VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 9

Именно, сила, действующая на проводник вдоль координатной оси д, есть — дФ/дд, где под производной надо понимать изменение энергии при параллельном смещении данного тела как целого вдоль оси д. При этом энергия должна быть выражена через заряды проводников (источников поля), и дифференцирование производится при постоянных зарядах. Отмечая зто обстоятельство индексом е, напишем (а~ ) (5.3) Аналогично, проекция на какую-либо ось полного действующего на проводник момента сил равна (ае) (5.4) где Г)~ угол поворота тела как целого вокруг данной оси.

Если же энергия выражена как функция потенциалов, а не зарядов проводников, то вопрос о вычислении с ее Гюмощью сил требует особого рассмотрения. Дело в том, что для поддержания у проводника (при его перемещении) постоянного потенциала необходимо прибегнуть к помощи посторонних тел. Можно, ) В данном случае мы применяем зту формулу к поверхности, не совпадающей буквально с поверхностью тела, а несколько смещенной относительно нее,чтобы исключить влияние структуры поля вблизи поверхности тела (ср, с, 15). на площади поверхности.

Учитывая, что у поверхности металла напряженность Е имеет только нормальную составляющую, получим (5.1) силы, двйствкю|пии на пговодник например, поддерживать постоянный потенциал проводника путем соединения его с другим проводником, обладающим очень болыпой емкостью («резервуар зарядовв).

Заряжаясь зарядом еа, проводник отнимает его из резервуара, потенциал ~ра которого при этом не меняется ввиду его болыпой емкости. Меняется, однако, энергия резервуара, уменьшаясь на е у . При заряжении всей системы проводников зарядами е энергия соединенных с ними резервуаров изменится в сумме ва — 2,е у . В величину же 4' входит только энергия рассматриваемых проводников, но не энергия резервуаров. В этом смысле можно сказать, что Ф относится к энергетически незамкнутой системе. Таким образом, для системы проводников, потенциалы которых поддерживаются постоянными, роль механической энергии играет не Ф, а величина Ф =Ф вЂ” ~ е,~р,. (5 5) а Подставив сюда (2.2), находим, что Ф и Ф отличаются только знаком; Р = — Ф.

(5.6) Сила Гд получается дифференцированием ~Р~ по и при постоян- ных потенциалах, т. е. а+ зй (5.7) Таким образом, действующие на проводник силы можно получить дифференцированием Ф как при постоянных зарядах, так и при постоянных потенциалах, с той лишь разницей, что производную надо брать в первом случае со знаком минус, а во втором со знаком плюс. Этот же результат можно было бы получить и более формальным путем, исходя из дифференциального тождества и' Ф = ~ ~р, де, — гч Й1, (5.8) а в котором Ф рассматривается как функция зарядов проводников и координаты д; этим тождеством выражается тот факт, что производныс равны дФ/де, = у, дФ/дд = — Р~. Переходя к переменным ~о вместо е, получим отсюда дФ = — ~~> е Йр, — Равд, (5.9) а откуда и следует (5.7).

В конце ~ 2 была рассмотрена энергия проводника во внешнем однородном электрическом поле. Полная сила, действующая на ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ ГЛ. ! незаряженный проводник в однородном поле., равна, разумеется, нулю. Но выражением энергии (2.14) можно воспользоваться для определения силы, действующей на проводник в квазиоднородном поле С, т. е. в поле, мало меняющемся на протяжении размеров тела. В таком поле в первом приближении все еще можно вычислить энергию по формуле (2.14), а сила Е определится как градиент этой энергии: Р = — кгас1 Ф = -ГГъИ йгаГ1 И.ГС.ь. 1 2 (5.10) Что же касается полного момента сил К, то он, вообще говоря, отличен от нуля уже и в однородном внешнем поле.

По общим правилам механики К можно определить, рассматривая бесконечно малый виртуальный поворот тела; изменение энергии при таком повороте связано с К соотношением ОФ = — КОГО, где Оф угол поворота. Поворот тела на угол бф в однородном поле эквивалентен повороту поля относительно тела на угол — бф. Изменение поля при этом есть Ок. = — ~бф к.1, а изменение энер- гии Но дФ/дк. = —,У, как зто видно из сравнения формул (2.13) и (2.14). Поэтому бФ = — [ЯС1б16, откуда К = ~,УС), (5.11) в соответствии с обычным выражением, известным из теории поля в пустоте. Если полные сила и момент, действующие на проводник, равны нулю, то проводник в поле остается неподвижным и на первый план выдвигаются эффекты, связанные с деформированном тела (так называемая злектрострикцил).

Силы (5.1), действующие на поверхность проводника, приводят к изменению его формы и объема. При этом, ввиду растягиваюшего характера сил, объем тела увеличивается. Полное определение деформации требует решения уравнений теории упругости с заданным распределением сил (5.1) на поверхности тела. Если, .однако, интересоваться только изменением объема, то задача может быть решена весьма просто. Для этого надо учесть, что если деформация слаба (как зто фактически имеет место при электрострикции), то влияние изменения формы на изменение объема является эффектом второго порядка малости.

Поэтому в первом приближении изменение объема можно рассматривать как результат деформирования без изменения формы, т. е. как всестороннее растяжение под влиянием некоторого эффективного избыточного давления ЬР, равномерно распределенного по поверхности тела и заменяющего 55 силы, двйствтюгцив нл пговодник собой точное распределение согласно 15.1).

Относительное изменение объема получается умножением ЬР на коэффициент всестороннего растяжения вещества. Давление ЬР определяется, согласно известной формуле, как производная от электрической энергии тела Ф по его объему: ЬР = — дЖ'/д1' ). Пусть деформирующее поле создается самим заряженным проводником. Тогда энергия а' = е2/12С) и давление При заданной форме тела его емкость (как величина, имеющая размерность длины) пропорциональна его линейным размерам, т. е.

пропорциональна Ъ'~~~. Поэтому находим ы' = — ' 6СИ 6И 15.12) Если же незаряженный проводник находится в однородном внешнем поле к., то его энергия дается формулой 12.14). Поэтому в этом случае растягивающее давление будет ЬР = — сг1ЬС;~Ы 1 2 15.13) Задачи аСд~ ( а~ (это выражение справедливо с точностью до членов более высокого по- рядка по С). Эта сила максимальна при г = За/2 (где ова равна Р = 4Су~/127а)) и убывает в обо стороны от этой точки. ') Опрсдслсвяая таким образом величина есть растяжение, дсйствующес на поверхность со стороны самого тела; давление же, действующее ва вес извне, получается изменением знака.

1. Маленький проводиик с емкостью С 1порядка величины его размеров) находится па расстоянии г от центра сферического проводника большого радиуса а 1а» С). Расстояние т — а от проводника С до поверхности шара предполагается большим лишь по сравнению с С, яо яс по сравясиию с а. Оба проводника соединены друг с другом тонким проводом, так что находятся при одинаковом потенциале у. Определить силу взаимного отталкиваиия проводников. Р е ш с я и е. Ввиду малости проводника С можно считать,что его потенциал складывается из потенциала ра(г,который создается ва расстоявии г болыпой сферой, и собствеивого потенциала е/С, создаваемого зарядом е, находящимся яа самом проводнике. Отсюда имссм ю = уа)г -Ь е!С или с = С1э11 — а)г).

Искомая сила взаимодействия Г определяется как кулоиовская сила отталкивавия между зарядом е проводника С и зарядом ау сферы: 56 электРОстлтикА пРОВОдникОВ Гл. г 2. Заряженный проводящий шар разрезан пополам. Определить силу, с которой оба полушария отталкиваются друг от друга '). Р е ш е н и е. Представляем себе полушария разделенными бесконечно узкой щелью и определяем действующую на каждое из них силу Е путем интегрирования по их поверхности силы (Е~ г8я) сов 6 (проекция силы (5.1) на направление, перпендикулярное к плоскости раздела полупгарий). В щели Е = О, а на наружной поверхности Ь" = егго~, где а — радиус шара, а е— полный заряд на нем.

В результате получим е К= —, Зов 3. То же для незаряженного шара, находящегося во внешнем однородном поле б,перпендикулярном к плоскости разреза. Р е ш е н и е аналогично предыдущей задаче, с той лишь разницей, что на поверхности шара Е = Збсозд (согласно задаче 1 3 3). Искомая сила Г= — а б. 9 г г 1б 4. Определить изменение объема и изменение формы проводящего шара во внешнем однородном электрическом поле.

Р е ш е н и е. Изменение объема Жгггр' = ЬР)К, где К вЂ” модуль всестороннего растяжения вещества, а ЪР определяется формулой (5.13). Для шара оьь = Об,ь = Зд,ь,г(4я) (О из задачи 1 3 3), так что ЬЪ' ЗС~ И 8КК В результате деформации шар превращается в вытянутый эллипсоид. Для определения эксцевтриситета этого зллипсоида можно рассматривать деформацию как однородную вдоль объема тела деформацию сдвига, аналогично тому, как для изменения общего объема мы рассматривали однородную деформацию всестороннего растяжения. Условие равновесия деформированного тела можно сформулировать как условие минимальности суммы электростатической и упругой энергии.

Первая из них согласно формулам (2.12),(4.28) равна И э ЗИ з ЗИа — 6 э 8ггп 8х 10гг Л где К вЂ” первоначальный радиус шара, а и 6 полуоси зллипсоида., а 1 4 а — Ь и 3 15 К вЂ” коэффициент деполяризации (см. (4.33)). В силу аксиальной симметрии деформации (вокруг направления поля— оси в) отличны от нуля лишь компоненты и и и„„= и„тензора деформации. Поскольку мы рассматриваем равновесие по отношению к изменению формы, можно считать при этом объем неизменным, т.