VI.-Гидродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 10

е. действукпцие на поверхность тела со стороны жидкости силы давления взаимно компенсировались бы (так называемый парадокс Даламбера). Происхождение этого епарадоксав в особенности очевидно для силы сопротивления. Действительно, наличие этой силы при равномерном движении тела означало бы, что для поддержания движения какой-либо внешний ') Действительно, пусть тело ускоряется под влиянием какой-либо внешней силы Р. В результате ил>пульс жидкости будет возрастать; пусть с1Р есть его приращение в течение времени ссй Это приращение связано с силой соотношением с)Р = ГсСй а улшоженпос на скорость и дает псСР = Гпй, т. е. работу силы Р на пути и Ж, которая в свою очередь должна быть равна увеличению энергии ссЕ жидкости.

Сле>Сует заметить, что вычишсение импульса непосредственно как интеграла 1'ртбр по всему объему жидкости было бы невозможным. Дело в том, что этот интеграл (со скоростью щ распределенной по (11лй)) расходится в том смысле, что результат интегрирования, хотя и конечен, но зависит от способа взятия интеграла: производя интегрирование по большой области, размеры которой усгремляются затем к бесконечности, лсы ссолучили бы значение, зависящее от формы области (сфера, цилиндр и т. п.). Используемый же нами способ вычисления импульса, исходя из соотношения и с>Р = ссЕ, приводит ко вполне определенному конечному значению 1даваемому формулой (11.6)), заведомо удовлетворяющему физическому условию о связи изменения иьшульса с действующими па тело силами.

ндкальная жидкость источник должен непрерывно производить работу, которая либо диссипируется в жидкости, либо преобразуется в ее кинетическую энергию, приводя к постоянно уходящему на бесконечность потоку энергии в движущейся жидкости. Но никакой диссипации энергии в идеальной жидкости, по определению, нет, а скорость приводимой телом в движение жидкости настолько быстро убывает с увеличением расстояния от тела, что никакого потока энергии на бесконечности тоже нет.

Следует, однако, подчеркнуть, что все эти соображения относятся лишь к движению тела в неограниченной жидкости. Ксли же, например, жидкость имеет свободную поверхность, то равномерно движущееся параллельно этой поверхности тело будет испытывать силу сопротивления. Появление этой силы (называемой волновым сопротивлением~ связано с возникновением на свободной поверхности жидкости системы распространяющихся по ней волн, непрерывно уносящих энергию на бесконечность. Пусть некоторое тело совершает под влиянием действующей па него внешней силы К колебательное движение.

При соблюдении рассмотренных в предыдущем параграфе условий окружающая тело жидкость совершает потенциальное движение, и для вывода уравнений движения тела можно воспользоваться полученными выше соотношениями. Сила Г должна быть равна производной по времени от полного импульса системы, равного сумме импульса Мп тела (М масса тела) и импульса Р жидкости: !и' Ж С помощью (11.5) получаем отсюда: !1и, 0нь М вЂ” *+ теь — = ~м !1! а что можно написать также и в виде ' " (Мб!ь + и!ь) = Д. (11.8) !!! Это и есть уравнение движения тела, погруженного в идеальную жидкость.

Рассмотрим теперь в некотором смысле обратный вопрос. Пусть сама жидкость производит под влиянием каких-либо внешних (по отношению к телу) причин колебательное движение. Под влиянием этого движения погруженное в жидкость тело тоже начинает двигаться !) . Выведем уравнение этого движения. Будем предполагать, что скорость движения жидкости мапо меняется на расстояниях порядка величины линейных размеров ! ) Речь может идти, например, о движении тела в жидкости, по которой распространяется звуковая волна с длиной волны, болыной по сравнению с размерами тела.

силл сош отивлвння пги потв~Пилльном овтвклнии 53 тела. Пусть ч есть скорость жидкости в месте нахождения тела, которую она имела бы, если бы тела вообще не было, другими словами, ч есть скорость основного движения жидкости. По сделанному предположению ч можно считать постоянной вдоль всего объема, занимаемого телом. По-прежнему через и обозначаем скорость тела. Силу, действующую на тело и приводящую его в движение, можно определить из следующих соображений. Если бы тело полностью увлекалось жидкостью (т. с, было бы ч = и), то на него действовала бы такая же сила, которая бы действовала на жидкость в объеме тела, если бы тела вовсе не было.

Импульс этого объема жидкости есть рГоч, и потому действующая на него ~Ь сила равна рЪо —. Но в действительности тело не увлекается пол- <11 постыл жидкостью, возникает движение тела относительно жидкости, в результате чего сама жидкость приобретает некоторое дополнительное движение. Связанный с этим дополнительным движением импульс жидкости равен т,ь(иь — гь) (в выражении (11.5) надо теперь писать вместо и скорость и — ч движения тела относительно жидкости). Изменение этого импульса со временем приводит к появлению дополнительной силы реакции, действующей на тело и равной — т,ьп1(иь — пь)/г1г.

Таким образом, полная сила, действующая на тело, равна пш р'и'о — ' — тьь — (нь — пь). м а Эту силу надо приравнять производной по времени от импульса тела. Таким образом, приходим к следующему уравнению движения: 4 де, д — Мм, = рого — ' — гпьь — (иь — пь). м ж ' ж Интегрируя это уравнение по времени, получаем (Мб;Ь + т1Ь)ив = (тгв+ Ррпдгл)пе. (11.9) Постоянную интегрирования полагаем равной нулю, поскольку скорость и тела, приводимого жидкостью в движение, должна обратиться в нуль вместе со скоростью жидкости ч. Полученное соотношение определяет скорость тела по скорости жидкости.

Если плотность тела равна плотности жидкости (М = р7~), то, как и следовало ожидать, и = ч. Задачи 1. Получить уравнение движения для шара, совершающего колебательное движение в идеальной жидкости, и для шара, приводимого в движение колеблющейся жидкостью. Р е ш е н и е. Сравнивая (11.1) с выражением для уь полученным для обтекания шара в задаче 2 1 10, видим, что А = пЛз/2 54 гг!. 1 идвальнля жидкое'!'ь [й — радиус шара). Полный импульс приводимой шаром в движение жидкости есть согласно [11.6) Р = 2крй~п/3, так что тензор юн,,!. равен 2я э тм = — Рй б,ю 3 Испытываемая движущимся шаром сила сопротивления равна 2я зЖ Е= — — рЛ, —, 3 !11 а уравнение движения колеблющегося в жидкости шара имеет вид '~ (ро+ -') — "" =.у 3 2 !11 [ро - плотность вещества шара).

Коэффициент при и можно рассматривать как некоторую эффективную массу шара; она складывается из массы самого шара н нз присоединенной массы, равной в данном случае половине массы жидкости, вытесняеэлой шаром. Если шар приводится в движение жидкостью, то для его скорости получаех! из (11.9) выражение зр и= ч. р+ 2ро Если плотность шара превышает плотность жидкости [ро > р), то и < о, т. е. шар отстает от жидкости: если же ро < р, то шар опережает ее.

2. Выразить действующий на движущееся в жидкости тело чомонт сил через вектор А. Р е ш с н и е. Как известно из механики, дей!.твующий на тело момент сил М определяется по его функции Лагранжа [в данном случае - по энергии Е) соотношением 6Е = М60, где 69 — вектор бесконечно малого угла поворота тела, а 6Š— изменение Е при этом повороте. Вместо того чтобы поворачивать тело па угол 60 [и соответственно менять компоненты т,!), можно повернуть на угол — 60 жидкость относительно тела и соответственно изменить скорость и. Имеем при повороте бп = — [бйп), так что 6Е = Рбп = — бп[пР).

Исполылуя выражение [11.6) для Р, получаем отсюда искомую формулу М = — [пР) = 4яр[Ап]. 3 12. Гравитационные волны Свободная поверхность жидкости, находялцейся в равновесии в поле тяжести, -- плоская. Если под влиянием какого-либо внешнего воздействия поверхность жидкости в каком-нибудь месте выводится из ее равновесного положения, то в жидкости возникает движение.

Это движение будет распространяться вдоль всей поверхности жидкости в виде воли, называемых гравалпационньлми, поскольку они обусловливаются действием поля тяжести. Гравитационные волны происходят в основном на поверхности жидкости, захватывая внутренние ее слои тем меньше, чем глубже зти слои расположены. Мы будем рассматривать здесь такие гравитационные волны, в которых скорость движущихся частиц жидкости настолько ма- 55 1 ьв ГРАВНТАциОиныв ВОлны ла., что в уравнении Эйлера можно пренебречь членом (»~7)» по сравнению с д»/дГ. Легко выяснить, что означает это условие физически. В течение промежутка времени порядка периода т колебаний, совершаемых частицами жидкости в волне, эти частицы проходят расстояние порядка амплитуды а волны.

Поэтому скорость их движения порядка и а(т. Скорость и заметно меняется на протяжении интервалов времени порядка т и на протяжении расстояний порядка Л вдоль направления распространения волны 1Л -" длина волны). Поэтому производная от скорости по времени — порядка и!т, ало координатам порядка п/Л. Таким образом, условие (» »')» « д»/дг эквивалентно требованию или а « Л, (12.1) т. е. амплитуда колебаний в волне должна быть мала по сравнению с длиной волны.

В з 9 мы видели, что если в уравнении движения можно пренебречь членом ~,»»)», то движение жидкости потенциально. Предполагая жидкость несжимаемой, мы можем воспользоваться поэтому уравнениями (10.6) и (10.7). В уравнении (10.7) мы можем теперь пренебречь членом п~/2, содержащим квадрат скорости; положив /(Г) = 0 и введя в поле тяжести член ряв, получим Р = РЯ Р—. ду д1 (12.2) Ось В выбираем, как обычно, вертикально вверх, а в качестве плоскости тр выбираем равновесную плоскую поверхность жидкости.

Будем обозна~ать В-координату точек поверхности жидкости через ~; ~ является функцией координат л, у и времени 1. В равновесии ~ = О, так что ~ есть вертикальное смещение жидкой поверхности при ее колебаниях. Пусть на поверхность жидкости действует постоянное давление Рш Тогда имеем на поверхности согласно (12.2) д~+ — ~ = О. д1 (12.3) Ро = — РК вЂ” Р— ~. Постоянную ро можно устранить переопределением потенциала р (Г1рибавлением к нему независящей от координат величины рВГ/р). Тогда условие на поверхности жидкости примет вид идеАльнАя жидкое'!'ъ Малость амплитуды колебаний в волне означает, что смещение !, мало. Поэтому можно считать, в том же приближении, что вертикальная компонента скорости движения точек поверхности совпадает с производной по времени от смещения !,: е, = д!',/дй Но е, = д!!!!!де, так что имеем В силу малости колебаний можно в этом чения производных при е = О вместо " = получаем окончательно следующую систему ляюших движение в гравитационной волне: условии взять зна!,.

Таким образом, уравнений, опреде- (12А) (12.5) !д!Р = О, (ор 1д' ) !д = сов (Йт — ы!)7(е), где ш циклическая частота (мы будем говорить о ней просто как о частоте), к волновой вектор волны, Л = 2я/й длина волны. Подставив это выражение в уравнение !д!р = О, получим для функции 1(е) уравнение Его решение, затухающее в глубь жидкости (т. е. при е — ! — оо): !р = Аев' соа (кт — ы1). (12.6) Мы должны еще удовлетворить граничному условию (12.5). Подставив в него (12.6), найдем связь между частотой и волновым вектором (или, как говорят, закон дисперсии волн): (12.7) Будем рассматривать волны на поверхности жидкости, считая эту поверхность неограниченной.