VI.-Гидродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 4

Из условия р = Ро при я = 6 имеем сопв$ = ро + рд 6, так что (3.2) Р = Ро + Рй),6 — з) 20 Гл. 1 ИДЕАЛЬНАЯ >КИЛКОС'!'Ъ Для болыпих масс жидкости или газа плотность р нельзя, вообще говоря, считать постоянной; это в особенности относится к газам (например, к воздуху). Предположим, что жидкость на- ходится не только в механическом, но и в тепловом равновесии. Тогда температура одинакова во всех точках жидкости, и урав- нение (3.1) может быть проиптегрировано следующим образом.

Воспользуемся известным термодинамическим соотношением !1Ф = — я!1Т+ к'!4р, где Ф-- термодинамический потенциал, отнесенный к единице массы жидкости. При постоянной температуре с1Ф = Ъ др = — !!р. Р 1 Отсюда видно, что выражение ->7р можно написать в рассма- Р триваеыол! случае как ~7Ф, так что уравнение равновесия (3.1) принимает вид !7Ф = я. Для постоянного вектора я, направленного вдоль оси е (в отрицательном ее направлении), имеет место тождество к= ~(а' ). Таким образом, !7(Ф+ яг) = О, откуда находим, что вдоль всего об"ьема жидкости должна быть постоянной сумма Ф + де = сопвь:; (3.3) яе представляет собой потенциальную энергию единицы массы жидкости в поле тяжести.

Условие (3.3) известно уже из статистической физики как условие термодинамического равновесия системы, находящейся во внешнем поле. Отметим здесь еще следующее простое следствие из уравнения (3.1). Если жидкость или газ (например, воздух) находятся в механическом равновесии в поле тяжести, то давление в них может быть функцией только от высоты е (если бы на данной высоте давление было различно в различных местах, то возникло бы движение). Тогда из (3.1) следует, что и п;ютность Р= г4Р (3.4) Я !1А тоже является функцией только от г.

Но давление и плотность однозначно определяют температуру в данной точке тела. Следовательно! и температура должна быть функцией только от ж 21 УС 'ГОВИВ ОТОУТОТВИЯ КОИВВКЦИИ Таким образом, при механическом равновесии в поле тяжести распределение давления, гглотности и температуры зависит только от высоты. Если же, например, температура различна в разных местах жидкости на одной и той же высоте, то механическое равновесие в ней невозможно. Наконец, выведем уравнение равновесия очень большой массы жидкости, части которой удерживаются вместе силами гравитационного притяжения (звезда). Пусть ~р ньютоновский гравитационный потенциал создавасмого жидкостью поля. Он удовлетворяет дифференциальному уравнению .Вир = 4яСр., 13.

5) где С гравитационная постоянная. Напряженность гравитационного поля равна йгаг1~р, так что сила, действующая на массу р, есть — рягаг1~р. Поэтому. условие равновесия будет ягаг1 р = — р ягаг1 ~р. Разделив это равенство на р, применив к обеим его частям операцию г11у и воспользовавшись уравнением (3.5), получим окончательное уравнение равновесия в виде г1гпг( — ягаг1р) = — 4ггСр. /1 13.

6) р Подчеркнем, что здесь идет речь только о механическом равновесии; существование же полного теплового равновесия в уравнснии 13.6) отнюдь нс предполагается. Если тело не вращается, то в равновесии оно будет иметь сферическую форму, а распределение плотности и давления в нем будет центрально-симметричным. Уравнение (3.6), написанное в сферических координатах, примет при этом вид —,— ( —" — ") = — 4ггСр.

г~гГа р В 13. 7) 3 4.Условие отсутствия коивекции Жидкость может находиться в механическом равновесии 1т. е. в пей может отсутствовать макроскопическое движение), пе находясь при этом в тепловом равновесии. Уравнение 13.1), являющееся условием механического равновесия, может быть удовлетворено и при непостоянной температуре в жидкости. При этом, однако, возникает вопрос о том, будет ли такое равновесие устойчивым. Оказывается, что равновесие будет устойчивым лишь при выполнении определенного условия. Если это условие не выполняется, то равновесие неустойчиво, что приводит к появлению в жидкости беспорядочных течений, стремящихся перемешать жидкость так, чтобы в ней установилась постоянная ГА!.

! ИДЕАЛЬНАЯ >КИДКОС'!'Ь температура. Такое движение носит название конвскцин. Условие устойчивости механического равновесия является, другими словами, условием отсутствия конвекции. Опо может быть выведено следующим образом. Рассмотрим элемент жидкости, находящийся на высоте е и обладающий удельным объемом Ъ'(р, в), где р и в.-- равновесные давление и энтропия на этой высоте. Предположим., что этот элемент жидкости подвергается адиабатическому смещению на малый отрезок ~ вверх; его удельный объем станет при этом равным»'(р', в), где р' давление на высоте е+~. Для устойчивости равновесия необходимо (хотя, вообще говоря, и не достаточно), чтобы возникающая при этом сила стремилась вернуть элемент в исходное положение.

Это значит., что рассматриваемый элемент должен оказаться более тяжелым, чем «вытесненная» им в новом положении жидкость. Удельный объем последней есть Г(р', я'), где я' равновесная энтропии жидкости на высоте е+ ~. Таким образом, имеем условие устойчивости $'(р', в') — ~'(р', в) > О.

Разлагая зту разность по степеням ! !!» 4» получим (4.1) Согласно термодинамическим формулам ил!сем где ср удельная теплоемкость при постоянном давлении. Теплоемкость ср, как и температура Т, есть величина всегда положительная; поэтому мы можем переписать (4.1) в виде (4.2) Болыпинство веществ расширяется при нагревании, т, е. () д1"! — ) > О, тогда условие отсутствия конвекции сводится к неравенству (4.3) — >О, 4» т. е.

энтропия должна возрастать с высотой. 23 УРАВ1!ЕНИЕ БЕРНУЛЛИ Наконец, подставив согласно (3.4) 11Р й' 11к получим ат 00т пя ср (4.4) где 1з = — ( — ) температурный коэффициент раси|прения. Если речь идет о равновесии столба газа, который можно считать идеальным (в термодинал1ическом смысз1е ш1ова), то РТ = 1 и условие (4.4) принимает вид ат а (4.5) <4к ср Конвекция наступает при нарушении этих условий, т, е, если тем- пература падает по направлению снизу вверх, причем ее гради- ент превышает по абсолютной величине указанное в (4.4), (4.5) значение ') . 3 5. Уравнение Бернулли Уравнения гидродинамики заметно упрощаются в случае стационарного течения жидкости.

Под с1пационарнв1м (или успзановивпзимся) подразумевают такое течение, при котором в каждой точке пространства, занятого жидкостью, скорость течения ОСтаЕтСЯ ПОСтОЯННОй ВО ВРЕМЕНИ. ДРУГИМИ СЛОВакзн, тг ЯВЛЯЕТСЯ функцией одних только координат, так что дзр7 дг = О. Уравнение (2.10) сводится теперь к равенству — 5га11 и — ~прго$ тр~ = — 5га11 пз. 1 2 2 (5.4) Введем понятие о линиях тока как линиях, касательные к которым указывают направление вектора скорости в точке касания ) Для воды при 20 'С значение в правой части (4.4) составляет около 1' на 6,7 км; для воздуха значение в правой части (4.5) составляет около 1' на 100 метров.

Отсюда легко найти условие, которому должен удовлетворять ат ~Ь градиент температуры —. Раскрыв производную —, пишем дк 14Е 24 идеальная жидкость Гт!. 1 е — + и = сопв1. 2 (5.3) Значение сопв1, вообп1е говоря, различно для разных линий тока. Уравнение (5.3) называют уравнением Бернулли ') . Если течение жидкости происходит в поле тяжести, то к правой части уравнения (5.1) надо прибавить сп1е ускорение свободного падения я. Выберем направление силы тяжести в качестве направления оси в! причем положительные значения е отсчитываются вверх.

Тогда косинус угла между направлениями я и 1 равен производной — !1е!!Ж, так что проекция я на 1 есть аж. Соответственно этому будем иметь теперь — ( — +и+де) =О. ') Оно было установлено для несжимаемой жидкости (са!. 1 10) Д. Бернулли в 1738 т.

в данный момент времени; они определяются системой дифференциальных уравнений (5.2) При стационарном движении жидкости линии тока остаются неизменными во времени и совпадают с траекториями частиц жидкости. При нестационарном течении такое совпадение, разумеется, нс имеет места; касательные к линии тока дают направления скорости разных частиц жидкости в последовательных точках пространства в определенный момент времени! в то время как касательные к траектории дают направления скорости определенных частиц в последовательные моменты времени. Умпожим уравнение (5.1) на единичный вектор касательной к линии тока в каждой ее точке: этот единичный вектор обозначим 1.

Проекция градиента на некоторое направление равна, как известно, производной, взятой по этому направлению. Поэтому искомая проекция от йгас)и есть ди!!д1. Что касается вектора ~птгоФ и1, то он перпендикулярен к скорости и, и потому его проекция па направление 1 равна нулю. Таким образом, из уравнения (5.1) получаем — ( — +и) =О.

2 Отсюда следует, что величина — + и постоянна вдоль линии 2 тока: 25 ПОТОК ЭИЕРГИИ Таким образом, уравнение Бернулли гласит, что вдоль линий тока остается постоянной сумма Ю1 — + п1 + й'е = сопв$. (5.4) 2 й 6. Поток энергии Выберем какой-нибудь неподвижный в пространстве элемент объема и определим, как меняется со временем энергия находящейся в этом объеме жидкости. Энергия единицы объема жидкости равна Р +Ре 2 где первый член есть кинетическая энергия, а второй внутренняя энергия (е внутренняя энергия единицы массы жидкости).

Изменение этой энергии определяется частной производной д~(2 ) Для вычисления этой величины пишем д рг п др де — — = — — + ров д~ 2 2 д~ д~ или, воспользовавшись уравнением непрерывности (1.2) и уравнением движения (2.3), дрю ю — — = — — йг рч — ч игам р — рч(м'гу)ч. д1 2 2 В последнем члене заменяем тт(чЧ)» = 11~2)чЧ11',. а градиент давления согласно термодинамическому соотношению г)ю = = Т<Ь+ г1р(р заменяем на РФш — РТЧЕ и получаем д Рп р г'~ — — = — — сЫ рч — рч'гУ п1 + — ( + РТ Мв. д2 2 2 2 Для преобразования производной от Р» воспользуемся термодинамическим соотношением Йе = ТгЬ вЂ” р(Л' = ТсЬ+ — 11Р.