VI.-Гидродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 142

Ввиду этого ттления кригпических скоростей уравнения гидро- динамики сверхтекучего гелия обладают реальным физическим (ры рз давления в обоих сосудах). В дальнейшем мы будем понимать под химическим потенциалом р, не термодинамический потенциал, отнесенный к одной частице (атому), как это обычно принято, а термодинамический потенциал, отнесенный к единице массы гелия; оба определения отличаются лишь постоянным множителем -- массой атома гелия. Если давления рм рз малы, то, разлагая по их степеням и помня, что (д1т/др)т есть удельный объем (слабо зависящий от температуры), получаем 710 гидгодинлмикл сввгхтккхчвй жидкости гл хш смыслом лишь для не слишком болыпих скоростей н, и зг„') .

Тем не менее мы проведем сначала вывод этих уравнений, не делая никаких предположений о скоростях н«и нп, так как при пренебрежении высшими степенями скоростей теряется возможность последовательного вывода уравнений, исходя из законов сохранения. Переход к физически интересному случаю малых скоростей будет произведен в получающихся окончательных уравнениях.

Обозначим буквой 3 плотность потока массы жидкости; эта величина является в то же время импульсом единицы ее объема (ср. примеч. на с. 275). Напишем 3 в виде суммы (139.1) 1 = Р,зг, + р„зг„ потоков, связанных соответственно с сверхтекучим и нормальным движениями. Коэффициенты р, и р„можно назвать сверх- текучей и нормальной плотностями жидкости.

Их сумма равна истинной плотности р гелия П: (139.2) Р = Р« + Рп. Величины р, и р„являются, разумеется, функциями температуры; ра обращается в нуль при абсолютном нуле, когда гелий П «целиком сверхтекуч» э), а р«обращается в нуль в Л-точке, когда жидкость становится «целиком нормальпойэ.

Плотность р и поток 3 должны удовлетворять уравнению непрерывности (139.3) выражающему закон сохранения массы. Закоп сохранения импульса представляется уравнением вида (139 А) ж ат, где П,ь тензор плотности потока ихшульса, ) Существование предельной скорости сверхтекучего движения следует уже из микроскопической теории — конкретная форма энергетического спектра элементарных возбуждении в гелии П приводит к нарушению условия сверхтекучести Ландау при больших скоростях (см.

1Х, З 23). Фактически наблюдающиеся критические скорости, однако, гораздо меныпе этого предельного значения, причем зависят от конкротных условий течения (так, для течения по тонким капиллярам или щелям они больше, чем для движений в болыпих объемах). Физическая природа этих явлений состоит в возиикноввпии квантованных вихревых кОлец;такОгО жс рода вихревые нити (но прямолинвйные) вОЗникают при вращЕнии жидкОго гЕлия в цилиндрическом сосуде (см. 1Х, з 29).

В этой главе эти явления не рассматриваются. е) Если гелий Н содержит примесь постороннего вещества (таковым фактически может являться изотоп Не), то р остается отличным от нуля и з при абсолютном нуле. 1 ьза ввлвввиии т идеодиилмики свввхтвкх чай жидкости 711 Мы не будем рассматривать пока диссипативных процессов в жидкости; тогда движение обратимо и должна сохраняться также и энтропия жидкости. Имея в виду, что поток энтропии равен рьч„, напишем уравнение сохранения энтропии в видо — + Жв(рвхгв) = О.

д0 в) д1 (139.5) К уравнениям (139.3) — (139.6) должно еще быть добавлено уравнение, определяющее производную по времени от скорости ч, Это уравнение должно быть составлено таким образом, чтобы обеспечить сохранение со временем потенциальности движения: это значит, что производная тг» должна выражаться в виде градиента некоторого скаляра. Мы напишем это уравнение в виде д, +~7(„~+р) (139.6) — +Жги = О, дЕ д1 (139.

7) где Š— энергия единицы обьема жидкости и С~ плотность потока энергии. При~щип же относительности Галилея дает возможность определить зависимость всех величин от одной из скоростей (и,) при заданном значении относительной скорости т — чв обоих одновременно происходящих в жидкости движений.

Введем наряду с исходной системой координат К еще и другую систему, Ко, в которой скорость сверхтекучего движения данного элемента жидкости равна пулю. Система Ко движется относительно системы Х со скоростью, равной скорости ч, сверх- текучего движения в исходной системе. Значения всех величин в системе К связаны с их значениями в системе Ко (которые мы отличаем индексом нуль) следующими известными из механики где 1л некоторый скаляр.

Уравнения (139.4) и (139.6) приобретут реальньпл смысл, разумеется, лишь после того, как будет установлен вид пока не определенных величин П,ь и 1л. Для этой цели надо использовать закон сохранения энергии и соображения, основанные на принципе относительности Галилея. Именно, необходимо, чтобы гидродинамические уравнения (139.3) -(139.6) автоматически приводили к выполнению закона сохранения энергии, выражающегося уравнением вида 712 гидгодинлмикл сввехтвкхчвй жидкости гл хю формулами преобразования '): 3 Ртг.

+30; Е +Ъои. + Ео, и >.' Ч = ( — ' + бона + Ео) ча + — 'Зо + (Пома) + Мог Пгй Рплгпгл. + пвгУОь + пай,ггОг + Погй (139.8) где и химический потенциал (тсрмодинамический потенциал единицы массы). Первые два члена соответствуют обычному термодинамическому соотношению для дифференциала энергии неподвижной жидкости при постоянном (здесь — равном единице) объеме, а последний член выражает тот факт, что производная от энергии по импульсу есть скорость движения. Иьгпульс 30 (плотность потока массы в < истеме Ло) есть, очевидно, просто 10 = Рп(тгп — И,) (первая из формул (139.8) при этом совпадает с (139.1)).

Ход дальнейших вычислений состоит в следующем. В уравнение сохранения энергии (139.7) подставляем Е и ( ~ из (139.8), ) Эти формулы являются непосредственным следствием принципа относительности Галилея и потому справедливы вне зависимости от того, о какой именно конкретной системе идет речь. Их можно вывести, рассмотрев, например, обычную жидкость. Ч'ак в обычной гидродинамике тензор плотности потока импульса есть П,ь = ре,ел+ рбгж Скорость жидкости ч в системе К связана со скоростью те в системе Ко через т = те + и, где и — скорость системы Ке относительно системы К. Подстановка в П,г дает П ь = рб ь + рос,еоь + рое иь + ри,оег + ри,иь. Введя Поп = рб ь+ рее еаь и 1е = рте г получим указанную в тексте формулу преобразования для тензора П,г. Остальные формулы получаются аналогичным образом.

(ЗДЕСЬ (Пома) ОбОЗНаЧаЕт ВЕКтОр С КОМПОНЕНтаМИ Погйвал). В системе КО данный элемент жидкости совершает лишь одно движение нормальное движение со скоростью зги — жю Поэтому все относящиеся к этой системе величины 10, ЕО, ьбо, Посв могут зависеть лишь от разности ип — жю а не от каждой из скоростей ип, ив в отДельности; в частности, вектоРы 30 и ЧО Должны быть направлены вдоль вектора лги — и,.

Такиы образомг формулы (139.8) определяют зависимость искомых величин от тг, при заданном тгп — мв Энергия ЕО, рассматриваемая как функция от р, в и импульса 30 единицы обьема жидкости, удовлетворяет термодинамическому соотношению ЙЕО = 1гдр+ ТЙ(рв) + (тгп — тг,) с()0, 1 ьзо чвлшюиии г идгодигглмики сиктхтвкх чай жидкости 713 причем производная ДЕо(д1 выражается через производные от рг ро и бо согласно (139.9). После этого все производные по времени (р, чх и др.) исключаем с помощью гидродинамических уравнений (139.3) -(139.6).

Довольно громоздкие вычисления приводят, после значительных сокращений, к следугощему результату: — Погь " + и, Погв+ рМ«ч, — ъ'1«гр+ р„ч«(ччг«)ч + дгп д дха дхг + А1ч (гч(Тра+ рпр)) + (р„— ра)гл«гг7(гр — р) = г11ч С3о, здесь фигурирующий в (139.6) скаляр временно обозначен через гр (вместо р), и для сокращения записи обозначено ч« = чп — ч,; кроме того, введено обозначение р = — Ео + Тра + рр+ р„(чп — ч,), (139.10) Яо = (Тра+ рпр)гч+ рпиг хч, 2 Поги = рб.ь + рпго«гоы Подставив теперь эти выражения в формулы (139.8)г получим следующие окончательные выражения для плотности потока энергии и тснзора плотности потока импульса: ,,2 х Я = (1г + — ")3 + ТРочп + Рпчпгчп, чп — ч,), (139.11) (139.12) Пг«г = рггопгопл + ргогггггь + Рбгпм Выражение (139.12) имеет вид, являющийся естественным обобщением формулы Пгв = ро;оь + рбгв обычной гидродинамики.

При этом величину р, определенную согласно (139.10), естественно рассматривать как давление жидкости: в полностью покоящейся жидкости выражение (139.10) совпадает, разумеется, с обычным определением, так как Ф = рр становится обыч- смысл которого выяснится ниже. Это уравнение сохранения энергии должно удовлетворяться тождественно. При этом Яо, По, гр должны зависеть липгь от термодинамических переменных и от скорости гч, но не от каких-либо градиентов этих величин (поскольку мы пе рассматриваем диссипативных процессов).

Эти условия определяют выбор выражений для Яо, По, гр однозначным образом. Прежде всего, надо положить гр = р, т. е. фигурирующий в уравнении (139.6) скаляр совпадает с химическим потенциалом жидкости, определенным согласно (139.9) (именно поэтому мы заранее обозначили его буквой р). Для остальных же величин надо положитьи 714 !'ид!РОдиилыи!Сл свьехгвкччвй жидкОсти гл х»1 ным термодинамическим потенциалом единицы объема жидкости ') .