VI.-Гидродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 144

Оно дается утверждением о том, что примесь 1Не' ) принимает участие только в нормальном дви- 3 женин, т, е, 1 = Рстгв ) . й 140. Диссипативные процессы в сверхтекучей жидкости Для учета диссипативных процессов в уравнениях гидродинамики сверхтекучей жидкости надо (как и в обычной гидродинамике) ввести в них дополнительные члены, линейные по пространственным производным скоростей и температуры. Вид этих членов может быть установлен однозначным образом, исходя из требований, налагаемых законом возрастания энтропии и принципом симметрии кинетических коэффициентов Онсагера 1И. М. Халатников, 1952). Как и прежде., р и 3 масса и импульс единицы объема жидкости. Уравнение непрерывности сохраняет свой вид 1139.3).

В уравнения же 1139.4), 1139.6), 1139.7) надо ввести дополпительныс члены, которые напишем в их правых частях: ду1 дп„дп'ь дс дть дть + ч( — '+ 74) = — ~7ф', — + с11у Я = — 411уЯ . дЕ .. ! д1 1140.1) 1140.2) 1140.3) Энтропийное же уравнение не имеет тепеууь вида уравнения сохранения 1139.5); напротив, величины П', со, О' должны быть определены так, чтобы обеспечить возрастание энтропии. Для этого снова подставляем в уравнение сохранения энергии 1140.3) производную дЕо/д1, выраженную с помощью 1139.9), после чего исключаем производные р, 3, ив с помощью 1139.3), 1140.1), 1140.2). При этом подразумевается, что С1 и П даются уже известными выражениями 1139.11), 1139.12); поэтому сокращаются все члены, за исключением связанных с энтропией и с диссипа- 1 ) Полный вывод гидродинамических уравнений для смесей — см.

кнл Халаглникое И.М. 'Геврик сверхтекучести.-- М.: 11аука, 1971, гл. ХП1. Эти уравнения становятся неприменимыми при очень низких температурах, когда возникает квантовое вырождение элементарных возбуждений, связанных с атомами примеси. 718 гидеодинлыикл оввгхтвкячвй жидкости гл хш тинными величинами П, Я~, 1о'.

В результате получим уравнение Т( (Р ) + с))ч(Рвчн)) = — с)1ч Щ' + р,ипр' — (П'ч„) ~ + р' с))ч (р,сп) — П,'ь — "' (140.4) д:сь (здесь снова ъч = чн — ч,). Линейные по градиентам выражения величин П', С~', ~р', обеспечиваюп1ие возрастание энтропии, имеют вид ') /де„, де„ь 2 П,ь = — г)( "' + " — — б,ь с(1ччв)— 1дхь дх, 3 — б,ь~у с))ч (р,тч) — бой~2 с))ч чп, (140 5) :р'=~34)у(рэ )+б,а (140. 6) Я' = — д'рэчч + (П'ч„) — тс'хгТ (140. 7) (в П', выделена комбинация производных от чв с равным нулю следом подобно тому, как это делается в обычной гидродинамике). При этом согласно принципу Онсагера должно быть 'ч1 = ч4 (140.8) так что остается всего 5 независимых кинетических коэффициентов ') .

Наконец, подставив выражения (140.5) (140.7) в уравнение (140.4), после простых преобразований приведем его к виду Т~ Р + с1(ч(РЯчп — — чТ) ) = 17, (140.9) где хэ Л = — ( — "' + — — -бгь с)1ч ч,,) + 211 с))ч чп с))ч р,тч + лрде„, до ь 2 2 дхь дх, 3 + 1,2(су(ч ч„) + Сз(с))ч рэтч) + — (17Т) . (140.10) 1 ) Здесь учитывается также и условие, что вращение нормальной части жидкости как целого (ч„= (Йг)) не должно приводить к диссипации (ср. 3 15).

э) Мы не будем проводить полностью соответствующих рассуждений (вполне шгалоги шых, например, иэлагавшимся в 3 59). Обратим лишь внимание на то, что С1 —.коэффициент при йт (р,хч) в П, а в правую часть уравнения (140.4) этот член в П' входит умноженным на йчч„; наоборот, С4 — коэффициент при йтч„в ЭУ, которое входит в правую часть (140.4) умнОжЕнным на йч (р,хч). 1 140 диссипхтивнык пгоцкссы в свсяхтккзчкй жидкости 719 Это уравнение аналог общего уравнения переноса тепла обычной гидродинамики (49.5) ') .

Так как правая часть уравнения определяет скорость возрастания энтропии жидкости, то она должна быть существенно положительной величиной. Отсюда следует, что все коэффициенты й, ~1, ~г, ~з, зг положительны, причем сверх того ~19 < ~9~3. Коэффициент г) впервой вязкостищ связанный с нормальным движением, аналогичен вязкости обычной жидкости, а коэффициент зг формально аналогичен теплопроводности обычной жидкости: коэффициентов же «второй вязкостиэ имеется теперь три ф, ~9, ~з) вместо одного в обычной гидродинамике. По поводу изложенных резулыатов необходимо, однако, сделать еще следующее замечание.

Диссипируемая в жидкости энергия, разумеется, инвариантна относительно галилеева преобразования системы отсчета. Производные от скорости этому требованию конечно удовлетворяют, но в свс;рхтекучей жидкости галилеевски инвариантна также и разность скоростей зу = пв— — чк Поэтому и диссипативные потоки в сверхтекучей жидкости могут зависеть не только от градиентов тсрмодинамических величин и скоростей„но и от самой ьтг. Как уже было отмечено в 8 139, эта разность фактически должна рассматриваться как малая величина, и в этом смысле выражения (140.5), (140.6) содержат в себе не все в принципе возможные члены, но лишь наибольшие из них ') .

Задача Разделить уравнения для нормального и сверхтекучего движений в несжимаемой сверхтекучей жидкости (принимщотся постоянными це только полная плотность р, но и р, и р„по отдельности). Р о ш е н и е. Диссипативпые члены в энтропийном уравнении являются малыми величинами второго порядка и могут быть в данном случае опущены; тогда и э = сопэц а из уравнений (139.3) и (139.5) имеем 61тч, = 61тч„= О. В тензоре же плотности потока импульса сохраняем линей- ) Все сказанное в конце 3 49 об определении энтропии в термодинамически слабо неравновесном состоянии остается в силен здесь. з ) Рхщи отказаться от этого угчовия, разнообразие допустимых членов в диссипативных потоках существенно возрастет (не говоря уже о том, что и сами кинетические коэффициенты будут, вообще говоря, функциями от ю): например, в 1э' появятся члены вида те гТ и иаюв дс„,/дты Полное число независимых кинетических коэффициентов, описывающих диссипацию в толин П, оказывается при этом равным 13 (А.

С1агк, 1963). См. об этом в кнз С. Путтперман. Гидродинамика сверхтекучей жидкости. Приложение У1. — Мз Мир, 1978 (бо.15 Рииегтип, Бпрегбпы йудгобупапнсщ .4огсй По11апс1 Рцьйэ1ипй Со., 1974). Отметим в этой связи, что в (140.5), 1140.6) написаны члены с ейя р,зг, поскольку именно эта комбинация производных возникает естественным образом в точном уравнении (140.5), (140.6). С принятой точностью было бы правильнее писать в (140.5), (140.6) р, ейя зч. 720 1"ИДРОДИИАМИКЛ СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ Гл х»1 ный по градиентам скорости член, связанный с вязкостью нормы!ьного дви- жения: Подставив зто выражение !вместе с П,1, из 7139.12)), получим уравнение дч, д»„, + Р— + Р !» 17)» + Р 1» (77)ч = — »)Р+ 7)йгеч д) д) или р„— + р„)»„17)»„+ р,17 —" + р, »7 — = — 1ур + О ()1» ч„, д) 2 д) где введен потенциал сворхтекучего движения согласно ч, = » !Р, и учтено, что ~)ч, »)ч, = 1)сз)'2.

Поскольку ()1»ч, = О,то потенциал 7Р, удовлетворяет уравнению Лапласа ЬР, = О. Введем в качестве двух вспомогательных величин «давления> нормального н сверхтекучего движений р„и р, согласно равенству р = ре + р„-Р р„где ро — давление на бесконечности, а р, определяется обычной для идеальной жидкости формулой дР Р с Р = Р д) 2 Уравнение для скорости ч, принимает тогда вид дч„1 7) " + )ч„Я)ч„= — — »)р -)- — Ьч, д) " " р„р„ формально совпадающий с уравнением Навье Стокса для жидкости с плотностью р„и вязкостью 7Р Таким образом, задача о движении несжимаемого гелия П сводится к двум задачам обычной гидродинамики для идеальной и для вязкой жидкостей. Сверхтекучее движение определяется уравнением Лапласа с граничным условием для нормальной производной О7Р,)дп, как в обычной задаче о потенциальном обтекании идеальной жидкостью.

Нормальное движение определяется уравнением Навье — Стокса с таким же граничным условием для ч„!Ири отсутствии теплообмена между стенкой и жидкостью), как в обычной задаче об обтекании вязкой жидкостью. Распределение давления определяется затем как сумма ра -)- р -Р р . Для определония же распределения температуры пишем в уравнении 7139.6) 1с Р из 7139.14)) ч, = 7777Р, и интегрируя находим РО) Т)-Р— — — ),», — 7,) -)- =совва Р 1 д!Р( 2 2р д) Изменения температуры и давления в несжимаемой жидкости малы, и с точностью до членов первого порядка пишем: 1 Р, — Ра = — з((Т вЂ” То) -)- — ((р — ра) Р 1Хе, ро температура и давление на бесконечности).

Подставляя это выражение в написанный интеграл уравнения и вводя р„и р„получим )е ра Р„ Р; 2 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ И.ИДКОСТИ 721 1 141 й 141. Распространение звука в сверхтекучей жидкости Применим уравнения гидродинамики гелия П к распространению звука в этой жидкости. Как обычно, в звуковой волне скорости движения предполагаются малыми, а плотность, давление, энтропия -- почти равными своим постоянным равновесным значениям.

Тогда систему гидродинамических уравнений можно линеаризовать в (139.12) — (139.14) пренебрегаем квадратичными по скорости членами, а в уравнении (139.5) можно вынести в члене йч (рвч„) энтропию рв из-под знака йч (поскольку этот член уже содержит малую величину чи). Таким образом, система гидродинамических уравнений приобретает вид — +йч3= 0, (141. 1) д1 +рвйчч„= О, д1 д1 — '+ чр=О., д4 ' + ~7р = О. Дифференцируя (141.1) по времени и подставляя лучаем (141.2) (141.3) (141.4) (141.3), по- 17р = рвт7Т + р~7р. Подставляя сюда 17р из (141.3) и А1р из (141.4), получим р„— (ч„— ч,) + рв~7Т = О. д д1 Применяем к этому уравнению операцию йч, а для йч (ч„— ч„) подставляем выражение дв йч(ч, — ) = — — ' Я В следующее из равенства да 1д(рв) вдр . в ..

Вр, — — — — ' — = — в йчч„+ — Мчд = — '' йк(ч, — ч„). д1 р д1 р д1 ' " р р В результате получаем уравнение д в р*8 йТ дР р (141.6) дз р (141.б) Согласно термодинамическому соотношению Вр = — в Р1Т+ г1р/р имоем 722 гидгодиилмикл сивихтикхчвя жидкооти гл хгл 4 зР) р Т ] р,тл (др) (141. 7) (с, -- теплоемкость единицы массы). Это квадратное (по и~) уравнение определяет две скорости распространения звука в гелии П.

Прп р, = 0 один из корней этого уравнения обращается в нуль, и мы получаем, как и должно было быть, всего одну обычную скорость звука нв = (дР!дР) . Фактически теплоемкости ср и с„гелия П при температурах, не слишком близких к Л-точке, близки друг к другу (ввиду малости коэффициента теплового расширения). Согласно известной термодинамической формуле в этих условиях близки друг к другу также и изотермическая и адиабатичсская сжимаемости: Обозначив общее значение ср и с„через с, а общее значение (др/др)т и (др/др)л через др/др, получим из уравнения (141.7) Уравнения (141.5) и (141.6) определяют распространение звука в сверхтеку чей жидкости. Уже из того факта, что этих уравнений -- два, видно, что существуют две скорости распространения звука.

Напишем э, Р, р, Т в виде э = ко + э', р = ро + Р' и т. д., где буквы со штрихом представляют собой малые изменения соответствующих величин в звуковой волне, а величины с индексом нуль (который мы ниже для краткости опускаем) их постоянные равновесные значения. Тогда можно написать: г др г др ~ г дв г дв р = — Р+ — Т, и = — 'Р+ — 'Т, др дТ др и уравнения (141.5) и (141.6) принимают вид дрд'Р— Л '+ дрд Т =О, — дкд'Р'+ — '"Т вЂ”" ЬТ'=6 дрдГ' +дт дГ' ' дрдГ +дт дГ' Р. Ищем решение этих уравнений в виде плоской волны, в которой Р' и Т' пропорциональны множителю е ' й г7"~ (скорость звука обозначаем здесь буквой и). В качестве условия совместности обоих уравнений получаем уравнение 4дбн Р) 2/ дк Р,л др1 Р,л д(Т р) 1 дТ р др! р„ (где д(к, р)(д(Т, Р) обозначает якобиап преобразования от э, р к Т, Р).