= — Ф к (3.10) Здесь Л некоторая постоянная с размерностью длины (радиус инверсии). Таким образом, если функция у(г) удовлетворяет уравнению Лапласа, то функция у'(г') = — у ( — г') (3.11) тоже есть решение зтого уравнения. Предположим, что нам известно решение задачи об злектростатическом поле, создаваемом некоторой системой проводников, которые находятся при одном и том же потенциале уе, и системой точечных зарядов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
