VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 10

е. и„= О. Поэтому упругую энергию можно написать в виде Ъ' Ъ' -л „р — — — и,ьи,ь = — (гг„— гг„„)(и„— и„, ), 2 3 ') В задачах 2 и 3 предполагается, что оба полушария находятся при одинаковом потенциале, 5'? СИЛЫ, ДВЙСТВУЮЩИР~ НА ПРОВОДНИК где щь тензор упругих напряжений (см. т1п, з 4). имеем гг„— гг„„= 2Р(и„— и„„), где Р— модуль сдвига вещества, а ит, — и„т — — (а — 6)гИ. 1Тозтому 2Р(а — 6) 8И2 Минимизируя сумму хтт„р + аг„по а — Ь, получим а — Ь 9 И 402гд 5. Найти связь между частотой и длиной волны, распространяющейся по заряженной плоской поверхности жидкого проводника (в поле тяжести).

Получить условие устойчивости атой поверхности (Я.И. Френкель, 1935), Р е ш с н и е. Пусть волна распространяется вдоль оси з, ось 2 направлена вертикально вверх. Вертикальное смещение точек понерхности жидкости С' = аехр ~2(кя — ьгс)). При неподвижной поверхности напряженность поля над ней Е, = Е = 4хпс; а его потенциал р = — 4хпоз, где по — поверхностная плотность зарядов.

Потенциал поля над колеблющейся поверхностью пишем в виде гр = — 4хпсз+ ггт, 222 = сопзс е ~ е гь* — 21 — ь где 222 — малая поправка, удовлетворяющая уравнению 2.'ггрг = О и обращающаяся в нуль при 2 -2 сс. Вдоль самой поверхности проводника потенциал должен иметь постоянное значение, которое принимаем за нуль; отсюда 222 ~*=о = 4тптсф Согласно (5.1) на заряженную поверхность жидкости действует дополнительное отрицательное давление, равное, с точностью до членов первого порядка по грг, Е Е, г 2 2 — — 22ггто + Ьпегрг = 2тпто + 4хпо6~. 8х 8х =с Постоянный член 2хпе несуществен (его можно включить в постоянное г внешнее давление). Рассмотрение гидродинамического движения в волне вполне аналогично теории капиллярных волн (см.

Ъ'1, з 62), отличаясь лишь наличием указанного выше дополнительного давления. На поверхности жидкости получаем граничное условие дФ) дтс Р8(+ Р— — и — 4хпой~ = О дс~,, д' где и — козффициент поверхностного натяжения р плотность жидкости а Ф вЂ” потенциал се скорости; Ф и г," связаны друг с другом еще и соотношением д6 дФ =с Подставив в зги два соотношения Ф= А Ц"* ~,=ае*, = е* е злектРОстлтикА пРОВОдникОВ Гл. ! (Ф удовлетворяет уравнению ььФ = 0) и исключив а и А, получим искомую связь между й и ьл ы = -(8Р— 4 ей+ ай ). 2 2 2 (1) Р Для того чтобы поверхность жидкости была устойчивой, частота аь должна быть вещественной при всех значениях й (в противном случае будут существовать комплексные аг с положительной мнимой частью и множитель е ' ' будет неограниченно возрастать). Условие положительности правой части Равенства (1) гласит: (4хпсг) — 48РО < О, откУда ь бра пс < 4,2' Это и есть условие устойчивости.

6. Найти условие устойчивости заряженной сферической капли (11ау1егйй, 1882). Р с ш с н и с. Сумма электростатической и поверхностной энергии капли е Я' = — +ОБ, 2С где Π— коэффициент поверхностного натяжения жидкости, С емкость капли, Я площадь ее поверхности. Неустойчивость возникает (при увеличении е) по отношению к вытягиванию шара в эллипсоид и определяется моментом, когда и становится убывающей функцией эксцентриситета (при заданном объеме капли). Шарообразная форма всегда соответствует экстремуму и'; поэтому условие устойчивости гласит: а'~ >О, д(а — Ь)г,,ь где а, .Ь полуоси эллипсоида, а дифференцирование производится при аЬ = сопэы Воспользовавшись известной формулой для поверхности зллипсоида и формулой (4.18) для его емкости, получим после довольно длинного вычисления е < 16яа~а.

Это условие обеспечивает устойчивость капли относительно малых деформаций. Оно оказывается бшьее слабым, чем условие устойчивости относительно больпюй деформации — деления на две одинаковые части (капли с зарядами еьь2 и радиусами а/2'~~): 2 2'12 — 1 2 е < 16ха а = 0,35 16ха О. 2 — 2'Л ГЛАВА П ЗЛЕКТРОСТАТИКА ДИЗЛЕКТРИКОВ $ 6. Злектростатическое поле в диэлектриках Перейдем теперь к изучению постоянного электрического поля в другой категории материальных сред — в диэлектриках.

Основное свойство диэлектриков заключается в невозможности протекания в них 1юстоянного тока. Поэтому, в отличие от проводников, напряженность постоянного электрического поля в диэлектриках отнюдь не должна быть равной нулю, и мы должны получить уравнения, которыми зто поле описывается. Одно из них получается путем усреднения уравнения (1.3) и по- прежнему гласит: го1Е = О. (6.1) Второе же получается усреднением уравнения йч е = 4хр: йг Е = 4хр. (6.2) Предположим, что внутрь вещества диэлектрика не внесено извне никаких посторонних зарядов; это есть наиболее обычный и важный случай. Тогда полный заряд во всем объеме диэлектрика остается равным нулю и после внесения его в электрическое поле: Это интегральное соотношение, которое должно выполняться для тела любой формы, означает, что средняя плотность зарядов может быть написана в виде дивергенции некоторого вектора, который принято обозначать как — Р: р = — ЖАР, (6.3) причем вне тела Р = О.

Действительно, интегрируя по объему, ограниченному поверхностью, охватывающей тело и проходящей везде вне его, получим ~ р сЛ~ = — ( йк Р Л' = — ф Р дГ = О. Величина Р называется вектором диэлектрической поллризации (или просто поляризации) тела; диэлектрик, в котором Р отлично от нуля называют по лризоеонным. Наряду с объемной плотностью (6.3~, вектор Р определяет также и поверхностную плотность о зарядов, распределенных по поверхности поляризованного диэлектрика.

Если проинтегрировать формулу (6.3) по 60 гл. и элкктгостлтикл диэлектгнков элементу объема, заключенному между двумя бесконечно близкими единичными площадками, примыкающими с обеих сторон к поверхности диэлектрика, и учесть, что на наружной площадке Р = О, то мы получим (ср. вывод формулы (1.9)): (6.4) и = Р„, где Р„составляющая вектора Р по внешней нормали к поверхности. Для выяснения физического смысла самой величины Р рассмотрим полный дипольный момент всех внутренних зарядов в диэлектрике; в отличие от полного заряда, зта величина не должна быть равной нулю.

По определению дипольного момента зто есть интеграл У ГРИГ Подставив р в виде (6.3) и снова интегрируя по объему, выходя- щему за пределы тела, получим ~ трддф' = — / гйуРсЛ1 = — ~ г(ЖР) + ~ (Р'У)ггйг. Интеграл по поверхности исчезает, а во втором имеем (Р~7)г = = Р, так что ~ гро"к' = )' Ргйг. (6.5) Таким образом, вектор поляризации представляет собой дипольный момент (или, как говорят, электрический момент) единицы объема диэлектрика г). Подставив (6.3) в (6.2), гтолучим второе уравнение электростатического поля в виде (6.6) ЙуВ=О, где введена новая величина В, определяемая как (6.7) В = Е+4хР и называемая электрической индухцией Ураввение (6.6) было получено путем усреднения плотности зарядов, входящих в состав диэлектрика. Если же в диэлектрик внесены извне посторонние по отношению к его веществу заряды (мы будем называть их ') Следует заметить, что соотношение (б.з) янутри диэлектрика и условие Р = 0 вне его сами по себе еще не определяют величину Р однозначным образом; в области внутри диэлектрика можно прибавить к Р любой вектор вида госб Лишь установление связи с дипольным моментом окончательно определяет Р.

61 диэлектРическья ЦРоницлемссть сторонними), то к правой части уравнения (6.6) должна быть добавлена их плотность: (6.8) с11РП = 4яр„. На поверхности раздела двух различных диэлектриков должны выполняться определенные граничные условия. Одно из этих уиювий является следствием уравнения го1 Е = О. Если поверхность раздела однородна по своим физическим свойствам ), то зто условие требует непрерывности тангенциальной составляющей напряженности поля: (6.9) Еи = Есз (ср.

вывод условия (1.7)). Второе же условие следует из уравнения с11н О = О и требует непрерывности нормальной к поверхности составляющей индукции; Рп1 = Роз ° (6.10) Действительно, скачок нормальной составляющей Р„= Р, означал бы обращение производной дР,/де (а с нею и с11т О) в бесконечность.