VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 8

и ° «1, 3 15 3 15 Задачи 1. Найти поле заряженного проводящего круглого диска (радиуса а), выразив его в цилиндрических координатах. Найти распределение заряда на диске. Р е ш е н и е. Распределение заряда получается путем перехода в формуле (4.16) к пределу с — г О, х — г О, причем отношение х,7с = А:*7*( *= * *)"- с (4.3). Это дает 4хаз ( ат) Рис. 10 Потенциал поля во всем пространстве определя- ется (4.19), в которой полагаем с = 0 и выражаем 5 через т и х с помощью уравнения (4.1) при с = О, и = 5, а = 5: е 2а 17г х = — агссй [гз 1 хз оз 1 ((гз + хз гз)з 1 4озхз)17з] Вблизи края диска вводим вместо г и з координаты р и В согласно х = = рею В, г = а — р сов В (р « а) (рис.

10) и находим е(х 72р. В) Р Р а 12 1 а 2) в согласии с общим результатом задачи 3 3 3. 2. Определить квадрупольный электрический момент заряженного зллипсоида. Р е ш е н и е. Гензор квадрупольного момента заряженного проводника определяется как 77,ь = е(3х,хь — гзб,г), где е — его полный заряд, а черта означает усреднение по закону 1 х,хь = — у х,хьо47.

е Очевидно, что оси зллипсоида являются в то же время главными осями тензора 77,А. Воспользовавшись для о формулой (4.16), а для злемента по- 47 пговодящий эллипсоид всрхности зллипсоида выражевием 112 (и единичный всктор нормали к поверхности зллипсоида), получим — с с г ( хс1хс1у =— 4хаЬ " 3 (интегрирование по асх с1у производится дважды по площади сечения зллип- соида плоскостью ху). Таким образом, 21„= -(2а — Ь вЂ” с ), Вэ = -(2Ь вЂ” а — с ), В„= -(2с — а — Ь ).

2 2,2 С 2 2 2 С 2 2 2 3 3 3 3. Найти распределение зарядов на поверхности незаряженного проводящего зллипсоида во внешнем однородном поле. Р е ш е н и е. Согласно формуле (1.9) имеем 1ад ( 1 бз') 4х дп С с 1,4хЬ~ дб/С (элемент длины вдоль направления нормали к поверхности злслипсоида есть согласно (4.3) Ьс с1б). С помощью (4.24) и учитывая, что 1 ссх х и 62 дб С=о 2азбс С=с получим сс = б 4хпс*с При произвольном напранлении внешнего поля относительно осей х, у, 2 эллипсоида с = †п,, бэ = — [ б.

+ бэ + б ] 1 ( Сс иэ ССс йх '(п1'1 * п11 " пбй 4. То же для незаряженного круглого плоского диска (радиуса а), расположенного параллельно полю ). Определить дипольный момент диска. Р с ш с н и е. Рассматриваем диск как предел эллипсоида вращения при стремлении полуоси с к нулю. При этом коэффициент деполяризации вдоль втой оси (ось 2) стремится к 1, а вдоль осей х и у к нулю по закону ссс с 1 с21 ссс 2а 4а' сведующему из (4.34). Компонента ия единичного вектора нормали к по- верхности эллипсоида вращения стремится к нулю по закону г ° — Ссз г г 2,— 2!г х (х +у 2 хс хс х +у и + — — = — 1— аз~, аС сс а22 а2 а2 ') Для диска, расположенного перпендикулярно к полю., вопрос был бы тривиален;поле остается однородным во всем пространстве, а на двух сторонах диска индуцируются заряды сс = *асс(4х). злектРООТАтикА пРОВОдникОВ Гл. г Позтому плотность зарядов рсояег 4 гп~ 1 гг гог — рг где р, гг — полярные координаты в плоскости диска.

Дипольный момент диска определяется по формуле (4.26) и равен $оз ,У = — к. Зв а — 6 а — Ь АгсЬ Г Г Асей 2 1 — — — г 1 —— Ч о2 7 с2 Координата С связана с координатами х н р = Ргрг + гг соотношением Р х — 1 62+4 аз+а причем в пространстве вне зллнпсоида О ( ~С К оо. Для сплюснутого зллипсоида (а = 6 > с) поле С направлено вдоль оси 2. В связи с этим в интегралах в (4,24) надо заменить з -1- а на з+ с и взять Згс = — Сг. В результате получим а — с а2 — с2 — агсск, 6+ с2 У 6+с2 1— а Га~— — — 1 — ассой )( — — 1 с с2 причем координата 6 связана с координатами г и р = Аугхг+ уз посредством 2 2 + =1. аз+6 сг+ 6 6.

УО же, если ось симметрии зллипсоида перпендикулярна к внешнему полю. Р с ш с н и е. Для вытянутого зллипсоида (поле в направлении оси 2) з,гЯ+ аг 1 ог — 6 Ь+Ьг,ГР 62 ')1 Р+ог 1 а 1 62 Агсй ° 1 —— Ьг ь/~г (,г г( аг Отметим, что ан пропорционален аз, а не «объему» диска а с. 5. Определить потенциал поля вне незаряженного проводящего эллипсонда вращения, расположенного своей осью симметрии параллельно внешнему однородному полю. Р е ш ен и е.

Для вытянутого зллипсоида вращения (а > 6 = с,поле 2 в направлении оси х) получим, вычислив интеграл в формуле (4.24), 49 пРОВОдящий эллипсОид Для сплюснутого эллипсоида (поле в направлении оси я): 1 а — с эгб+ сэ агс1п ~ ъроэ — с' (1 с -~- сэ а' -> б 1 1 и с агссй ~ — — 1 —— чгоэ сэ 'г' сг аг 7. Однородное поле Е, направленное вдоль оси э (в полупростраистве э < 0), ограничено заземленной проводящей плоскостью э = 0 с круглым отверстием. Определить поле и распределение зарядов на плоскости.

Р е |п е н и е. Плоскость ху с круглым отверстием радиуса а с центром в начале координат рассматриваем как предельный случаЛ однополостного гиперболоида вращения г г — — =1, р =я+у, аэ — )О! при (О( -э О. Эти гиперболоиды представляют собой одно иэ семейств координатных поверхностей сплюснутой сфероидальной системы координат с с = О. Декартова координата э выражается согласно (4.9) через б и и через э = уг60'/а, причем корень Я должен быть взят со знаком + или— соответственно в верхнем или нижнем полупространствах. Ищем решение в виде р = — Сэг"(С) и для функции г'(С) получаем Иб /а а 1 Г(б) = сопзэ . = сопэс ( — — агссй — ) ~ ~"к+") (,л л) (постоянную интегрирования полагаем равной нулю в соответствии с условием д = 0 при э -э +ос, т.

е. при Я -э +со). При этом вгсСЗ отрицательного аргумента надо понимать как а а агс1к = х — агс19 — , а не как — агссй(а/Я). В противном случае потенциал испытывал бы разрыв непрерывности на плоскости отверстия (с = 0). Постоянный коэффициент выбираем так, чтобы при э — Р— оо (т. е. при Я вЂ” Р— со, агс19(а/Я) э х) было р = — Кэ, и окончательно получаем э( а а) уЯ(чс а гэ = -К- [агсэб — — — ] = -б [ — агс1я — — 1] . х 1 ягой мгам~ я ~ а ьРб На проводящей поверхности и = 0 и потенциал, как и следонэло, обращается в нуль.

На больших расстояниях г = эггхэ+ рэ от отверстия имеем Р г и потенциал (в верхнем полупространстве) приобретает вид а чг 0 ах |р = б— Зх б Зхгэ т. е. поле — дипольного типа, соответствующее дипольному моменту ЭР = = Са~/Зх, Напряженность поля убывает как г э, и потому поток поля через бесконечно удаленную поверхность (в полупространстве э ) 0) обращается в бо злектРОстлтикА пРОВОдникОВ ГЛ. 2 нуль. Это значит, что все силовые линии, проходящие через отверстие, замыкаются на верхней стороне проводящей плоскости. Распределение зарядов на проводящей плоскости вычисляется следующим образом: 1 дуг а дуг 1 ~ а а1 = хк — ~агсгй — —— 4л дг, е 4КЯ д~/-О 4хг ~ Я утб1 где верхние и нижние знаки относятся к верхней н нижней сторонам плос- кости. Согласно формуле р г + — =1, аг+Р связывающей б с р, г, на плоскости г = О имеем утС = х~(р~ — аг.

Таким образом, распределенно зарядов на нижней стороне проводящей плоскости дается формулой ( а а а = — к — тг — агсз!и — + 4хг 1 р утрг — аг / При р — т оо имеем а = — б/4х, как и должно быть. На верхней жс стороне 1 ~ а а~ а= — с— — агсз1п— 4хг 1 Г2 2 р/ Полный нндуцированный заряд на верхней стороне плоскости конечен и равен сг г е = ~ а 2хрдр= —— 8 8.

То же, .если отверстие в тгроводящей плоскости представляет собой прямую щель ширины 2Ь. Р е ш е н и е. Плоскость ху со щелью вдоль осн х рассматриваем как предельный случай гиперболического цилиндра 2 2 Ь' — ~О~ 1О~ при ~О~ — т О. Этн гиперболические цилиндры представляют собой одно из семейств зллипсоидальных координатных поверхностей при а — т оо, с — т О.

Дскартова координата г = Я~~ДЬ. Как н в задаче 7, ищем решение в виде 22 = — СгР(() и для функции Г® получаем Р = сопеФ д( ьгг/2 Гтб+ Ьг Здесь коэффициент и постоянная интегрирования определяются условиями Г = О н Р = 1, соответственно, при 2 — т -1-оо и 2 — т — оо (т.

е. при Я вЂ” т -~ос и Я вЂ” ~ — со), я окончательно получаем р=~ — '(,К+ь ~Я~ Я, где мы теперь понимаем корень утС как положительную величину, а верхний и нижний знаки соответствуют областям г ) О и г ( О. СИЛЫ, ДВЙСТВУКИЦИЯ НА ПРОВОДНИК На больших расстояниях от щели в верхнем полупространстве имеем у + 22 = гг и потенциал ь Я ь 41 Е 4гг т. е. поле двумерного дипольного типа с дипольным моментом кь гг8 на едиг ницу длины щели (см.

формулу в задаче 2 2 3). Распределение зарядов на проводящей плоскости дается формулой 8гг уг уг — Ьг Полный индуцированвый заряд на верхней стороне плоскости 1отнесенный к единице длины щели) равен Ь е' = 2 ) гг гьу = — б —. 4гг Вблизи края щели в выражении для 22((, у) можно положить 8 — » О и 2 В и — 2Ьр Рйп 2 где р, В -- полярные координаты в плоскости уг, отсчитываемые от края щели (у = 6+ р сов В, 2 = рв1п В). Тогда ГЬр, В гр бг à — я!П вЂ”, 'г' 2 2 в согласии с результатом задачи 3 2 3 для случая Вс « 1. 8 5. Силы, действующие на проводник В злектрическом поле на поверхность проводника действуют со стороны поля определенные силы.

Их легко вычислить следующим образоъг. Плотность потока импульса в злектрическом поле в пустоте определяется известным максвелловским тензором напряжений 1): 1 г'Š— гт ь = — ~ — б ь — Е Еь) 4к 2 Сила жег действующая на злемент 111 поверхности тела, есть не что иное, как поток евтекающего» в него извне импульса, т. е. равна о;Ь 1116 = гтгвпь 111 (знак изменен в связи с тем, что вектор нормали и направлен наружу от тела, а не внутрь него).

Величина пгьпь есть, следовательно, сила Р„ош отнесенная к 1 см 2 ) См. П, 3 33. Напоминаем, что тензор напряжений щь равен взятому с обратным знаком трехмерному тензору потока импульса. 52 элнктРОстлтикА пРОВОдникОВ или, вводя поверхностную плотность зарядов О, Е„оя = 2кст п = -ОЕ. 2 2 Таким образом, на поверхности проводника действуют силы «отрицательного давления>, направленного по внешней нормали к поверхности и по величине равного плотности энергии поля. Полная сила к', действующая на проводник, получается интегрированием силы (5.1) по всей его поверхности ): (5.2) Обычно, однако, более удобно вычислять зту величину, согласно общим правилам механики, путем дифференцирования энергии Ф.