VI.-Гидродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 13

Поскольку кориолисовы силы не совершают работы над движущейся жидкостью, заключенная в этих волнах энергия -- целиком кинетическая. 1 ) Напомним, что речь идет о движении по отношению к вращающейся системе координат! По отношению к неподвижной системе на это движение налагается еще и вращение всей жидкости как целого.

где О . —. утоп между 1с и Й. С учетом [14.4) равенство (14.7) принимает вид [пч] = 1ч, где п = 1с/й. Коли представить комплексную амплитуду волны как А = а + 1Ь с вещественными векторами а и Ь, то отсюда следует, что [пЬ] = а, векторы а и Ь (оба лежащие в плос- кости, перпендикулярной вектору 1с) взаимно перпендикулярны и одинаковы по величине.

Выбрав их направления в качестве осей ш и у и отделив в [14.5) вещественную и мнимую части, найдем,что 68 гт!. 1 идеАльнАя жидкое'!'ь 2(йч) = — — ЧР Р (14.10) или 2йив — — — —, 2йи = — — —, — = О, 1 дР 1дР дР р дт р др др где т, д декартовы координаты в плоскости, перпендикуляр- ной оси вращения.

Отсюда видно, что Р, а потому. и и, и„, не зависят от продольной координаты з. Дапее, исключив Р из двух первых уравнений, получим д.. д., — *+ —" =О, д* др после чего из уравнения непрерывности с11уч = О следует, что ди,??дз = О. Таким образом, стационарное движение (относи- тельно вращающейся системы координат) в быстро вращающей- ся жидкости представляет собой наложение двух независимых движений: плоского течения в поперечной плоскости и осевого движения, не зависящего от координаты з (1, Ргоиг?тип, 1916). Задачи 1. Определллть движение в осесимметричной волне, распространяющейся вдоль оси вращающейся как цеков несжимаемой жидкости ( Иг.

2"вотзоа, 1880). Р е ш е н и е. Введем цилиндрические координаты !, р, с с осью "вдоль вектора 1?. В осесимметри !ной волне все величины не зависят от угловой переменной !р. Зависимость же от времени и координаты дается множителем нида ехр (л(ая — !л?)). Раскрыв уравнение (14.3) в компонентах, получим 1 др' — лапе, — 21?ее = — — —, (1) Р д!' лй — гюе„-~-21?ю = О, — Л л!- = — — р. (2) Р Склда надо присоединить уравнение нопрерывпости 1 д — — (ге;) -~-Лкс, = О.

где (3) Особый вид инерционных осесимметричных (не плоских) волн может распространяться вдоль оси вращения жидкости см. задачу. В заключение сделаем еще одно замечание, относящееся к стационарным движениям во вращающейся жидкости, а не к распространению волн в ней. Пусть 1 характерный параметр длины такого движения, а и характерная скорость. По порядку величины член ~,чЧ~ч в уравнении (14.2) равен и2/1! а член 2?йн) йи.

Если и/(1й) «1, то первылл ьложно пренебречь по сравнению со вторым и тогда уравнение стационарного движения сводится к 69 *з 14 ВОлны ВО Вгащающвйоя гкидкОс.'"гн Выразив а„и р' через с„из (2) и (3) н подставив в (1), получим уравнение ~ар 1 У 4йгЙ2 , —:-- — + [, — Йг — — 1Р=О дгг г дт шг (4) для функции ГЯ, определяющей радиальную зависимость скорости е„ В„ = г 1г)е 1 Решение этого уравнения, обращающееся в нуль прн г = О, есть 4й Г = сопэс Л Йг — 1 ага 114.11) 4й' где хы тг, ., — последовательные нули функции Л1я). На этих поверхностях е„= О; другими словами, жидкость никогда не пересекает их.

Отметим, что для рассматриваемых волн в неограниченной жидкости частота ю не зависит от Й. Возможные значения частоты ограничены, однако, условием ю ( 2й; в противном случае уравнение (4) не имеет решения, удовлетворяющего пеобходимылг условиям конечности. Если же вращающаяся жидкость ограничена цилиндрической стенкой (радиуса В), то должно быть учтено условие с, = О на стенке. Отсюда возникает соотношение 4йг Йа~ — 1 =я ,г устинавливагощее связь между аг и Й для волны с заданным значением и (т.

е. числом коаксиальных областей в ней). 2. Получить уравнение, описывающее произвольное малое возмущение давления во вращающейся жидкости. Р е ш е н и е. Уравнение (14.3), расписанное в компонентах, дает дс, 1 др' даэ 1 др' дс, 1 др' — ' — 2йсг — — — — —, —" — 2йе, = — — —, (1) дс р дг ' дс р дт ' дс р дг Продифференцировав эти три уравнения соответственно по х, у, и саожив их с учетом уравнения 41т ч = О, получим Дифференцирование этого уравнения по 1, снова с учетом уравнений (1), дВет 1д, где: — — гэр' = 4й =, рд1 дг где Хг — функция Бесселя порядка 1.

Вся картина движения в волне распадается на области, ограниченные коаксиальными цилиндрическими поверхностями с радиусами г„, определяемыми равенствами 70 гз!. ! идвяльная !кидкость а еще одно дифференцирование по ! приводит к окончательному уравнению ооз де — Ьр' ->4П' = 0. л!в 0 в (2) Для периодических возмущений с частотой ы это уравнение сводится к + ~1 — / =О. ивв Ду! 1 !о! ) лз! (3) Для волн вида (14.5) отсюда получается, разумеется, уже известное дисперсионное соотношение (14.8); нри этом !л ( 2П и коэффициент при двр'/дз~ в уравнении (3) отрицателен.

Возмущения из точечного источника распространяются вдоль образующих конуса с осью вдоль й и углом раствора 2в, где вше = ы/2П. При а! ) 2й коэффициент при д~р'/дав в уравнении (3) положителен, и путем очевидного изменения масштаба вдоль оси з оно приводится к уравнению Лапласа. Влияние точечного источника возмущений простирается в этом случае по всему объему жидкости, причем убывает при удалении от источника по степенному закону. ГЛАВА П ВЯЗКАЯ 2КИДКОСТЬ й 15. Уравнения движения вязкой жидкости Мы переходим теперь к изучению влияния, которое оказывают на движение жидкости происходящие при движении процессы диссипации энергии.

Эти процессы являются выражением всегда имеющей место в той или иной степени термодинамической необратимости движения, связанной с наличием внутреннего трения (вязкости) и теплопроводпости. Для того чтобы получить уравнения, описывающие движение вязкой жидкости, необходимо ввести дополнительные члены в уравнение движения идеальной жидкости. с1то касается уравнения непрерывности, то оно, как явствует из самого его вывода, относится в равной мере к движению всякой жидкости, в том числе и вязкой. Уравнение же Эйлера должно быть изменено. Мы видели в з 7, что уравнение Эйлера может быть написано в виде д дП» — Рпг д1 дв» где П;ь — тензор плотности потока импульса.

Поток импульса, определяемый формулой (7.2), представляет собой чисто обратимый перенос импульса, связанный просто с механическим передвижением различных участков жидкости из одного места в другое и с действующими в жидкости силами давления, Вязкость (внутреннее трение) жидкости проявляется в наличии еще дополнительного, необратимого, переноса импульса из мест с болыпей скоростью в места с меныпей. Поэтому уравнение движения вязкой жидкости можно получить, прибавив к «илсальномуэ» потоку импульса (7.2) дополнительный член и,'.ы определяющий необратимый, «вязкий», перенос импульса в жидкости.

Таким образом, мы будем писать тензор плотности потока импульса в вязкой жидкости в виде П,ь = рд,ь+ рп,пь — о;~л — — — о,ь+ рп;пь. (15.1) Тснзор <т,ь = — рд,л + о.',.ь (15.2) называют гпензором напряжений,, а о;~„— вязким ьаензором напряжений. Тензор и;ь определяет ту часть потока импульса, ко- ВязкАя .кидког'ть гл и торая не связана с непосредственным переносом импульса вь|есте с массой передвигающейся жидкости ') . Установить общий вид тензора о,'в можно, исходя из следующих соображений.

Процессы внутреннего трения в жидкости возникают только в тех случаях, когда различные участки жидкости движутся с различной скоростью, так что имеет место движение частей жидкости друг относительно друга. Поэтому о;~ь должно зависеть от производных от скорости по координатам.

Если градиенты скорости пе очень велики, то можно считать, что обусловленный вязкостью перенос импульса зависит только от первых производных скорости. Самую зависимость о,'.Ь от производных де;/дхь можно в том же приближении считать линейной. Не зависящие от де,,1'дхь члены должны отсутствовать в выражении для о „, поскольку сг,' должны обратиться в нуль при ч = сопвг.

Далее замечаем, что о,'ь должно обращаться в нуль также и в том случае, когда вся жйдкость как целое совершает равномерное вращение, поскольку ясно, что при таком движении никакого внутреннего трения в жидкости не происходит. При равномерном вращении с угловой скоростью й скорость ч равна векторному произведению ~йг). Линейными комбинациями производных де,11дхь, обращающимися в нуль при ч = ~йг), являются суммы Поэтому о,'ь должно содержать именно эти симметричные комбинации производных де,,/дхы Наиболее общим видом тензора второго ранга, удовлетворяющего этим условиям, является 1ггь — — 11~ ' + — — — б;в — 1~ + ~бц,— ( де, деь 2 де1 ~ де1 (15.3) ~ дхг дх, 3 дх1 / дх1 с независящими от скорости коэффициентами ц и 1',; в этом утверждении использована изотропия жидкости, вследствии которой ее свойства как таковой могут характеризоваться лишь скалярными величинами (в данном случае ц и 1',).

Члены в (15.3) сгруппированы таким образом., что выражение в скобках дает нуль при свертывании (т. е. при суммировании компонент с г = 1с). Величины 11 и 1', называют козффицие11тами вязкости (причем 1', часто называют второй вязкость1о). Как будет ) Мы увидим ниже, что и,'1 содержит член, пропорциональный 6,ь, т.