II.-Теория-поля (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 7

Число таких компонент равно 4! = 24. Поэтому е1ы е;Рь„= — 24. (6.9) По отношению к поворотам системы координат величины е'ы~ ведут себя как компоненты тензора; однако при изменении знака у одной или трех координат компоненты е'ы~, будучи определены одинаково для всех систем координат, не изменяются, в то время как компоненты тензора должны были бы изменить знак.

Поэтому е'"' есть, собственно говоря, не тензор, а, как говорят, псевдотензор. Псевдотензоры любого ранга, в частности псеедоскаллры, ведут себя как тензоры при всех преобразованиях координат, за исключением тех, которые не могут быть сведены к поворотам, т. е. за исключением отражений — изменений знаков координат, не сводимых к вращениям. Произведения е'"НВег"'1 образуют 4-тензор 8-го ранга, причем уже тензор истинный; упрощением по одной или нескольким парам индексов из него получаются тензоры б-го, 4-го и 2-го рангов. Все эти тензоры имеют одинаковый вид во всех координатных системах.

Поэтому их компоненты должны выражаться в виде комбинаций произведений компонент единичного тензора д~ь -- единственного истинного тензора, компоненты которого 36 пгинцип относительности гл 1 ~) Приведем здесь для соответствующие формулы: справок 6,* 6*, 6„" б," ф ф б. 6, 6,* б," б,' б, бг 6,", б,', 6 р бр И е* ер„, — — — б„ ф б,* бь 6,' 6Ф бь б,'. И! е' ерьн =— Общие коэффициенты в этих формулах проверяются по результату поляр- ного свертывания, которое должно дать (6.9). Как следствие первой из этих формул имеем где А в определитель, составленный из величин Аьп ~) Неизменность компонент 4-тензора е™~ по отношению к вращениям 4-системы координат и неизменность компонент 3-тензора е л по отноше- нию к вращениям пространственных осей координат являются частными случаями общего правила; всякий совершенно антисимметричный тензор ранга, равного числу измерений пространства, в котором он определен, инвариаитен при вращениях системы координат в этом пространстве.

з ) Приведем для справок соответствующие формулы: бчх бе б е л ел„„ = бел бее бе 6»л б „ 6, Упрощая этот тензор по одной, двум и трем парам индексов, получим е з»ели» = б лбе„ вЂ” 6 „бел, е е»еле» вЂ” — 26 л, е в»е е» = 6. во всех системах одинаковы. Эти комбинации легко составить, исходя из свойств симметрии по отношению к перестановкам индексов, которыми они должны обладать ') . Если А'и — антисимметричный тензор, то тензор Аьь и псевдотензор А*'" = (1/2)е'ышАьп называются дуальными друг другу.

Аналогично е'"ЬвА„„есть антисимметричный псевдотензор 3-го ранга, дуэльный вектору А'. Произведение А'"А,*, дуальных тензоров есть, очевидно,псевдоскаляр. В связи со сказанным напомним некоторые аналогичные свойства трехмерных векторов и тензоров. Совершенно антисимметричным единичным псевдотензором 3-го ранга называется совокупность величин е ят, меняющих знак при перестановке любых двух индексов. Отличны от нуля лишь компоненты е я., с тремя различными индексами. При этом полагаем е „, = 1; остальные же равны 1 или — 1, смотря по тому, четным илй нечетным числом перестановок можно привести последовательность сг,)», у к последовательности т, у, я'). Произведения е л ей„составляют истинный трехмерный тензор 6-го ранга и потому выражаются в виде комбинаций произведений компонент единичного трехмерного тензора б я ') .

37 1ЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ Рж Ри РА 0 — а, аи а, 0 — а — аи а 0 (А(( = [ РЕ Ри РА 16.10) причем по отношению к пространственным преобразованиям р и а — полярный и аксиальный векторы. Перечисляя компоненты антисимметричного 4-тензора, мы будем записывать их в виде А'" = 1р, а); тогда ковариантные компоненты того же тензора А,ь = 1 — р,а). Остановимся, наконец, на некоторых дифференциальных и интегральных операциях четырехмерного тензорного анализа. 4-градиент скаляра (р есть 4-вектор При этом необходимо иметь в виду, что написанные производные должны рассматриваться как ковариантные компоненты 4-вектора. Действительно, дифференциал скаляра Ф= —, 1х д1Р дх* При отражении системы координат, т. е.

при изменении знака всех координат, компоненты обычного трехмерного вектора тоже меняют знак. Такие векторы называют полярными. Ком1юненты же вектора, который может быть представлен как векторное произведение двух полярных векторов, при отражении не меняют знак. Такие векторы называются аксиальными. Скалярное произведение полярного и аксиального векторов является не истинным, а псевдоскаляром: при отражении координат оно меняет знак. Аксиальный вектор является псевдовектором, дуальным антисимметричному тензору. Так, если С = ~АВ], то 1 С = — е„н Срт, где Ср.„= Арй-, — АНВр. Вернемся к 4-тензорам.

Пространственные (г, й,... = 1,2,3) компоненты антисимметричного 4-тензора Агь составляют по отношению к чисто пространственным преобразованиям трехмерный антисимметричный тензор; согласно сказанному выше его компоненты выражаются через компоненты трехмерного ак- СнаЛЬНОГО ВЕКтОра. КОМПОНЕНТЫ жс АШ, АаА, АШ СОСтаВЛяЮт, ПО отношению к тем же преобразованиям, трехмерный полярный вектор. Таким образом, компоненты антисимметричного 4-тензора можно представить в виде таблицы: 38 пгинцнп относительности гл 1 тоже есть сквляр; из его вида (скалярное произведение двух 4-векторов) и очевидно сделанное утверждение.

Вообще операторы дифференцирования по координатам х', д/дх', должны рассматриваться как ковариантные компоненты операторного 4-вектора. Поэтому, например, является скаляром дивергенция 4-вектора- выражение дА'/дх', в котором дифференцируются контравариантные компоненты А' ') . В трехмерном пространстве интегрирование может производиться по объему, по поверхности и по кривой. В четырехмерном пространстве соответственно возможны четыре рода интегрирований.

1. Интеграл по кривой в 4-пространстве. Элементом интегрирования является элемент длины, т. е. 4-вектор дх'. 2. Интеграл по поверхности (двумерной) в 4-пространстве. Как известно, в трехмерном пространстве проекции площади параллелограмма, построенного на двух векторах с1г и Пг', на координатные плоскости х хд равны Ых дх~д — дхвйх' . Аналогично в 4-пространстве бесконечно малый элемент поверхности определяется антисимметричным тензором второго ранга ф'ь = = пх'с1х ~ — с1х~с1х"; его компоненты равны проекциям площади элемента на координатные плоскости. В трехмерном пространстве, как известно, вместо тензора с1у и в качестве элемента поверхности используется вектор ф„дуальный тензору оу л. с1уо = 1 = — е и ф~ .

Геометрически это есть вектор, нормальный к эле- 2 ') Если же производить дифференцирования по «ковариантным координатамь х„то производные дх, дх" с дс' составляют контравариантные компоненты 4-вектора. Мы будем пользоваться такой записью лишь в исключительных случаях (например, для д, дз записи квадрата 4-грвдиента †, †). дх* дх; Упомянем,что в литературе часто используется кратквл запись частных производных по координатам производных с помощью символов д'= —, д,= —,. д д дх, ' дх* В этой форме записи операторов дифференцирования явно проявляется контра- или ковариантный характер образуемых с их помощью величин. Таким же преимуществом обладает и другой применяемый способ краткой записи производных — посредством индексов после запятой: д1с Л д1г дх*' дх, 39 1ЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ менту поверхности и по абсолютной величине равный площади этого элемента.

В четырехмерном пространстве такого вектора построить нельзя, но можно построить тензор 1Ч'"ь, дуальный тензо 11 ' т.е. РУ У 4*" = -'е1"'-<К . (6.11) 2 Геометрически он изображает элемент поверхности, равный и «нормальный» элементу 1111; все лежащие на нем отрезки ортогональны ко всем отрезкам на элементе 1»1™. Очевидно, что 1Ч1"11Я = О. 3. Интеграл по гиперповерхности, т. е. по трехмерному многообразию. В трехмерном пространстве объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен, как известно, определителю третьего порядка, составленному из компонент этих векторов.

В 4-пространстве аналогичным образом выражаются проекции объема «параллелепипеда» (т.е. «площади» гиперповерхности), построенного на трех 4-векторах 11х', 11х", дхл', они даются определителями дх' 11х" 11т1" пх" пх'" длл", Ь' Ьл 1л"' составляющими тензор З-ранга, антисимметричный по трем индексам. В качестве элемента интегрирования по гиперповерхности удобнее пользоваться 4-вектором 11У, дуальным тензо~уы.

1131 = — -егь1 11Бм,„, 11Бы,„= е„»1„АБ'. (6 13) При этом ,1~0 ~~123 ~~1 1~023 Геометрически 113' 4-вектор, по величине равный «площади» элемента гиперповерхности и по направлению нормальный к этому элементу (т. е. перпендикулярный ко всем прямым, проведенным в элементе гиперповерхности). В частности, 1»Я~ = 11т ду де, т. е.