II.-Теория-поля (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 10

Такой выбор является естественным в релятивистской механике и очень упрощает запись формул. Однако в этой книге (значительное место в которой уделено и нерелятивистской теории) мы, как правило, не будем пользоваться такой системой единиц, а прн ее использовании будем каждый раз оговаривать это. Если в формуле положено с = 1, то возвращение к обычным единицам не представляет труда: скорость света вводится в нее таким образом, чтобы обеспечить правильную размерность.

Рассмотрим самопроизвольный распад тела с массой М на две части с массами т1 и т2. Закон сохранения энергии при распаде, примененный в системе отсчета, в которой тело покоится, дает') 54 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА Гл. п В некотором смысле обратным является вопрос о вычислении суммарной энергии М двух сталкивающихся частиц в системе отсчета, в которой их суммарный импульс равен нулю (или, как говорят для краткости, в сисглеме центро инерции или в «ц-системе»). Вычисление этой величины дает критерий, определяющий возможность осуществления различных процессов неупругих столкновений, сопровождающихся изменением состояния сталкивающихся частиц или «рождением» новых частиц.

Каждый такой процесс может происходить лигпь при условии, что сумма масс всех «продуктов реакции» не превышает М. Пусть в исходной (или, как говорят, лабораторной) системе отсчета частица с массой тг и энергией Й~ сталкивается с покоящейся частицей с массой т2. Суммарная энергия обеих частиц 4' = Ю2 + Г2 = 6'1 + т2, а суммарный импульс р = р1 + р2 = р1. Рассматривая обе частицы вместе как одну сложную систему, мы найдем скорость ее движения как целого согласно (9.8): у= — = Р Р1 А' «'1 + гпг (11.4) откуда М = т1+т2+ 2т241.

2 Задачи 1. Частица, движущаяся со скоростью $', распадается «на лету» на две частицы. Определить связь между углами вылета последних и их энергиями. Р е пг е н и е. 11усть ее — энергия одной из распадных частиц в ц-системе (т. е. Аго или Аге из (11.3)), е' энергия этой же частицы в ~системе, а В— угол ее вылета в л-системе (по отношению к направлению 11). с помощью формул преобразования (9.15) имеем В' — Ъ'р соэ В 11 1«г откуда А„Г~ 1гг сов В = 1« Я~г г Это и есть скорость движения ц-системы относительно лабораторной системы (л-системы).

Однако для определения искомой массы М нет необходимости фактически производить преобразование от одной системы отсчета к другой. Вместо этого можно непосредственно воспользоваться формулой (9.6), применимой к составной системе в такой же мере, как и к каждой частице в отдельности. Таким образом, имеем М2 4»2 2 (е» + )2 (о«»2 2) 55 РАоплд члотиц Для обратного определения е' по сов В отсюда получается квадратное (относительно в ) уравнение 6' (1 — Ъ' соз В) — 2е'ео1/1 — Из + ео (1 — И ) + И га соз В = О, (2) имеющее один (если скорость распадиой частицы в ггсистеме оа > г') или два если оо < И) положительных корня.

роисхождение последней двузначности ясно из следующего графического построения. Согласно формулам (9.15) компонента импульса в л-системе выражается через величины, относящиеся к т-системе, следующим образом: ро сов до -~- ба Ъ' Р* =, Ро =РояпВо. Исключая отсюда Во, получим Р + (Р.Ъ~1 1г 4Х) Ро По отношению к переменным р, ро это есть уравнение эллипса с полуосями ро/ъТ вЂ” Ио, ро и центром (точка О на рис. 3), смещенным на расстояние 4~Р;~~~1 — Из от точки р = О (точка А на рис.

3) ') . Если И > ро/бо = оа, то точка А лежит вне эллипса (рис. Зб) и при заданном угле В вектор р (а с ним и энергия Б) может иметь два 1'>оо а р < оо Рис. 3 различных значения. Из построения видно также, что в этом случае угол может принимать лишь значения, не превышающие определенного В (отвечающего такому положению вектора р, при котором он касателен к эллипсу).

Значение В, проще всего определяется аналитически из условия обращения в нуль дискриминанта квадратного уравнения (2) и оказывается равным: РоЛ вЂ” г япд тЪ' 2. Найти распределение распадных частиц по энергиям в л-системе. Р е ш е н и е. В ггсистеме распадные частицы распределены изотропно по направлениям, т.е.

доля числа частиц в элементе телесного угла поо = = 2я яп до Вдо есть о1Х = — Доо = — ~с~созда~. 1 1 (1) 4г 2 Энергия в ~системе связана с величинами, относящимися к В-системе, соотношением оо + ро И соз до ') В классическом пределе эллипс превращается в окружность (см. 1, 3 16). 56 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА Гл. и и пробегает значения между Ао — Иро 4о + Иро Выражая ~1)созда~ через о)Ю, получим нормированное на единицу распределение по энергиям (для каждого из двух сортов распадных частиц): ДДà — еД Р2ДА 1 211ро 3. Определить интервал значений, которые может принимать в А-системе угол между двулгя распадными частицами (угол разлета) при распаде на две одинаковые частицы. Р е ш е н и е.

В ц-системе частицы разлетаются во взаимно противоположных направлениях, так что Вш = х — Вас = Во. Связь между углами в ц- и л системах дается согласно (5.4) формулами со созда+ И В вЂ” со созда+ И ссуда = сзедз = сояпВое11 — Р'2 сояпВоег1 — 1'2 (в Данном слУчае еаа = его = ео).

Искомый Угол Разлета О = В1+ Вг и ДлЯ него простое вычисление дает И вЂ” ее+ И ее ею'Во с2522 = 2реах1Т вЂ” $" эш Ва Исследование экстремумов этого выражения приводит к следующим интервалам возможных значений О: если И < еа 2 ассой ) — АГ 1 — Ъ'~) < Ое < н; Тсо г —: И ео ЕСЛИ Еа < 1' < Г~ г' 1 — Ъ' х О<9<агсяп < —; 2 ео если Ъ' ) Д г О < О < 2агс251 — Х11 — 1Г2) < —. И 2 4. Найти угловое распределение в А-системе для распадных частиц с массой, равной нулю. Р е ш е н и е.

Связь между углами вылета в ц- и ~системах для частицы с т = О дается согласно (5.6) формулой соз  — 'Р" Ва = 1 — Р' соз В Подставляя это выражение в формулу (1) задачи 2, получим (1 — г™) 11о 4х(1 — И соз В) 5. Найги распределение по углам разлета в л-системе при распаде на две частицы с массами, равными нулю. ИНВАРИАНТНОЕ СЕ )ЕНИЕ Р е ш е н и е. Связь между углами вылета Вг, Вг в л-системе и углами Вгс = Вз, Вгс = з — Вз в ц-системе определяется по формулам )5.6)) после чего для угла разлета )о = Вг е Вг находим 2Р2 — 1 — Уг созг Вс созб = — 'в, и обратно: 2 соз Ве = 1 — сьйг —.

г'~ 2 Подставив это выражение в формулу (1) задачи 2, получим 1;г )1о ) ' ')з)г) 'Р' — ')з))) Угол О пробегает значения от х до )й„,ь, = 2 агссоз 1'. б. Определить наибольшую энергию, которую может унестн одна из распадных частиц при распаде неподвижной частицы с массой М на три частицы гп), гп2, гпз. Р е ш е н и е. Частица тд имеет наибольшую энергию, если система двух остальных частиц тг и тз имеет наименьшую возможную массу; последняя равна сумме т2 + тз 1чему отвечает совместное движение этих частиц с одинаковой скоростью).

Сведя, таким образом, вопрос к распаду тела на две части, получим согласно (11.3) ег ~ = ))М + т, — (тг+ газ) )!(2М) й 12.Инвариантное сечение Как известно, различные процессы рассеяния характеризуются их эффективными сечениями (или просто сечен ями), определяющими числа столкновений, происходящих в пучках сталкивающихся частиц. Пусть мы имеем два сталкивающихся пучка; обозначим через п1 и п2 плотности частиц в них (т.е. числа частиц в единице объема), а через ч1 и ч2 — скорости частиц. В системе отсчета, в которой частицы е покоятся (или, как говорят короче, в системе покоя частиц е), мы имеем дело со столкновением пучка частиц 1 с неподвижной мишенью.

При этом, согласно обычному определению сечения )г, число столкновений, происходящих в объеме с1$' в течение времени )гз, равно Сзг = Гуио,„П1П2 Л'ГЙ, где и„„величина скорости частиц 1 в системе покоя частиц й (именно так определяется в релятивистской механике относительная скорость двух частиц). Число 21н по самому своему существу есть величина инвариантная. Поставим себе целью выразить ее в виде, пригодном в 58 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ГЛ. И любой системе отсчета: пг п= ГТ г' (12.2) ИЛИ П = ПОЙ/ГП, ГДЕ Й -- ЭНЕРгия, а т -- масса частиц. Поэтому утверждение об инвариантности произведения Апгпг эквивалентно инвариантности выражения ААЩ.

Более удобно представить это условие в виде А —,. =А 4'Г 4'г 4'Г Вг = Ш1, РГ*Рг Аэг РГРг (12.3) где в знаменателе стоит тоже инвариантная величина — произведение 4-импульсов обеих частиц. В системе покоя частиц 2 имеем Аз = тг., рг = О, так что инвариантная величина (12.3) сводится к А. С другой стороны, в этой системе А = 1ТСВ,„. Таким образом, в произвольной системе отсчета (12.4) ~1 г Для придания этому выражению окончательного вида, выразим с,„через импульсы илн скорости частиц в произвольной системе отсчета. Для этого замечаем, что в системе покоя частиц й инвариант гю1 РГ1Р2 à — — г — Гпг ° 1, 1 — Р„„ Отсюда 1ЛГГЛ НОГЕ (Р1*Рг) (12 5) сЬ = АпгпгГЛГМ, (12.1) где А подлежащая определению величина, о которой известно, что в системе покоя одной из частиц она равна и ВГГ.

При этом мы будем всегда понимать 1г именно как сечение в системе покоя одной из частиц, т. е., по определению, как величину инвариантную. По определению, инвариантной является и относительная скорость и„„. В выражении (12.1) произведение 1ЛГЖ есть величина инвариантная. Поэтому должно быть инвариантным и произведение Апгпг. Закон преобразования плотности частиц и легко найти, заметив,что инвариантно число частиц п<М в заданном элементе объема 1Л'. Написав пГ1Ъ' = пеГЛгс (индекс 0 указывает систему покоя частиц) и воспользовавшись формулой (4.6) для преобразования объема, найдем 59 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИП Выразив величину рпр2 — — 4142 — р1р2 через скорости ч1 и ч2 с помощью (9.1) и (9.4)) 1 — ч) ч2 '"',Ф= )(Г-») и подставив в (12.5), после простых преобразований получим следующее выражение для относительной скорости: (чг — ч2)2 — )ч»ч»)2 иотп— 1 — ч) ч2 (обратим внимание на то, что зто выражение симметрично по ч1 и ч2, т.е.