II.-Теория-поля (1109679), страница 6
Текст из файла (страница 6)
у с Вводя угол Ьд = д' — д (угол аберрации), находим с той же точностью: Ьд = — япВ', (5.7) с т. е. известную элементарную формулу для аберрации света. й 6. 'Четырехмерные векторы Совокупность координат события (с~, х, у, г) можно рассматривать как компоненты четырехмерного радиус-вектора (или, как мы будем говорить для краткости, 4-радиус-вектора) В случае г' « с находим из (5.6) с точностью до членов порядка г'/с: 1ЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ в четырехмерном пространстве.
Его компоненты мы будем обозначать через х', где индекс 1 пробегает значения О, 1, 2, 3, причем х =с1, х =х, х =у, х =ю о Квадрат «длины» 4-радиус-вектора дается выражением ( о)з ( 1)з ( з)з ( з)з Он не меняется при любых поворотах четырехмерной системы координат, которыми являются, в частности, преобразования Лоренца. Вообще чел1ырехмерным вектором (4-вектором) А' называется совокупность четырех величин А, А, А, Аз, которые при преобразованиях четырехмерной системы координат преобразуются как компоненты 4-радиус-вектора х'.
При преобразовании Лоренца Ао А' » (ъ'1'В)А" Д: Р*7Р Аз — Аа Аз — ~1з (6.1) Квадрат величины всякого 4-вектора определяется аналогично квадрату 4-радиус-вектора: (Ао)з (А1)з (Аз)з (Аз)з Для удобства записи подобных выражений вводят два есорта» компонент 4-векторов, обозначая их буквами А' и А; с индексами сверху и снизу.
При этом Ао=Ао Аз А Аз=-А~ Аз= — Аз (62) з А А АоАо+ А1А1+ АзАз+ АзАз. Такие суммы принято записывать просто как А'А;, опуская знак суммирования. Вообще принимается правило, согласно которому по всякому индексу, повторяющемуся в данном выражении дважды, подразумевается суммирование, а знак суммы опускается. При этом в каждой паре одинаковых индексов один должен стоять наверху, а другой внизу. Такой способ обозначения суммирования по, как говорят, немым индексам, очень удобен и значительно упрощает запись формул. Величины А' называют контравариантными, а А; -- ковариант- ными компонентами 4-вектора.
Квадрат 4-вектора представится тогда в виде 32 пгинцип относительности гл. 1 В этой книге мы будем обозначать четырехмерные индексы, пробегающие значения О, 1, 2, 3, латинскими буквами г, и, 1, ... Аналогично квадрату 4-вектора составляется скалярное произведение двух разных 4-векторов: А'В, = А Во + А В1 + А Вэ+ А Вз. При этом, очевидно, его можно записать как в виде А'В;, так и в виде А,В', результат от этого не меняется. Вообще во всякой паре немых индексов всегда можно переставлять верхний и нижний индексы' ) .
Произведение А'В; является 4-скаляром — -оно инвариантно по отношению к поворотам четырехмерной системы координат. Это обстоятельство легко проверить непосредственно'), но оно и заранее очевидно (по аналогии с квадратом А'А;) из того,что все 4-векторы преобразуются по одинаковому закону.
Компоненту 4-вектора Ао называют временной, а компоненты Аг, Аз, Аз--пространственными (по аналогии с 4-радиус-вектором). Квадрат 4-вектора может быть положительным, отрицательным или равным нулю: в этих трех случаях говорят соответственно о времепиподобных, простпрансптвеппоподобпых и нулевых 4-векторах (снова по аналогии с терминологией для интервалов)'). По отношению к чисто пространственным поворотам (т.е. преобразованиям, не затрагивающим оси времени) три пространственные компоненты 4-вектора А' составляют трехмерный вектор А. Временная же компонента 4-вектора представляет собой (по отношению к тем же преобразованиям) трехмерный скаляр.
Перечисляя компоненты 4-вектора, мы часто будем записывать их как Аг (Ао А) ') В современной литературе часто опускают вообще индексы у четырехмерных векторов, а их квадраты и скалярные произведения записывают просто как А~, АВ. В этой книге, однако, мы не будем пользоваться таким способом обозначений. ~) При этом надо помнить, что закон преобразования 4-вектора, выраженный через ковариантные компоненты, отличается (в знаках) от того же закона, выраженного в контравариантных компонентах.
Так, вместо (6.Ц будем, очевидно, иметь: ц — (~7 ) 11 с — т/ м~ — — г м ) Нулевые 4-векторы называют также пзотропными. 1ЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ При этом ковариантные компоненты того же 4-вектора; А; = = (Ао, — А), а квадрат 4-вектора: А'А; = (А ) — А2. Так, для 4-радиус-вектора: Х = (С~,Г), Х1 = (СО1 — Г). Х Х, = С Т вЂ” Г У трехмерных векторов (в координатах х, у, 2) нет, конечно, необходимости различать контра- и ковариантные компоненты. Везде (где это не сможет привести к недоразумениям) мы будем писать их компоненты А„(а = х,у, е) с индексами внизу, обозначая эти индексы греческими буквами.
В частности, по дважды повторяющимся греческим индексам будет подразумеваться суммирование по трем значениям х, у, 2 (например, АВ=А В .) Четырехмерным тензором (4-тензором) 2-го ранга называется совокупность 1б величин А'", которые при преобразовании координат преобразуются как произведения компонент двух 4-векторов. Аналогичным образом определяются и 4-тензоры высших рангов. Компоненты 4-тензора 2-го ранга могут быть представлены в трех видах: как контравариантпые А™, ковариантные А;ь и сме1панные А'ь (в последнем случае надо, вообще говоря, различать А'ь и А,~, т.е.
следить за тем, какой именно — -первый или второй-- индекс стоит вверху, а какой внизу). Связь между различными видами компонент определяется по общему правилу: поднятие или опускание временного индекса (О) не меняет, а поднятие или опускание пространственного индекса (1,2,3) меняет знак компоненты. Так: Аоо = Аоо Ао2 = Ао~ Ам Аы Аоо = Аоо Ао2 Ао2 Ао, Ао2 АТ Аы По отношению к чисто пространственным преобразованиям девять компонент А11, А22ц.,составляют трехмерный тензор. Тр ° А", А", А" р ° А", А", Азо составляют трехмерные векторы, а компонента Аоо является трехмерным скаляром.
Тензор Ааь называется симметричным, если Ааь = А"', и антисимметричным, если Акь = — А"'. У антисимметричного тензора все диагональные компоненты (21е. компоненты Аоо, Ап, ... ) равны нулю, так как, например, должно быть Аоо = = — Аоо. У симметричного тензора А'" смешанные компоненты А'ь и Аь' очевидно совпадают; мы будем писать в таких случаях просто Аь, располагая индексы один над другим. 2 л.д.
ландау и Н.м. лифшиц. том и 34 пгинцип относительности гл, т Во всяком тензорном равенстве выражения с обеих его сторон должны содержать одинаковые и одинаково расположенные (вверху или внизу) свободные, т.е. не немые, индексы. Свободные индексы в тензорных равенствах можно перемещать (вверх или вниз), но обязательно одновременно во всех членах уравнения. Приравнивание же контра- и ковариантных компонент различных тензоров «незаконно»; такое равенство, даже если бы оно случайно имело место в какой-либо системе отсчета, нарушилось бы при переходе к другой системе. Из компонент тензора Агь можно образовать скаляр путем образования суммы А'; = А о+А'1+А э+А з о~А* = А (6.3) при любом 4-векторе А'. Очевидно, что компоненты этого тен- зора равны 11, еевич=в, 5,=~ ~ О, если г ~ а.
(6.4) Его след: 6,' = 4. Поднимая у тензора о; один или опуская другой индекс, мы ь получим контра- или ковариантный тензор, который обозначают как 6«~ или яв и называют метрическим тензором. Тензоры я'~ и я,.Ь имеют одинаковые компоненты, которые можно представить в виде таблицы: 1 ΠΠΠΠ— 1 ΠΠΠΠ— 1 ΠΠΠΠ— 1 (а»ь) = (К,ь) = (6.5) (при этом, конечно, А', = А ). Такую сумму называют следом тензора, а об операции его образования говорят как о свертывании или упрощении тензора. Операцией свертывания является и рассмотренное выше образование скалярного произведения двух 4-векторов: это есть образование скаляра А'В, из тензора А'Вь. Вообще всякое свертывание по паре индексов понижает ранг тензора на 2. Например, А'ьн есть тензор 2-го ранга, А'ьВ" 4-вектор, А'",ь скаляр и т.д.
Единичным 4-тензором называется тензор 5'„, для которого имеет место равенство 1ЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ 35 (индекс г нумерует строки, а индекс й — столбцы в порядке значений О, 1, 2, 3) . Очевидно, что 8;ьА" = А,, ~'"Аь = А'. (6.6) Скалярное произведение двух 4-векторов можно поэтому записать в виде А'А, = 8;ьА'А" = 8эевА;Аы (6.7) Тензоры бь, 81ы 81иь исключительны в том отношении, что их компоненты одинаковы во всех системах координат.
Таким же свойством обладает и совершенно антисимметричный единичный 4-тензор четвертого ранга е'ы~. Так называется тензор, компоненты которого меняют знак при перестановке любых двух индексов, причем отличные от нуля компоненты равны ~1. Из антисимметричности следует, что все компоненты этого тензора, у которых хотя бы два индекса совпадают, равны нулю, так что отличны от нуля лишь те, у которых все четыре индекса различны. Положим 0123 + 1 (6.8) (при этом ешза = — 1). Тогда все отличные от нуля компоненты еси равны +1 или — 1, смотря по тому, четным или нечетным числом перестановок (транспозиций) могут быть приведены числа г, й, 1, пт к последовательности О, 1, 2, 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
