VI.-Гидродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 12

DJVU-файл VI.-Гидродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 12 Физика (2509): Книга - 1 семестрVI.-Гидродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах) - DJVU, страница 12 (2509) - СтудИзба2019-04-28СтудИзба

Описание файла

Файл "VI.-Гидродинамика" внутри архива находится в папке "Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах". DJVU-файл из архива "Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 12 - страница

— -1- — = О. дР' 1 деР' (3) д дгг Первое из уравнений (2) при подстановке (1) дает А = С вЂ” В, а два остальных условия дагот два уравнения для В и С, из условия совместности которых Гт!. ! идеАльнАя 2кидкооть получаем квадратное уравнение для а2 с корнями: (р — р'И вЂ” е "ь), г р->л'ч-(р — р')с "" При Ь,' -э сю эти корни соответствуют волнаы, распространяющил2ся независимо по поверхности раздела и по верхней поверхностн жидкости. 4. Определить собственные частоты колебаний !см. з б9) жидкости глубины 6 в прямоугольном бассейне ширины а и длины Ь. Р о ш е н и е.

Оси т и у выбираем по двум боковым сторонам бассейна. Ищем решение в виде стоячей волны: 22 = со !с12!!Ь2!2 +в)У(т у)' Для !' получаем уравнение — + — -~-Й )'=О, д'У д'У две дуе а условие на свободной поверхности прнводят,как и в задаче 1, к соотношению 2 уФЬЬЬЬ Решение уравнения для у" берем в виде ~ = соврясовд299 р -Ь о = й, 2 2,2 На боковых сторонах сосу.ца должны выполняться условия: дф с,,= — =О при я=о,а; дт дса — =О при у=О,Ь. ду Отсюда находим тя ох Р= 9= а Ь где ги, п - целые числа. Поэтому возможные значения и равны й 13. Внутренние волны в несжимаемой жидкости Своеобразные гравитационные волны могут распространяться внутри несжимаемой жидкости.

Их происхождение связано с вызываемой наличием поля тяжести неоднородностью жидкости: ее давление (а с ним и энтропия а) непременно будет меняться с высотой:, поэтому всякое смещение какого-либо участка жидкости по высоте приведет к нарушению механического равновесия! а потому к возникновению колебательного движения. Действительно, ввиду адиабатичности движения этот участок принесет с собой в новое место свое значение энтропии з, отличное от ее равновесного значения в этом месте. 63 1 уз внх тгвппив волны в нво>кимлвмой жидкости Мы будем ниже предполагать, что длина распространяющейся в жидкости волны мала по сравнению с расстояниями, на которых поле тяжести вызывает заметное изменение плотности ') . Саму жидкость мы будем при этом рассматривать как несжимаемую.

Это значит, что можно пренебречь изменением ее плотности, связанным с изменением давления в волне. Изменением же плотности, связанным с тепловым расширением, отнюдь нельзя пренебречь, так как именно оно определяет собой все явление. Выпишем систему гидродинамических уравнений для рассматриваемого движения. Будем отмечать значения величин в состоянии механического равновесия индексом нуль, а малые отклонения от этих значений в волне штрихом. Тогда уравнение сохранения энтропии з = во+ з' напишется с точностью до величии первого порядка малости в виде — + и'У'зо = О, дз' дс (13. Ц где зо, как и равновесные значения других величин, является заданной функцией вертикальной координаты з. Далее, в уравнении Эйлера снова пренебрегаем (в силу малости колебаний) членом (чЧ~М; учитывая также., что равновесное распределение давления определяется уравнением туро = роя, получим с той же точностью дч ь2р 27р' Tро — — +а= + .

Р дг Р Ро Рь Поскольку согласно сказанному выше изменение плотности свя- зано только с изменением энтропии, но не давления, то можно написать: и мы получим уравнение Эйлера в виде (13.2) Величину ро можно ввести под знак градиента, так как изменением равновесной плотности на расстояниях порядка длины ') Градиент плотности связан с градиентом давления равенством 1~ = (~— ") 1 р = .'-'1 ~, где с — скорость звука в жидкости. Поэтому из гидростатического уравнения з2р = ря имеем 12р = (р/с )я. Отсюда видно, что существеннов измвненио 2 плотности в воле тяжести происходит на расстояниях 1 с Я.

Для воздуха 1 10 км, для воды 1 200 км. 64 идеАльнАя жидкос'!'ъ волны мы, согласно сказанному выше, всо равно пренебрегаем. По этой же причине можно считать плотность постоянной и в у.равнении непрерывности, которое сводится при этом к (13.3) с11 = О. Будем искать решение системы уравнений (13.1Н13.3) в виде плоской волны: т = сопв1 ей ' и 1 и аналогично для е'и р'.Подстановка в уравнение непрерывно- сти (13.3) дает (13.4) т1г= О, т, с, скорость жидкости везде перпендикулярна к волновому век- тору (поперечная волна). Уравнения же (13.1) и (13.2) дают !'0Роа ! гь !ыв = чгуао, — ил!г = — ~ — ( е К вЂ” — Р.

Ро дЕО Р РО Условие 1ст! = О, примененное ко второму из этих равенств, при- водит к соотношению 1А р = ( — ) е (юг), и исключая затем из обоих уравнений !г и е', получим искомый закон дисперсии соотношение между частотой и волновым вектором: (13.5) Ы =Швеи! где обозначено (13.6) Мы опускаем здесь и ниже индекс нуль у равновесных значений термодинамических величин; ось е направлена вертикально вверх, а 0 есть угол между осью е и направлением 1с. Положительность выражения (13.6) обеспечивается условием устойчивости равновесного распределения я(е) (условием отсутствия конвекции, см. З 4).

Мы видим, что частота оказывается зависящей только от направления волнового вектора, но ие от его величины. При 0 = = О, !г получается ы = О; это означает, что волны рассматриваемого типа с волновым вектором, направленным вертикш1ьно, вообще невозможиы. 65 ВОлны ВО Вращающийся жидкООт'и 1 14 Если жидкость находится не только в механическом, но и в полном термодинамическом равновесии, то ее температура постоянна и можно написать: Наконец, воспользовавшись известными термодинамическими соотношениями тсплоемкость единицы массы жидкости), получим (ср (13.7) В частности, для термодинамически идеального газа эта форму- ла дает шо = —— (13.8) а/срТ Зависимость частоты от направления волнового вектора приводит к тому, что скорость распространения волны 11 = дьр/дй не совпадает по направлению с 14.

Представив зависимость Вр(14) в виде -="ГФГ (4р единичный вектор в направлении вертикально вверх) и произведя дифференцирование, получим а ~о~ ~( ~ ~ 11 (13. 9) шь где п = 14/к. Эта скорость перпендикулярна к вектору 14, а по величине равна Г = — — асовО. ь Ее проекция на вертикаль; 11и = — — "соВОВшО. ь я 14. Волны во вращающейся жидкости Другой своеобразный тип внутренних волн может распространяться в равномерно вращающейся как целое несжимаемой жидкости. Их происхождение связано с возникающими при вращении кориолисовыми силами.

3 Л. Д. Лаидау и Е.М. Лифшиц, том М1 идеАльнАя жидкое'!'ъ [14.1) Кориолисова же сила равна 2[чй], она появляется лишь при движении жидкости относительно вращающейся системы координат [ч скорость в этой системе). Перенеся этот член в левую часть уравнения Эйлера, напишем его в виде — + [!тт7)!г+ 2[йод] = — — т7Р.

д! Р (14.2) Уравнение же непрерывности сохраняет свой прежний вид, сводясь для несжимаемой жидкости к равенству г11тт! = О. Снова будем считать амплитуду волны малой и пренебрежем квадратичным по скорости членом в уравнении [14.2), которое примет вид — + 2[йод] = — — ~7р', д! Р (14.3) где р! -- переменная часть давления в волне, а р = сопв1. Сразу же исключим давление, применив к обеим частям уравнения [14.3) операцию го$.

Правая часть уравнения обра!цается в нуль, а в левой имеем, с учетом несжиь!аемости жидкости: го$ [Йъ] = Йг1!Еч — (Й~7)т! = — (Й~7)ч. Выбрав направление й в качестве оси е! запишем получающееся уравнение в виде — гоФА! = 2Й— д д д! д- [1 1 4) 14шеы решение в виде плоской волны Ае Π— !) [14.5) удовлетворяющей [в силу уравнения !11гт! = О) условию поперечности 1сл = О. [14.6) Будем рассматривать жидкость в системе координат, вращающейся вместе с ней. Как известно, при таком описании в механические уравнения движения должны быть введены дополнительные силы центробежная и кориолисова. Соответственно этому, надо добавить такие же силы [отнесенные к единичной массе жидкости) в правую часть уравнения Эйлера.

Центробежная сила может быть представлена в виде градиента !! [Йг]~/2, где й . вектор угловой скорости вращения жидкости. Этот член можно объединить с силой — !7р/р, введя эффективное давление 1 14 ВОлпы ВО ВРАщАющвйоя жидкости Подстановка [14.5) в уравнение (14.4) дает щ[1сч] = 2гйй,ч. (14. 7) Закон дисперсии волн полу. чается исключением ч из этого векторного равенства. Умножив его с обоих сторон векторно на 1с, переписываем его в виде — оэ')свч = 241И,[1сч] и, сравнив друг с другом оба равенства, находим искомую зависимость о1 от 1с п1 = 2й — = 2йсоэО, й.- й (14.

8) пк = а сов (сп2 — 1сг), пр — — — а вйп (оЛ вЂ” 1сг). Таким образом, волна обладает круговой поляризацией: в каждой точке пространства вектор ч вращается со временем, оставаясь постоянным по величине ') . Скорость распространения волны: 1З = — = — (и — п(пи)), д1с и (14. 9) где и --. единичный вектор в направлении Й, как и в гравитационных внутренних волнах, эта скорость перпендикулярна волновому вектору. Ке абсолютная величина и проекция на направление Й: Г = — в1п0, 1)и = — вш О = Пв|пО. 2П . 2П к к Рассмотренные волны называют и11ерциоипыл411.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее