VI.-Гидродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 12

— -1- — = О. дР' 1 деР' (3) д дгг Первое из уравнений (2) при подстановке (1) дает А = С вЂ” В, а два остальных условия дагот два уравнения для В и С, из условия совместности которых Гт!. ! идеАльнАя 2кидкооть получаем квадратное уравнение для а2 с корнями: (р — р'И вЂ” е "ь), г р->л'ч-(р — р')с "" При Ь,' -э сю эти корни соответствуют волнаы, распространяющил2ся независимо по поверхности раздела и по верхней поверхностн жидкости. 4. Определить собственные частоты колебаний !см. з б9) жидкости глубины 6 в прямоугольном бассейне ширины а и длины Ь. Р о ш е н и е.

Оси т и у выбираем по двум боковым сторонам бассейна. Ищем решение в виде стоячей волны: 22 = со !с12!!Ь2!2 +в)У(т у)' Для !' получаем уравнение — + — -~-Й )'=О, д'У д'У две дуе а условие на свободной поверхности прнводят,как и в задаче 1, к соотношению 2 уФЬЬЬЬ Решение уравнения для у" берем в виде ~ = соврясовд299 р -Ь о = й, 2 2,2 На боковых сторонах сосу.ца должны выполняться условия: дф с,,= — =О при я=о,а; дт дса — =О при у=О,Ь. ду Отсюда находим тя ох Р= 9= а Ь где ги, п - целые числа. Поэтому возможные значения и равны й 13. Внутренние волны в несжимаемой жидкости Своеобразные гравитационные волны могут распространяться внутри несжимаемой жидкости.

Их происхождение связано с вызываемой наличием поля тяжести неоднородностью жидкости: ее давление (а с ним и энтропия а) непременно будет меняться с высотой:, поэтому всякое смещение какого-либо участка жидкости по высоте приведет к нарушению механического равновесия! а потому к возникновению колебательного движения. Действительно, ввиду адиабатичности движения этот участок принесет с собой в новое место свое значение энтропии з, отличное от ее равновесного значения в этом месте. 63 1 уз внх тгвппив волны в нво>кимлвмой жидкости Мы будем ниже предполагать, что длина распространяющейся в жидкости волны мала по сравнению с расстояниями, на которых поле тяжести вызывает заметное изменение плотности ') . Саму жидкость мы будем при этом рассматривать как несжимаемую.

Это значит, что можно пренебречь изменением ее плотности, связанным с изменением давления в волне. Изменением же плотности, связанным с тепловым расширением, отнюдь нельзя пренебречь, так как именно оно определяет собой все явление. Выпишем систему гидродинамических уравнений для рассматриваемого движения. Будем отмечать значения величин в состоянии механического равновесия индексом нуль, а малые отклонения от этих значений в волне штрихом. Тогда уравнение сохранения энтропии з = во+ з' напишется с точностью до величии первого порядка малости в виде — + и'У'зо = О, дз' дс (13. Ц где зо, как и равновесные значения других величин, является заданной функцией вертикальной координаты з. Далее, в уравнении Эйлера снова пренебрегаем (в силу малости колебаний) членом (чЧ~М; учитывая также., что равновесное распределение давления определяется уравнением туро = роя, получим с той же точностью дч ь2р 27р' Tро — — +а= + .

Р дг Р Ро Рь Поскольку согласно сказанному выше изменение плотности свя- зано только с изменением энтропии, но не давления, то можно написать: и мы получим уравнение Эйлера в виде (13.2) Величину ро можно ввести под знак градиента, так как изменением равновесной плотности на расстояниях порядка длины ') Градиент плотности связан с градиентом давления равенством 1~ = (~— ") 1 р = .'-'1 ~, где с — скорость звука в жидкости. Поэтому из гидростатического уравнения з2р = ря имеем 12р = (р/с )я. Отсюда видно, что существеннов измвненио 2 плотности в воле тяжести происходит на расстояниях 1 с Я.

Для воздуха 1 10 км, для воды 1 200 км. 64 идеАльнАя жидкос'!'ъ волны мы, согласно сказанному выше, всо равно пренебрегаем. По этой же причине можно считать плотность постоянной и в у.равнении непрерывности, которое сводится при этом к (13.3) с11 = О. Будем искать решение системы уравнений (13.1Н13.3) в виде плоской волны: т = сопв1 ей ' и 1 и аналогично для е'и р'.Подстановка в уравнение непрерывно- сти (13.3) дает (13.4) т1г= О, т, с, скорость жидкости везде перпендикулярна к волновому век- тору (поперечная волна). Уравнения же (13.1) и (13.2) дают !'0Роа ! гь !ыв = чгуао, — ил!г = — ~ — ( е К вЂ” — Р.

Ро дЕО Р РО Условие 1ст! = О, примененное ко второму из этих равенств, при- водит к соотношению 1А р = ( — ) е (юг), и исключая затем из обоих уравнений !г и е', получим искомый закон дисперсии соотношение между частотой и волновым вектором: (13.5) Ы =Швеи! где обозначено (13.6) Мы опускаем здесь и ниже индекс нуль у равновесных значений термодинамических величин; ось е направлена вертикально вверх, а 0 есть угол между осью е и направлением 1с. Положительность выражения (13.6) обеспечивается условием устойчивости равновесного распределения я(е) (условием отсутствия конвекции, см. З 4).

Мы видим, что частота оказывается зависящей только от направления волнового вектора, но ие от его величины. При 0 = = О, !г получается ы = О; это означает, что волны рассматриваемого типа с волновым вектором, направленным вертикш1ьно, вообще невозможиы. 65 ВОлны ВО Вращающийся жидкООт'и 1 14 Если жидкость находится не только в механическом, но и в полном термодинамическом равновесии, то ее температура постоянна и можно написать: Наконец, воспользовавшись известными термодинамическими соотношениями тсплоемкость единицы массы жидкости), получим (ср (13.7) В частности, для термодинамически идеального газа эта форму- ла дает шо = —— (13.8) а/срТ Зависимость частоты от направления волнового вектора приводит к тому, что скорость распространения волны 11 = дьр/дй не совпадает по направлению с 14.

Представив зависимость Вр(14) в виде -="ГФГ (4р единичный вектор в направлении вертикально вверх) и произведя дифференцирование, получим а ~о~ ~( ~ ~ 11 (13. 9) шь где п = 14/к. Эта скорость перпендикулярна к вектору 14, а по величине равна Г = — — асовО. ь Ее проекция на вертикаль; 11и = — — "соВОВшО. ь я 14. Волны во вращающейся жидкости Другой своеобразный тип внутренних волн может распространяться в равномерно вращающейся как целое несжимаемой жидкости. Их происхождение связано с возникающими при вращении кориолисовыми силами.

3 Л. Д. Лаидау и Е.М. Лифшиц, том М1 идеАльнАя жидкое'!'ъ [14.1) Кориолисова же сила равна 2[чй], она появляется лишь при движении жидкости относительно вращающейся системы координат [ч скорость в этой системе). Перенеся этот член в левую часть уравнения Эйлера, напишем его в виде — + [!тт7)!г+ 2[йод] = — — т7Р.

д! Р (14.2) Уравнение же непрерывности сохраняет свой прежний вид, сводясь для несжимаемой жидкости к равенству г11тт! = О. Снова будем считать амплитуду волны малой и пренебрежем квадратичным по скорости членом в уравнении [14.2), которое примет вид — + 2[йод] = — — ~7р', д! Р (14.3) где р! -- переменная часть давления в волне, а р = сопв1. Сразу же исключим давление, применив к обеим частям уравнения [14.3) операцию го$.

Правая часть уравнения обра!цается в нуль, а в левой имеем, с учетом несжиь!аемости жидкости: го$ [Йъ] = Йг1!Еч — (Й~7)т! = — (Й~7)ч. Выбрав направление й в качестве оси е! запишем получающееся уравнение в виде — гоФА! = 2Й— д д д! д- [1 1 4) 14шеы решение в виде плоской волны Ае Π— !) [14.5) удовлетворяющей [в силу уравнения !11гт! = О) условию поперечности 1сл = О. [14.6) Будем рассматривать жидкость в системе координат, вращающейся вместе с ней. Как известно, при таком описании в механические уравнения движения должны быть введены дополнительные силы центробежная и кориолисова. Соответственно этому, надо добавить такие же силы [отнесенные к единичной массе жидкости) в правую часть уравнения Эйлера.

Центробежная сила может быть представлена в виде градиента !! [Йг]~/2, где й . вектор угловой скорости вращения жидкости. Этот член можно объединить с силой — !7р/р, введя эффективное давление 1 14 ВОлпы ВО ВРАщАющвйоя жидкости Подстановка [14.5) в уравнение (14.4) дает щ[1сч] = 2гйй,ч. (14. 7) Закон дисперсии волн полу. чается исключением ч из этого векторного равенства. Умножив его с обоих сторон векторно на 1с, переписываем его в виде — оэ')свч = 241И,[1сч] и, сравнив друг с другом оба равенства, находим искомую зависимость о1 от 1с п1 = 2й — = 2йсоэО, й.- й (14.

8) пк = а сов (сп2 — 1сг), пр — — — а вйп (оЛ вЂ” 1сг). Таким образом, волна обладает круговой поляризацией: в каждой точке пространства вектор ч вращается со временем, оставаясь постоянным по величине ') . Скорость распространения волны: 1З = — = — (и — п(пи)), д1с и (14. 9) где и --. единичный вектор в направлении Й, как и в гравитационных внутренних волнах, эта скорость перпендикулярна волновому вектору. Ке абсолютная величина и проекция на направление Й: Г = — в1п0, 1)и = — вш О = Пв|пО. 2П . 2П к к Рассмотренные волны называют и11ерциоипыл411.