VI.-Гидродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 138

в индексах пробегают значения 1, 2, 3, отвечающие пространственным координатам. Галилеевой метрике (спепиальная теория относительности) отвечает метрический тензор с компонентами 300 = 1, 311 = 322 = 322 = — 1. ) Для трехмерного вектора Ж (и вектора скорости т ниже) в декартовых координатах нет необходимости различать контра- и ковариантные компоненты, и мы пишем их везде с индексами внизу. То же самое относится к трехмерному единичному. тепзору б„щ 691 1 газ 'гвизОР эньРгии импульоя гкидкости лсниям и везде перпендикулярно к площадке, на которую оно ПрОИЗВОдИтея.

ПОЭтОМу МОЖНО НаннеатЬ Тоут))д = рг))о! ОтКуда Тод = Р)го!з. Что касается компонент То", представляющих плотность импульса, то в локальной собственной системе отсчета они равны нулю. Компонента же Тоо равна собственной плотности внутренней энергии жидкости, которую мы будем обозначать в этой главе буквой е. Таким образом, в локальной системе покоя тензор энергии- импульса имеет вид (133.1) Легко найти теперь выражение Т™ в любой системе отсчета. Для этого введем 4-скорость и' движения жидкости. В локальной системе покоя ее компоненты: ио = 1, ио = О.

Выражение для Т™, обращающееся в (133.1) при этих значегплях и', есть Т' = иги'и — рд' ', (133.2) гдо ю = е + р тепловая функция единицы объема. Это и есть искомое выражение тензора энергии-импульса ') . Компоненты Т', написанные в трехмерном виде, равны Т' = '"'"" + рб сг(1 — ее !сг) (133.3) То юс Тоо ю е -ь рс'ггсг с(1 — ег!сг) 1 ег/сг ~ — ег!с» Нерелятивистскому случаю соответствуют малые скорости и«с и малые скорости внутреннего (микроскопического) движения частиц в жидкости.

При совершении предельного перехода следует иметь в виду, что релятивистская внутренняя энергия е содержит в себе также и энергию покоя птс~ составляющих жидкость частиц (т масса покоя отдельной частицы). Кроме того, надо учесть, что плотность числа частиц п отнесена к единице собственного объема; в нерелятивистских же выражениях плотность энергии относится к единице объема в «лабораторной» системе отсчета, в который данный элемент жидкости движется.

') Бо всех формулах в этой главе под термодинамическими величинами понимаются их собственные значения. такие величины, как е, ю (и плотность энтропии а виже) отнесены к единице обьема в локальной системе покоя. 692 РЕДЯТИЯИСТГКЛЯ ГИДРОДИНАМИКЛ ГД Х" Поэтому при предельном переходе надо заменить тп-э р~1 — —, =р — —, с" 2ЕД где р обычная нерелятивистская плотность массы. По сравнению с рс2 мала как нерелятивистская плотность энергии (обозначим ее через ре), так и давление. Имея все это в виду, найдем, что предельное значение Тоо = рс + ре +— 2 рЮЕ 2 т.

е. совпадает., за вычотом рс , .с нерелятивистской плотностью энергии. Соответствующее предельное значение тензора Т р: 1 РЯ рч + — ч~ре + р+ — 1. Я 2 Отсюда видно, что предельное значение плотности импульса есть, как и следовало, просто рч; для плотности же потока энер- гии находим, опустив член рс ч, выражение ч(ре + р+ рп~/2), совпадающее с найденным в 2 6. 9 134. Релятивистские гидродинамические уравнения Уравнения движения содержатся, как известно, в уравнениях дТ' 0 деь (134.1) выражающих собой законы сохранения энергии и импульса той физической системы, к которой относится тензор Т™.

Воспользовавшись выражением (133.2) для Т'~, мы получим отсюда уравнения движения жидкости; при этом, однако, необходимо дополнительно учесть сохранение числа частиц, не содержащееся в уравнениях (134.1). Подчеркнем, что тензор энергии-импульса т. е. совпадает, как и следовало, с обычным выражением для плотности потока импульса, который мы обозначали в 3 7 символом П„р. Простая связь между плотностью импульса и плотностью потока энергии (отличие в множителе с ) теряется в нерелятивистском пределе благодаря тому., что в нерелятивистскую энергию не включается энергия покоя. Действительно, компоненты Т е(с образуют трехмерный вектор, приближенно равный гвлятивистскиь гидгодиихми гискив кглвнвния 693 1 ил (133.2) не учитывает никаких диссипативных процессов (в том числе вязкости и теплопроводности); поэтому речь идет об уравнениях движения идеальной жидкости. Для формулирования уравнения, выражающего сохранение числа частиц в жидкости (уравнения непрерывности), введем 4-вектор тока частиц и'.

Его временная компонента есть плотность числа частиц, а пространственные компоненты составляют трехмерный вектор тока частиц. Очевидно, что 4-вектор и' должен быть пропорционален 4-скорости и', т, е, иметь вид гз~ = ип', (134.2) где и скаляр; из его определения ясно, что п собственная плотность числа частиц ') . Уравнение непрерывности выражается просто равенством нулю 4-дивергенции вектора тока: ) =О. (134.3) дх* Возвратимся к уравнениям (134.1). Дифференцируя выражение (133.2), получим ) + и~ ' — — Р = О. (134.4) дхь дхь дх" дх' Умпожим это уравнение на и', т.

е. спроецируем его на направление 4-скорости. Помня, что иги' = 1, а потому и,ди'/дхь = О, находим ) — и~ Р =О. (134.5) дхь дхь Заменив тождественно игп = ии (то/и) и воспользовавшись уравнением непрерывности (134.3), переписываем это уравнение в виде ') При очень высоких температурах в вещество может происходить возникновение новых частиц, так что полное число частиц каждого рода меняется. В таких случаях под п надо понилгать сохраняющуюся макроскопическую величину, характеризующую число частиц.

Так, если речь идет об образовании электронных пар, под п можно понимать число электронов, которое осталось бы после аннигиляции всех пар. Удобным определением п может служить плотность числа барионов (число антибарионов — о<щи они имеются. считается при этом отрицательным).

К области применений ультрарелятивистской гидродинамики могут относиться, однако, и задачи, в которых вообще нельзя ввести какой-либо сохраняющойся макроскопической характеристики числа частиц в системе, и последнее само определяется условиями термодинамического равновесия (таковы задачи, связанные с множественным образованием частиц при столкновениях быстрых нуклонов); вывод гидродинамических уравнений для таких случаев — см.

задачу 2. 694 Релятивисггкля гидРодииАмикл гл х" Согласно известному термодинамическому соотношению для тепловой функции имеем с) — = Тг/ — + — у7р (134. 6) п и и /Т вЂ” температура, и - — энтропия отнесенная к единице собственного объема) ') . Отсюда видно, что выражение в квадратных скобках есть производная Тд(гг/гу)/дх". Опустив множитель пТ, приходим, таким образом, к уравнению (134.7) дх" п двп выражающему адиабатичность движения жидкости (с)/с)в означает дифференцирование вдоль мировой линии движения данного элемента жидкости).

С помощью уравнения непрерывности (134.3) его можно представить в эквивалентном виде — гги =О, (134.8) дх' т. е, как равенство нулю 4-дивергенции потока энтропии уги'. Спроецирусм теперь уравнение (134.1) на направление, нормальное к и'. Другими словами, составим их комбинацию ') дт,' ь дт,'. дхь дх' (выражение в левой части тождественно обращается в нуль при скалярном умножении на и'). Простое вычисление приводит к у.равнению ьди, др ь др щи, ' = — — игм дх" дх' дхв (134. 9) Три пространственныс компоненты этого уравнения представляют собой релятивистское обобщение уравнения Эйлера (временная же компонента есть следствие первых трех).

Уравнение (134.9) может быть представлено в другом виде в случае изэнтропического движения (ууодобно преобразованию ') Напомним, что такое соотношение имеет место для определенного количества вещества (а не для определенного объема, в котором может находиться переменное число частиц). В (134.б) оно написано для тепловой функции, отнесенной к одной частице, а 1/и есть объем, приходящийся на одну частицу. е) Для удобства напомним,что компоненты 4-скорости (см.

и, ~ 4): и = (у, уи/с), и, = (у, — "уи/г), где для краткости введено (в этой главе!) обозначение у = (1 — ив/сэ) 1 134 гвлятивистскиь гидгодинлми нескин люлвнвния 695 от (2.3) к (2.9) для нерелятивистского уравнения Эйлера). При ступ = сопв1 имеем, согласно (134.6), др д — =п —— дх* дт' и и уравнение (134.9) принимает вид (134.10) дх" ' и ) дх' и Если движение к тому же еще и стационарно (все величины не зависят от времени), то пространственные компоненты (134.10) дакет у(т ~7) ("— ъ) + с~~у — = О. Умножив это уравнение скалярно на и, после простых преобразований получим (лгЧ)(уюуп) = О. Отсюда следует, что вдоль каждои из линий тока постоянна величина зчду'и = сопв1.

(134.11) Это релятивистское обобщение уравнения Бернулли ') . Не предполагая изэнтропическое течение стационарным, легко видеть, что уравнения (134.10) имеют решения вида — и,= — —, (134.12) дх" где р функция координат и времени; эти решения релятивистский аналог потенциальных течений нерелятивистской гидродипамики (И.М. Хилатннкое, 1954). Для проверки сказанного замечаем, что в виду симметрии производных дз р,удх' дхк по индексам 1 и й, имеем д (ю ) д (и~ ) умножив это равенство скалярно на и и раскрыв производную в правой части, действительно вернемся к уравнению (134.10).

Пространственные и временная компоненты равенства (134.12) дают: у — тс = 'лУ~р, су — + — = О. ю ю дф пс и д1 Первое из них в перелятивистском пределе дает обычное условие потенциальности, а второе уравнение (9.3) (с соответствующим псреобозначенисм 1о,У(ст) — ~ со). 1 ) При е (( с иъсеем юуп = гас + хоюг,в (где ю ер — нерелятивистская тепе ловая функция единицы массы, обозначавгдаяся в 3 5 как ю) и (134.11) переходит в уравнение (5.3).

696 РЕЛЯТИВИС'!'С:КЛЯ ГИДРОДИНАМИКЛ ГЛ Х" и = с( — ) (134.14) (индекс «адя указывает, что производная должна быть взята для адиабатического процесса, .т. е. при постоянном гг/гг). Эта формула отличается от соответствующего нерелятивистского выражения тем, что вместо обычной плотности массы здесь стоит е/с2. Для ультрарелятивистского уравнения состояния р = е/3 скорость звука и = с/з/3. Наконец, скажем несколько слов о гидродинамических уравнениях при наличии существенных гравитационных полей, т, е.

в общей теории относительности. Они получаются из уравнений (134.8), (134.9) просто путем замены обычных производных ковариантными ') гпи~ииь = — Р— иеиь ~', (гги'),; = О. (134.15) дя' дк' ' ') В общем случае зги уравнения довольно сложны. Их подробная запись в раскрытом виде (выраженном с помощын трехмерного тензора пространственной метрики — 7 В нз И, 3 84) дана в статье 57ЕЬоп 77.А.