VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 5

Потенциал у(г) обычно определяют так, чтобы он обращался в нуль на бесконечности. Здесь, однако, мы МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРООТЛТИЧИОКИХ ЗАДАЧ 27 определим у(г) так, чтобы на бесконечности эта функция стремилась к — уо; тогда па проводниках од = О. Выясним теперь, какая электростатическая задача будет решаться преобразованной функцией (3.11). Прежде всего, меняются фигуры всех протяженных проводников и их взаимное расположение. Граничное условие постоянства потенциала на поверхности проводников автоматически выполняется, так как при од = О будет и 1а' = О.

Далее, меняются расположение и величины всех точечных зарядов. Заряд, находящийся в точке ге, переходит в точку го — — (Л~/то~)гс и приобретает величину е', которую можно определить следующим образом. При г -+ го потенциал ~р(г) обращается в бесконечность по закону оо = е/~дг~, где аг = г — гс. С другой стороны, дифференцируя соотношение г = (Л2/т'2)г', найдем, что абсолютные значения малых разностей бг и дг' = г' — го связаны друг с другом соотношением (бг) = —, (бг') 2. о Поэтому при г' — т г~ функция оо' стремится к бесконечности по закону ото то (бг( В(дг'!' соответствующему заряду о (3.12) Л то Наконец, рассмотрим поведение функции р'(г') вблизи начала координат.

Точке г' = О соответствует г — ~ Оо. Но при г -+ со функция 1а(г) стремится к — уо. Поэтому при г' — + О функция ор' обращается в бесконечность по закону о 11Фо т' Это значит, что в точке т' = О находится заряд ео = — Лоос. Укажем, как преобразуются при инверсии некоторые геометрические фигуры. Сферическая поверхность радиуса а с центром в точке го дается уравнением (г — го) = а . Произведя инверсию, получим уравнение 11о 2 ( — г' — гр) = а, которос после умножения на т' и перегруппировки членов может быть приведено к виду (г' — г~)з = а'~, где дого о а но (3.13) ао — тоо ' ~ао — тоо~' 28 ГЛ. ! ЗЛВКТРОСТАТИКЛ ПРОВОДНИКОВ Таким образом, мы снова получаем сферу другого радиуса а' и с центром в точке го.

Если первоначальная сфера проходила чеРез начало кооРДинат (а = то), то и' = ОО; в зтом слУчае сфеРа преобразуется в плоскость, перпендикулярную к направлению ге и проходящую на расстоянии ~г ~г те — и = а-~то 2а от начала координат. Метод конформного отображения. Поле, зависящее только от двух декартовых координат (х, у), называют плоским.

Мощным средством для решения плоских задач злектростатики является теория функций комплексного переменного. Основания для применения втой теории заключаются в следующем. Электростатическое поле в пустоте удовлетворяет двум уравнениям: го1 Е = 0 и йу Е = О.

Первое из них позволяет ввести потенциал поля согласно Е = — ягайло. Второе же уравнение показывает, что наряду с ~р можно ввести также и «векторный потенциалу поля А согласно Е= го1А. В плоском случае вектор Е лежит в плоскости ху и зависит только от зтих двух координат. Соответственно, вектор А можно выбрать так, чтобы он был везде направлен перпендикулярно к плоскости ху. Тогда компоненты напряженности выражаются в виде производных от ~р или А согласно дх ду " ду дх Но такие соотношения между производными функций у и А с математической точки зрения совпадают с известными условиями Коши — Римана, выражающими тот факт, что комплексное выражение (3.15) является аналитической функцией комплексного аргумента г = = х + гу.

Это значит, что функция ю(х) имеет в каждой точке определенную производную, не зависящую от направления, в котором она берется. Так, дифференцируя в направлении оси х, найдем, что дм ди .дА — = — — г —, д* д*' или (3.16) — = — Ех + 2 Еу. Функция ш называется комплексным потенциалом. Силовые линии поля определяются уравнением 29 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Выражая Е и Еу через производные от А, перепишем это уравнение в виде с1х — + ду — = дА = О, дх ду откуда А(х, у) = сонэк. Таким образом, линии постоянных значений мнимой части функции ш(е) представляют собой силовые линии поля.

Линии же постоянных значений ее вещественной части являются эквипотенциальными линиями. Взаимная ортогональность этих двух семейств линий обеспечивается уже исходными соотношениями (3.14), согласно которым дх дх ду ду Как вещественная, так и мнимая части аналитической функции в(х) в равной степени удовлетворяют уравнению Лапласа.

Поэтому с тем же успехом можно принять 1ш ю в качостве потенциала поля. Соответственно силовые линии будут тогда даваться уравнениями Ве и = сонэк. Вместо (3.15) будем при этом иметь ш = А+гав. Поток напряженности электрического поля через какой-либо отрезок эквипотенциальной линии дается интегралом где Й есть элемент эквипотенциальной линии, а и —. направление нормали к ней. Согласно соотношениям (3.14) имеем доз/дп = — дА/д1, причем выбор знака предполагает, что если смотреть в направлении п, то положительное направление 1 .—. влево.

Поэтому 1з„ю= ~ — А=А — А, где Аз и А1 значения А на обоих концах отрезка. В частности, поток электрического поля через замкнутый контур равен 4хе, где е -. полный заряд, охватываемый этим контуром (отнесенный к единице длины проводников вдоль оси х). Поэтому е = — ЬА, (3.17) 4Х где ЬА изменение А при обходе замкнутой эквипотенциальной линии в направлении против часовой стрелки. Простейшим примером комплексного потенциала является потенциал поля заряженной прямой нити (совпадатощей с осью х). Напряженность этого поля дается формулами Е,= — ', Ее=О, нлвктРООГАтикА пРОВОдникОВ ГЛ. ! (3.18) и = — 2е1пх = — 2е1пт — 2гед. Если же заряженная нить проходит не через начало координат, а через точку (хо, уо), то комплексный потенциал и = — 2е1п (г — хо),.

(3.19) гДе Во = хо+ гУо. С математической точки зрения функциональное соотношение и = и(х) осуществляет конформное отобраэкение плоскости комплексного переменного х на плоскость комплексного переменного и. Пусть С есть контур сечения проводника в плоскости ху, а ~ро — потенциал зтого проводника. Из всего сказанного выше ясно, что задача об определении поля, создаваемого зтим провсдникОм, СвОдитСя к нахОждсниЮ такОй функции И(В), кОтОрая отображала бы контур С в плоскости В на линию и = ~ос, параллельную оси ординат в плоскости и; тогда вещественная часть Асс и даст потенциал рассматриваемого поля (если же функция и(х) отображает контур С на линию, параллельную оси абсцисс, то потенциал дается функцией 1ш и).

Задача о клине. Приведем здесь для справок формулы, определяющие поле, создаваемое точечным зарядом е, расположенным в пространстве между двумя пересекающимися проводящими полуплоскостями. Пусть ось г цилиндрической системы координат т, д, В совпадает с линией края угла, причем угол д отсчитывается от одной из его сторон; заряд е пусть находится в точке а, т, 0 (рис.

2). Угол раствора о между плоскостями моРис, 2 жет быть как меньше, так и больше л: в последнем случае мы имеем дело с зарядом, расположенным вне проводящего клина. Потенциал поля дается формулой ВП ( — ) лС л( — 7) СЛ вЂ” — СОВ л~ л(В+ у) х ~, (3.20) ,ЛГ=В ' С Г)= а +Г +с Г) > 2ат где т, д —.. полярные координаты в плоскости ху, а е -. заряд единицы длины нити. Соответствующий комплексный потенциал 31 мктоды Рвшвния злактРсстатичнскнх зАдАч 9 — у 9+ 7 соя )г соз — агссоя — — — агссов 2 2 е ЭЗ ~о=2х = (3.21) Л = (а + т + з — 2атсов(7 — д)] 7~, Л' = (а + т2 + Бй — 2ат соа ( 7 + д)11(~. В пределе, когда точка наблюдения поля стремится к точке нахождения заряда е, потенциал (3.21) принимает вид р= — '+9', 9'= — — ' 1+ — ' (3.22) Н 2яо1 яшу/ Первый член есть чисто кулоновский потенциал, обращающийся в бесконечность при Л вЂ” + О, а р' изменение потенциала в точке нахождения заряда под влиянием проводника.

Энергия взаимодействия заряда с проводящей полуплоскостью есть еу е +х — т (3.23) Задачи 1. Определить поле вокруг проводящего незаряженного шара (радяуса Н), находящегося во внешнем однородном злектряческом поле ~Е. Р с ш е н я е. Пишем потенциал в виде 1э = 1са-1-1см где 1се = — ~бг потенцяал внешнего поля, а м1 — искомое изменение потенциала, вызываемое шаром. Ввиду симметрии шара функция ы1 может зависеть лишь от одного постоянного вектора е..

Единственное такое решение уравнения Лапласа, обращающееся в нуль на бесконечности, есть Кг у1 = — сопяс ю17 — = сопя1 тя (начало координат выбираем в центре шара). На поверхности шара Ээ должно быть постоянным; отсюда находим сопяс = НЯ, так что Нзх у = — ет соя 9 (1 — — ) ) Вывод этой формулы можно найти в книгах: Ватагин В.В., Топтпыгин И.Н. Сборник задач по злектродннамнке. — Мс Наука, 1970 (задачн 200, 206)1 МасаопаЫ Н.М.