VI.-Гидродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 5

Р' ИмЕя в виду, чтО Сумма Е + р/р = Е + рИ ЕСть нс чтО инОЕ, как тепловая функция ш единицы массы, находим г1(РЕ) = Е ТТР + Рве = и! ЙР+ РХ 1Ь1 и потому д0ре) дг д. = и — + РТ вЂ” = — и ТЫ Рч — РТч Че. д~ д2 д~ Гг!. 1 идеАльнАя гкидкость Здесь мы воспользовались также общим уравнением адиабатичности 12.6).

Собирая полученные выражения, находим для искомого изменения энергии г г — ( — + ре) = — (ю+ — ) г1гчрч — р1чЯ)(ю+ — ), или окончательно — ( — + ое) = — Мч(рч( — + ю) ). 16.1) Для того чтобы выяснить смысл полученного равенства, проинтегрируем его по некоторому обьему: ~( ) ~ (( )) или, преобразовав стоящий справа объемный интеграл в интеграл по поверхности; — / (~— + ре) сл' = — ф рч( — + ю) !11'. (6.2) Слева стоит изменение в единицу времени энергии жидкости в некотором заданном объеме пространства. Стоящий справа интеграл по поверхности представляет собой, следовательно, количество энергии, вытекающей в единицу времени из рассматриваемого обьема. Отсюда видно, что выражение рч( — + ю) 16.3) представляет собой вектор плон!ности потока энергии.

Его абсолютная величина есть количество энергии, протекающей в единицу времени через единицу поверхности, расположенную перпендикулярно к направлению скорости. Выражение 16.3) показывает, что каждая единица массы жидкости как бы переносит с собой при своем движении энергию ю + и /2. Тот факт, что здесь стоит тепловая функция ю! а не 2 просто внутренняя энергия е, имеет простой физический смысл. Подставив ю = е + р,!р, напишем полный поток энергии через замкнутую поверхность в виде — ф рч ( — + с) !11' — ф рч !К.

Первый член есть энергия (кинетическая и внутренняя), непосредственно переносимая 1в единицу времени) проходящей через поверхность массой жидкости. Второй же член представляет собой работу, производимую силами давления над жидкостью, заключенной внутри поверхности. 27 поток импул~ ох й 7. Поток импульса Произведем теперь аналогичный вывод для импульса жидкости. Импульс единицы объема жидкости есть рч. Определим скорость его изменения: д — рч. д~ Будем производить вычисления в тензорных обозначениях. Имеем д дю, др — Рог = Р— + — ео д1 д1 д$ др д(р|а) д~ дха и уравнением Эйлера (2.3) в форме дю, де, 1 др — = — еь д1 двь р дх, Тогда получим — — — — — — — — Ре,еы д ди др д(рю~) др д дФ д*а д*, д*~ д*, дть Первый член справа напишем в виде — = 6,ь др др д., * д', и находим окончательпо: д дПп. — Рг~ =— д~ дх~ ' (7.1) где тензор П,ь определяется как (7.2) Пгт = Р(~чь + Рогом Он, очевидно, симметричен.

Для выяснения смысла теизора П,ь проинтегрируем уравнение (7.1) по некоторому объему; Стоящий в правой части равенства интеграл преобразуем в Воспользуемся уравнением непрерывности (1.2), написав его в виде 28 гт!. 1 идиАльная жидкос'!'ь интеграл по поверхности '); — / рп, Л" = — ~Плес!ум д (7.3) Интеграл слева есть изменение в единицу времени л-й компоненты импульса в рассматриваемом объеме. Поэтому стоящий справа интеграл по поверхности есть количество этого импульса, вытекающего в единицу времени через ограничивающую объем поверхность. Следовательно, .Пльл77ь есть л-я компонента импульса, протекающего через элемент ллГ" лловерхности.

Если написать с77й в виде пе с!7" (лгу"-- абсолютная величина элемента поверхности, п — единичный вектор внешней нормали к нему), то мы найдем, что Пляпа есть поток л-й компоненты импульса, отнесенный к единице площади поверхности. Заметим, что согласно (7.2) Прйпь = рп, + ри,пыль, это выражение может быть написано в вектор-ном виде как рп+ ри(з!п). (7 4) р+рн . В направлении же, перпендикулярном к скорости, переносится лишь поперечная (по отношению к тс) компонента их!пульса, а плотность ее потока равна просто р.

') Правило преобразования интеграла по замкнутой поверхности в инте- грал по охватываехюму этой поверхностью объему. можно сформулировать слелующил! образом: оно осуществляется заменой элемента поверхности ф, , д оператором дЪ' —, который должен быть применен ко всему подынтегральдт, ному выражению Таким образом, П,ь есть л-я компонента количества импульса, протекающего в единицу врез!спи через единицу поверхности, перпендикулярную к оси тй. Тензор Пль называют тензором плотности потока импульса.

Поток энергии, являющейся скалярной величиной, определяется вектором; поток же импульса, который сам есть вектор, определяется тензором второго ранга. Вектор (7.4) определяет ноток вектора импульса в направлении п! т. е. через поверхность, перпендикулярную к п. В частности, выбирая направление единичного вектора п вдоль направления скорости жидкости, мы найдем, что в этоьл направлении переносится лишь продольная компонента импульса, причем плотность ее потока равна СОХРАИВИИВ ЦИРКУЛЯЦИИ ОКОРОС'!'И ~ 8. Сохранение циркуляции скорости Интеграл Г = фч!Л, взятый вдоль замкнутого контура, называют циркуляцией скорости вдоль этого контура. Рассмотрим замкнутый контур, проведенный в жидкости в некоторый момент времени.

Будем рассматривать его как «жидкийь, т. с. как составленный из находящихся на нем частиц жидкости. С течением времени эти частицы передвигаются, а с ними перемешается и весь контур. Выясним, что происходит при этом с циркуляцией скорости вдоль контура. Другими словами, вычислим производную ©о времени — ф ч д1. Мы пишем здесь полную производную по времени соответственно тому, что и!цсы изменение циркуляции вдоль перемещающегося жидкого контура, а не вдоль контура, неподвижного в пространстве. Во избежание путаницы будем временно обозначать дифференцирование по координатам знаком д, оставив знак !1 для дифференцирования по времени.

Кроме того, заметим, что элемент ц1 длины контура можно написать в виде разности бг радиус- векторов г точек двух концов этого элемента. Таким образом, напишем циркуляцию скорости в виде ф Ч!1Г. При дифференцировании этого интеграла по времени надо иметь в виду, что меняется не только скорость, но и сам контур (т. е. его форма). Поэтому, внося знак дифференцирования по времени под знак интеграла, надо дифференцировать не только ч, но и Дг: — фчбт = ф — дг+ фч —.

Поскольку скорость ч есть не что иное,как производная по времени от радиус-вектора г, то ч — = чб — =чбч = б —. Юг дг - Р !й л! 2 Но интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю. Поэтому второй из написанных интегралов исчезает и остается — фчдт = ф '— дг. гз!. 1 идеАльнАя жидкое'!'ъ Теперь остается подставить сюда для ускорения а/ч/'с/! его выражение согласно (2.9): г/» — = — вегас) ю.

г// Стокса, получаем тогда (поскольку Применив формулу го1 йгас) и = О): — дг = / го1 — а1 = О. ~а» / !» !/!,/ с// Таким образом, переходя к прежним обозначениям, находим окончательно '): — 'с!зча/1 = О, а!./ или (8.1) ч сй = сопе$,. Мы приходим к результату, что 1в идеальной жидкости) циркуляция скорости вдоль замкнутого жидкого контура остается неизменной со временем. Это утверждение называют теоремой Томсона (Иг. Т)!отзоп, 1869) или законом сохранения циркуляци,а скорости.

Подчеркпеь!, что он получен пу.теь! использования уравнения Эйлера в форме (2.9) и потому связан с предположением об изэнтроничности движения жидкости. Для неизэнтропического движения этот закон не имеет места ') . Применив теорему Томсона к бесконе гно малому замкнутому контуру оС и преобразовав интеграл по теореме Стокса, получим чс/1 = ~го1чс/1'- б1 го1ч = сопе1, (8.2) где Ж элемент жидкой поверхности, опирающийся на контур аС. Вектор го1» часто называют зааияренностею ') течения жидкости в данной ее точке. Постоянство произведения (8.2) можно наглядно истолковать, сказав, что завихренность переносится вместе с движущейся жидкостью.

Задача Показать, что при неиззнтропическом течении для каждой перемещающейся частицы остается постоянным связанное с ней значение произведения С»в го!»)/р (И. Ег!с/, 1942). ! ) Этот результат сохраняет силу н в однородном поле тяжести, так как го! к = О. !) С математической точки зрения необходимо, чтобы между р и р существовала однозначная связь (при иззнтропическом движении она определяется уравнением а(р, р) = сопв!). Тогда вектор — 1гр/р может быть написан в виде градиента некоторой функпии, что и требуется для вывода теоремы Томсона. з ) По английской терминологии — »огйсиу. 31 ПО'ГВНЦИЛЛЬНОЕ ДВИ1КЯНИЬ Р е ш е н и е.

При неиззнтропическом движении правая часть уравнения Эйлера (2.3) пе может быть заменена на — !71с и вместо уравнения (2.11) получается ды 1 — = го! )час) -!- — 1» р чгр) д1 ре (для краткости введено обозначение ю = го! ч). Умножим эго равенство на 17з; поскольку з = з!р, р), то чсз выражается линейно через сгр и стр и произведение 7з!~7р 1тр) = О. После этого выражение в правой части уравнения преобразуем следующим образом: да! !уз — = '7з го! чш! = — с11» )»ярсоз)) = — с111 (»боли)) -!- 111» ОочЯ з)) = дс = — 1со чсз) с1ге ч — ч ягас) 1со17а) Э- со йгас1(» ту а). Согласно (2.6) заменяем !»чся) = — дессд1 и получаем уравнение д — (сот!я) + чегас1 Ол та) + (ос » з) сйч» = О.

д1 Первые два члена объодиняются в с1(со17я) /с)с (где 117111 = д7д1-~- (чту)), а в последнем заменяем согласно (1.3) рой! ч = — с1р/с11. В результате получаем 1 ы17э сй р чем н выражается искомый закон сохранения. 3 9. Потенциальное движение Из закона сохранения циркуляции скорости можно вывести важное следствие.

Будем считать сначала, что движение жидкости стационарно и рассмотрим линию тока, о которой известно, что в некоторой ее точке го1ч = О. Проведем бесконечно малый контур, охватывающий линию тока вокруг этой точки; с течением времени он будет передвигаться вместе с жидкостью, все время охватывая собой ту же самую линию тока. Из постоянства произведения (8.2) с;чедует поэтому, что той» будет равен пулю вдоль всей линии тока. Таким образом, ес.ги в какой-либо точке линии тока завихренность отсутствует, то она отсутствует и вдоль всей этой линии. Если движение жидкости не стационарно, то этот результат остается в силе, с той разницей, что надо говорить не о линии тока, а о траектории, описываемой с течением времени некоторой определенной жидкой частицей (напоыинаеы, что при нестационарном движении зти траектории не совпадают, вообще говоря, с линиями тока) ') .