VI.-Гидродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 145

Путем простого преобразования с использованием термодинамических соотношений этому уравнению можно придать вид РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТККУЧКЙ ЖИДКОСТИ 723 1 141 следующие выражения для скоростей звука; (141.8) и др и ср„ Одна из них, и1, почти постоянна, а другая, и2, сильно зависит от температуры., обращаясь вместе с рв в нуль в Л-точке ') . Вблизи Л-точки, однако, коэффициент теплового расширения не мал и пренебрегать разницей между с„и се нельзя. Чтобы получить формулу для и2 в этом случае, следует опустить второй член в квадратной скобке в (141.7) (содержащий рв) и член и4, который в этом случае мал (так как и2 стремится к нулю). Кроме того, можно положить рп р. В результате получим (141.9) СРР Для скорости же и1 получается формула (141.8), где под др/др следует понимать (др/др)„т.

е, обычная формула для скорости звука. По поводу формулы (141.9) следует заметить, что она, при- менима лишь при достаточно низких частотах тем более низ- ких, чем ближе жидкость находится к Л-точке. Дело в том, что (как было уже упомянуто в примеч. на с. 715) вблизи Л-точки неограниченно возрастает время релаксации т параметра поряд- ка; формула (141.9), пе учитывающая дисперсии и поглощения звука, справедлива лишь при условии озтсь,1.

Что касается скоро- сти и1, то вблизи Л-точки появляется дополнительное затухание, связанное с релаксацией параметра порядка —. в соответствии с общими утверждениями в 2 81. При самых низких температурах, когда почти все элементар- ные возбуждения в жидкости являются фононами, величины рн, с, в связаны друг с друтом соотношениями в) сТ с=За, р„= —,р, зн, а рв р. Подставив эти выражения в формулу (141.8) для и2, найдем ив = п1/Л.

Таким образом, при стремлении температуры к нулю скорости и1 и и2 стремятся к постоянным пределам, причем так, что их отношение стремится к ~/3. ') 0 распространении. звука в смесях жидкого Не с Не — см. гл. ХН1 указанное на с. 717 книги И.М. Халатникова. в ) Их легко получить из формул для термодинамических величин гелия Н, приведенных в 1Х, З 22, 23.

724 гидРодинаыикл сввРхтекучвй жидкости Г«1 ХУ! Для лучшего выяснения физической природы обоих видов звуковых волн в гелии П рассмотрим плоскую звуковую волну (Е.М. Лифшиоо 1944). В такой волне скорости ов, ои и переменные части Т', р' температуры и давления пропорциональны друг другу.

Введем коэффициенты пропорциональности согласно и„= айю Р = Ьо„Т = согн (141.10) Простое вычисление с помощью уравнений (141.1) — (141.б)1 произведенное с должной степенью то шости, дает др иги2 2 2 дТгг, 2 141.11 гг„вр (и, — 'иг) 2(иг — иг) ' 2 гдо здесь Д = — — — температурный коэффициент расширения; р дТ ввиду его малости величины, содержащие )з! малы по сравнению с соответствующими величинами, не содержащими )з.

Мы видим, что в звуковой волне первого типа и„- мю т. е. в такой волне в каждом элементе объема жидкость колеблется в первом приближении как целое; нормальная и сверхтекучая массы движутся вместе. Естественно, по эти волны соответствуют обычным звуковым волнам в обычных жидкостях. В волне же второго типа имеем и — — Розг„т. е.

полная плот- Р ность потока вещества ) = Р«хга + Ггитги О. Таким образом, в волне второго звука сверхтокучая и нормальная массы жидкости колеблются навстречу друг друту, так что в первом приближении их центр инерции в каждом элементе объема остается неподвижным и суммарный поток вещества отсутствует. Ясно, что этот вид волн специфичен для сверхтекучей жидкости. Между обоими видами волн имеется и другое существенное отличие, видное из формул г'141.11).

В звуковой волне обычного звука амплиту.да колебаний давления относительно велика, а амплитуда колебаний температуры мала. Напротив, в волне второго звука относительная амплитуда колебаний температуры велика по сравнению с относительной амплитудой колебаний давления. В этом смысле можно сказать, что волны второго звука представляют собой своеобразные незатухающие температурные волны ') . 1 ) Они не имеют, разумеется, ничего общего с затухающими «температурными волнамигг в обычной теплопроводящей среде Я 52).

РАОВРОСТРАняние 3ВукА В СВВРх> ккучкя жидкое ги 725 1 141 В приближении, в котором тепловым расширением пренебрегается вовсе, волны второго звука представляют собой чисто температурные колебания (с 3 = О), а волны первого звука —. колебания давления (с уВ = КВ). Соответственно этому их уравнения движения полностью разделяются: в уравнении (141.6) пишем В' = сТ'7Т и получаем и~ ~ЬТ д14 (141.12) а в уравнении (141.5) полагаем р' = — Рр' и получаем д>> = и>ЬР . (141.13) С описанными свойствами звуковых волн в гелии П тесно связан и вопрос о различных способах их возбуждения (Ь',М. Ли>;6- шиц., 1944). Обычные механические способы возбуждения звука (колеблющит>ися твердыми телами) крайне невыгодны для получения второго звука в том смысле, что интенсивность излучаемого второго звука ничтожно мала по сравнению с интенсивностью одновременно излучаемого обычного звука.

В гелии П возможны> однако, и другие, специфические для него способы возбуждения звука. Таково излучение твердыми поверхностями с периодически меняющейся температурой; интенсивность излучаемого второго звука оказывается здесь большой по сравнению с интенсивностью первого звука, что естественно ввиду указанного выше различия в характере колебаний температуры в этих волнах (см. задачи 1 и 2).

При распространении волны второго звука болыпой амплитуды его профиль постепенно деформируется в резулыате эффектов нелинейности, и это приводит в конце копцов к возникновению разрывов как и для обычного звука в обычной гидродинамике (ср. з 101, 102). Рассмотрим эти явления для одномерной бегущей волны второго звука (О.М. Хпу>атников, 1952). В одномерной бегущей волне все величины (р> р, Т, ВР> ип) могу> быть выражены в виде функций от одного параметра, в качестве которого может быть выбрана, например. одна из самих этих величин Я 101).

Скорость Г> перемещения точки профиля волны равна производной >зт,1>41, взятой при определенном значении этого параметра. Производные по координате и времени от каждой величины связаны друг с другом соотношением д/дг = = — ад,1дх. Вместо скоростей и, и и„будет удобнее пользоваться величинами и = у>>р и и> = И — ВА; выбираем такую систему координат, в которой скорость и в данной точке профиля волны равна нулю. Гидродипамические уравнения (139.3)-(139.6) (с П, р, р, в из 726 1"идРОдиилмикл Овеех'текучей жидкости ГЛ ХУ! формул (139.12) — (139.15)) приводят к следующей системе урав- нений: -77— ~ 'р' — ггр2 — ' — "" '+ (141.14) др др р р + 2 юи! — При — О (141.15) Р [ — р(7 — '+ю — (рвв)]Т + ею — 'р +! раа — батю "]ю = О, дв д 1 1 др, ! 1 др„1 дТ дТ др ' дТ (141.16) ] дт — [77р+ юр,)и' = О. (141.17) Здесь опущены все члены выше второго порядка малости, а так- же все члены, содержащие коэффициент теплового расширения; штрих означает везде дифференцирование по параметру ') .

В волне второго звука относительная амплитуда колебаний р и н мала по сравнению с амплитудами Т и нг; поэтому можно опу- стить также и члены, содержащие юр', юн . Для определения (г' достаточно рассмотреть уравнение (141.16) и разность уравне- ний (141.15) и (141.17). Условие совместности получающихся та- ким образом двух линейных уравнений для Т' и ю' приводит к квадратному уравнению ри(г' — — 77ю[ " "— ' — 20 "] — ркв = О, 2 дв 14р,р„дв др„1 дг р дТ дТ [ откуда Г = и2+ и!( — ' —— /2р, вТ др„~ р рсдТ ЗдЕСь и2 мветнОЕ ЗначЕниЕ СкОрОСти втОрОгО Звука, мЕняЮщЕ- еся от точки к точке профиля волны вместе с отклонением 5Т температуры от ее равновесного значения. Разлагая и2 по степеням 6Х, получим и2 = П20 + (!Т = п20 + „ю, диг диг р„,иг дТ дТ рв где и20 равновесное значение и2.