VI.-Гидродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 7

В общем случае произвольного движения сопвС в правой части этого уравнения есть величина, постоянная вдоль каждой данной линии тока, но! вообще говоря, различная для разных линий тока. При потенциальном же движении сопвС в уравнении Бернулли есть величина, постоянная во всем объеме жидкости. Это обстоятельство в особенности повышает роль уравнения Бернулли при исследовании потенциального движения.

й 10. Несжимаемая жидкость — + (ч~7)ъ = — !7-+ и. дч Р дС Р (10.1) Зато уравнение непрерывности принимает при р = сопвС про- стой вид (10.2) гС!т ч = О. Поскольку плотность не является теперь неизвестной функцией, как зто имеет место в общем случае, то в качестве основной системы уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости можно выбрать уравнения, содержащие только скорость. Такими уравнениями являются уравнение непрерывности (10.2) и уравнение (2.11): д — гоС ч = гоС(т гоС т).

(10.3) дС Уравнение Бернулли тоже может быть написано для несжимаемой жидкости в более простом виде. Уравнение (10.1) отличается от общего уравнения Эйлера (2.9) тем, что вместо !7п! в нем стоит !7(р/р). Поэтому мы можем сразу написать уравнение Бернулли, заменив просто в (5.4) тепловую функцию В очень многих случаях течения жидкостей (и газов) их плотность можно считать неизменяющейся, т.

е, постоянной вдоль всего объема жидкости в течение всего времени движения. Другими словами, в этих случаях при движении не происходит заметных сжатий или расширений жидкости. О таком движении говорят как о движении несо!сС!маемой жидкосгп!!. Общие уравнения гидродинамики сильно упрощаются при применении их к несжимаемой жидкости. Правда, уравнение Эйлера не меняет своего вида., если положить в нем р = сог!зС, за исключением только того, что в уравнении (2.4) можно внести р под знак градиента: 37 1зо 1зесэкимлемАя экидкооть отношением р/р; — + — + яз = согзв1. е 2 р Для несжимаемой жидкости можно писать же и в выражении (6.3) для потока энергии, тогда вид (10.4) р/р вместо нз таккоторое принимает рч( — + — ).

(10.5) ) Потенциал скорости был впервые введен Эйлером. Им же было получено для этой величины уравнение вида П0.6), получившее впоследствии название уравнения Лапласа. Действительно, согласно известному термодинамическому соотношению имеем для изменения внутренней энергии выражение ззе = Тс1в — рг1Ъ'; при в = сопв$ и Ъ = 1)р = совв1 имеелз з16 = = О, т. е. е = сопв1. Поскольку же постоянные члены в энергии несущественны, то можно опустить е и в ю = е + р/р.

В особенности упрощаются уравнения для потенциального течения несжимаемой жидкости. Уравнение (10.3) удовлетворяется при го1ч = 0 тождественно. Уравнение же (10.2) при подстановке ч = йгас) ~р превращается в Ьр= О, (10.6) т. е. в уравнение Лапласа для потенциала ~р ') . К этому уравнению должны быть добавлены граничные условия на поверхностях соприкосновения жидкости с твердыми телами: на неподвижных твердых поверхностях нормальная к поверхности компонента ч„скорости жидкости должна быть равна нулю, а в общем случае движущихся твердых тел ев должна быть равна проекции скорости движения тела на направление той же нормали (эта скорость является заданной функцией времени). Скорость нв равна, с другой стороны, производной от потенциала р по направлению нормали: ев = —.

Таким образом, граничные д~ дп условия в общем случае гласят,, что — является на границах дф дп :заданной функцией времени и координат. При потенциальном движении скорость связана с давлением уравнением (9.3). В случае несжимаемой жидкости в этом уравнении можно писать р/р влзесто нз: — ';, + — ',"+'- =П1) (10. 7) Отметим здесь следующее важное свойство потенциального движения несжимаемой жидкости. Пусть через жидкость движется какое-нибудь твердое тело. Если возникающее при этом 38 идвлльнАя жидкость течение жидкости является потенциальным, то это течение зависит в каждый момент только от скорости движущегося тела в этот же момент времени, по, например, не от его ускорения. Действительно., самое уравнение (10.6) не шение лишь через граничные условия, содержащие только скорость движущегося в о жидкости тела.

Из уравнения Бернулли у2/2 + р!!р = = сопэг видно,что при стационарном движении несжимаемой жидкости (без поля тяжести) наибольшее значение давления достигается в точках, где скорость обращаРис. 2 ется в нуль. Такая точка обычно имеется на поверхности обтекаемого жидкостью тела (точка О на рис. 2) и называется кри!пической точкой. Если и скорость натекающего па тело потока жидкости (т.

е. скорость жидкости на бесконечности), а Рэ . давление на бесконечности, то давление в критической точке равно Рсхах — РО + (10.8) 2 Если распределение скоростей в движущейся жидкости зависит только от двух координат, скажем от т и у, причем скорость параллельна везде плоскости ху, то о таком течении говорят как о двумеР!!озх или плоском.

Для решения задач о двумерном течении несжимаемой жидкости иногда бывает удобным выражать скорость через так называемую функцию тока. Из уравнения непрерывности йуу= '+ — "=0 дх, дг дх ду видно, что компоненты скорости могут быть написаны в виде производных (10.9) ду' " д. от некоторой функции !Р(х, у)! называемой фупкц!!ей токи Уравнение непрерывности при этом удовлетворяется автоматически. Уравнение же, которому должна удовлетворять функция тока, получается подстановкой (10.9) в уравнение (10.3) д ~Ц дйдху' + дР!д~:~ 0 (10.10) д! дх ду ду дх Зная функцию тока, можно непосредственно определить форму линий тока для стационарного движения жидкости.

Действи- 39 1 го ньслкимльмля жидкое'Гь тельно, дифференциальное уравнение линий тока (при двумер- ном течении) есть дт с2й ел или нус1х — и с1у = 0; оно выражает собой тот факт, что направление касательной к линии тока в каждой точке совпадает с направлением скорости. Подставляя сюда (10.9), получаем ~ Их + — с19 = с1сд = О, дт ду откуда ул = сопв$. Таким образом, линии тока представляют собой семейство кривых, получающихся приравниванием функции сС21х, у) произвольной постоянной. Если между двумя точками 1 и й в плоскости ху провести кривую, то поток жидкости б,) через эту кривую определится разностью значений функции тока в этих точках независимо от формы кривой. Действительно, если ьн проекция скорости на нормаль к кривой в данной ее точке, то 2 2 2 б) = р / снсс1 = р~( — и„ссх+ пя псу) = р / сЬ)л, или (10.11) Ю = Р(Ф2 — Фс). Мощные методы решения задач о плоском потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью различных профилей связаны с применением к ним теории функций комплексного переменного ') .

Основание для этих применений заключается в следующем. Потенциал и функция тока связаны с компонентами скорости соотношениями е) д; дсь др О~; д* дй' ' др дг Но такие соотношения между производными функций оз и ф с математической точки зрения совпадают с известными условиями Коши-Римана, выражающими собой тот факт, что комплексное выражение (10.12) Ш = Со+гав ') Подробное изложение этих лсетодов и их многочисленных примонепий может быть найдено во многих курсах и монографиях по гидродинамике с более математическим уклоном. Здесь мы ограничиваемся лишь об ьясвением основной идеи метода. ) Напомним, однако, что существование самой по себе функции тока связано только с двумерностью течения, и отнюдь не требует его потенциальности.

40 гх!. 1 идеАльнАя жидкое'!'ъ является аналитической функцией комплексного аргумента х = = х + лу. Это значит, что функция лн(е) будет иметь в каждой точке определенную производную — = — + л — = пх — лпю (10.13) ллх дх дх лЛ~ Фуллкцило ю назывепот комплексным потенциалом, а — --. комплексной скоростью.

Модуль и аргумент посяедней определяют абсолютную величину скорости н и угол д ее наклона к направлению оси х: — =не '. (10.14) !л'х На твердой поверхности обтекаемого контура скорость должна быть направлена по касательной к нему. Другими ел!евами, контур должен совпадать с одной из линий тока, т. е. На нем должно быть уУ = сопв$; эту постоянную можно выбрать равной нулло, и тогда задача об обтекании жидкостью заданного контура сводится к определению аналитической функции лн(х), принимающей на этом контуре вещественные значения. Более сложна постановка задачи в случаях, когда жидкость имеет свободную поверхность (такой пример слл, зада лу 9 к этому параграфу). Интеграл от аналитической функции по какому-либо замкнутому контуру С равен, как известно, умноженной па 2пл сумме вычетов этой функции относительно ее простых полюсов, расположенных внутри С, поэтому ю'л1х = 2лгл ~~! Али где Аь вычеты комплексной скорости.

С другой стороны, имеем и ллх = ф(н — лпе)(л1х + л Ыу) = ф' = = ф(их лЛх+ не л19) + лф(ллх й( — и, Йх). Вещественная часть этого выражения есть не что иное, как циркуляция Г скорости по контуру С. Мнимая же часть (умноженная иа р) представляет собой поток жидкости через этот контур; при отсутствии внутри контура источников жидкости этот поток равен нулю, и тогда имеем просто Г = 2лгл2;Аь (10.

15) ь (все вычеты Аь при этоъл чисто мнихлые). гт!. 1 идеАльнАя гкидкость уравнение Эйлера П0.1) дает 1 др г 1 др 1 др ха =- —, ра =- —, — — -Уй=0. рд ' ' рдр' рд. Общий интегра.л этих уравнений есть Р 1 2 2 2 — = — й (х + р ) — 82 + сопэи р 2 На свободной поверхности Р = сопя!,так что эта поверхность является па- 2 2 2 раболоидом: 2 = ) — ! (х -~ р ) (начало координат — в низшей точке поверх- 28 ности).