VI.-Гидродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 11

Будем также считать, что длина волны мала по сравнению с глубиной жидкости, тогда можно рассматривать жидкость как бесконечно глубокую. Поэтому мы не пишем граничных ушювий на боковых границах и на дне жидкости. Рассмотрим гравитационную волну, распространяющуюся вдоль оси т и однородную вдоль оси у; в такой волне все величины не зависят от координаты у.

Будем искать решение, являющееся простой периодической функцией времени и координаты ас 57 1 12 ГРАВНТАНИОнныв ВОлны Распределение скоростей в жидкости получается дифференцированием потенциала по координатам: нх — — — Айе~' вш (йх — ш1), и, = Айе~' сов (йх — ВЛ). (12.8) Мы видим, что скорость зкспопепциально падает по направлению в глубь жидкости. В каждой заданной точке пространства (т. е. при заданных х, и) вектор скорости равномерно вращается в плоскости хл, оставаясь постоянным по своей величине. Определим еще траекторию частиц жидкости в волне. Обозначим временно через х, х координаты движущейся частицы жидкости (а пе координаты неподвижной точки в пространстве), а чеРез хо, хе значениЯ х, н ДлЯ Равновесного положениЯ частицы.

Тогда и = йх/Рй, н, = дх/ш', а в правой части (12.8) можно пРиближенно написать хш Во вместо х, В, воспользовавшись малостью колебаний. Интегрирование по времени дает тогда: х — хе = -А-е сов (йхе — ВЛ), й ЬВР . (12.9)  — хо = — А — е В'Н1п(йхо — мС). Таким образом, частицы жидкости описывают окружности вокРУг точек хсн ьа с РаДиУсом, зкспоненпиально УбываюЩим по направлению в глубь жидкости.

Скорость 17 распространения волны равна, как будет показано в 5 67, ОГ = сйн/дй. Подставив сюда ш = ~%д', находим, что скорость распространения гравитационных волн на неограниченной поверхности бесконечно глубокой жидкости равна г /х 1/дл (12.10) Она растет при увеличении длины волны. Длинные гравитационные волны. Рассмотрев гравитационные волны., длина которых мала по сравнению с глубиной жидкости, остановимся теперь на противоположном предельном случае волн, длина, которых велика по сравнению с глубиной жидкости. Такие волны называются длинными.

Рассмотрим сначала распространение длинных волн в канале. Длину канала (направленную вдоль оси х) будем считать неограниченной. Сечение канала может иметь произвольную форму и может меняться вдоль его длины. Площадь поперечного сечения жидкости в канале обозначим через Я = Я(х, 1). Глубина и ширина канала предполагаются малыми по сравнению с длиной волны. Мы будем рассматривать здесь продольные длинные волны, в которых жидкость движется вдоль канала. В таких волнах компонента и скорости вдоль длины канала велика по сравнению с КОМПОНЕНтаМИ Ню О,. 58 идеАльнАя жидкос'!'ъ Опустив индекс т у компоненты скорости пе, а также малые члены, мы можем написать х-компоненту уравнения Эйлера в виде дг 3дР д~ рдх а и-коеипоненту в виде Р=Ро+аРЫ вЂ” е).

Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем д! ~О (12.11) Второе уравнение для определения двух неизвестных и и !, можно вывести методом, аналогичным выводу уравнения непрерывности. Это уравнение представляет собой по существу уравнение непрерывности применительно к рассматриваемому случаю. Рассмотрим объем жидкости, заключенный между двумя плоскостями поперечного сечения канала, находящимися на расстоянии !!т друг от друга. За единицу времени через одну плоскость войдет объем жидкости, равный фп)е, а через другую плоскость выйдет объем (Яе) ъие, Поэтому обьем жидкости между обеими плоскостями изменится на (Я!!) ЬЯ вЂ” (ЯН) = !1Х. д(дг) де Но в силу несжимаемости жидкости это изменение может произойти только за счет изменения ее уровня.

Изменение объема жидкости между рассматриваемыми плоскостями в единицу времени равно — !1т. дд д! Следовательно, можно написать: — !1т = — !1л, дд дфь) дФ де или дд дФ) о д1 де Это и есть искомое уравнение непрерывности. (12.12) 1 де — — 8 Лд. (квадратичные по скорости члены опускаем, поскольку амплитуда волны по-прежнему считается малой). Из второго уравнения имеем, замечая, что на свободной поверхности (е = () должно быть р = Ро: 59 ГРАВитАциОсшыв ВОлны Ь вЂ” + 1') =О. (12.13) дс дх Дифференцируя (12.13) по С и подставляя — из (12.11) получим дг дс (12.14) Если сечение канала одинаково вдоль всей его длины, то Яо = = СОПВС И д~ уздам 0 (12.15) дсс Ь д*- Уравнение такого вида называется волновым; как будет показано в 9 64, оно соответствует распространению волн с не зависящей от частоты скоростью ГС, равной квадратному корню из коэффициента при дз~ссдлз.

Таким образом, скорость распространения длинных гравитационных волн в каналах равна (12.16) Аналогичным образом можно рассмотреть длинные волны в обширном бассейне, который мы будем считать неограниченным в двух измерениях 1вдоль плоскости ху). Глубину жидкости в бассейне обозначим буквой 6. Из трех компонент скорости малой является теперь компонента е,. Уравнения Эйлера приобретают вид, аналогичный (12.11); дг.

дС д , дС '+и — =0, — "+и — =0. дс дв ' дс ду (12.17) Уравнение непрерывности выводится аналогично (12.12) и имеет вид да д(ье,.) д)1т,) дс дх ду Глубину 6 пишем в виде 6 = 6о+~, где 6о равновесная глубина. Тогда д~ + д16Р .) + дсьВ Р) (12.18) дс д* ду Пусть Яо есть площадь поперечного сечения жидкости в канале при равновесии. Тогда О' = ЯО+ О", где О" изменение этой площади благодаря наличию волны. Поскольку изменение уровня жидкости в волне мало, то 5 можно написать в виде Ь~.

где Ь ширина сечения канала у самой поверхности жидкости в нем. Уравнение (12.12) приобретает тогда вид 60 гт!. ! идеАльнАя жидкос'!'ъ Предположим, что бассейн имеет плоское горизонтальное дно (60 = сопз1). Дифференцируя (12.18) по 1 и подставляя (12.17), полу.чим 860( е+ ) — 0. (12.19) Это -. опять уравнение типа волнового (двумерного) уравнения; оно соответствует волнам со скоростью распространения, равной (12. 20) е„= — = 0 при х = -6. д!р дх Из етого условия определяется отношение между постоянными А и В в общем решении !р = сов(йх — ы1)1Ае"'+ Ве В результате находим р = Асов (йх — ы!) ЕЦй(х -Ь 6)).

Из предельного условия (12.5) находим соотношение между й и ы в виде , - '=яйеьй6. Скорость распространения волны 1661 + ! йй 2ч'йей 6 ! сйей6З При й6 » 1 получается результат П2.10), а при й6 « 1 — резулгпат (12.20). 2. Определить связь между частотой и длиной волны для гравитационных воли па поверхности раздела двух жидкостей, причем верхняя жидкость ограничена сверху, а нижняя —. снизу горизонтальными неподвижнымн плоскостями.

Плотность и глубина слоя нижней жидкости — р и 6, а верхней — р и 6 1причем р > р ). Р е ш е н и е. Плоскость ху выбираем по плоскости раздела обеих жидкостей в равновесии. Ищем решение в обеих жидкостях соответственно в виде р = А сЪ'161 + 1!)) сое (йх — ы!), () х' = В сй|й(х — 6')) сов (йх — ы1) (так чтобы удовлетворялись условия на верхней и нижней границах, — см. решение задачи Ц.

На поверхности раздела давление должно быть непрерывным; согласно (12.2) это приводит к условию раь+р —. й ряь'+р— др,, ду' дс д! Задачи 1. Определить гкорость распространения гравитационных волн на ноограниченной поверхности жидкости, глубина которой равна 6. Р е ш е н и е.

На дне жидкости нормальная составляющая скорости должна быть равна нулю, т. е. 61 ГРАВИТАЦИОНг!ЫВ ВОЛНЫ (при г = О) или д 1 (,дР дф) ь(Р Р) д1 д1 (2) Кроме того, скорости о, обеих жидкостей на поверхности раздела должны быть одинаковыми. Это приводит к условию (при г = О) (3) д. д. ' дР дс Далее., ь: = — = — и, подставляя сюда (2), получаем дг д1 0(Р - Р ) — = Р— - Р—. дг сг дг,Р (4) д дгг дгг ' Подставляя (Ц в (3) и (4), получим два однородных линойных уравнения для А и В, из условия совместности которых найдем йе(Р Р ) Р Чйй -Ь р'с1666' При й6 » 1, й6' » 1 (обе жидкости очень глубоки), Р= ар Ртр а при 66 « 1, 66' « 1 (длинные волны): =й .

0(Р— Р') 66' Р6' тР6 Наконец, если й6 > 1, 66' « 1: ,Р = й'06'Р Р 3. Определить связь между частотой н длиной волны для гравитационных волн, распространяющихся одновременно по поверхности раздела и верхней поверхности двух слоев жидкости, из которых нижняя (плотность р) бесконечно глубока, а верхняя (плотносгь р') имеет толщину 6' и свободную верхшою поверхность. Р е ш е н и е. Выбираем плоскость ту в плоскости раздела обеих жидкостей в равновесии.

В нижней я верхней жидкостях ищем решение соответственно в виде 22 = Ась' соз(йл — ыг), 22 = (Ве г' +Се ) соя(йх — ЫГ). (Ц На гюверхности раздела обеих жидкостей (т. е. при = О) имеют место условия (см. задачу 2): дуг дф' , дуг,д Р' — — 0(Р— Р) — = Р (2) дг дг д д12 дгг ' а на верхней свободной границе (т. е, при г = 6').