II.-Теория-поля (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 8

представляет собой элемент трехмерного объема 1Л' проекцию элемента гиперповерхности на гиперплоскость х = соп3$. 4. Интеграл по четырехмерному объему. Элементом интегрирования является произведение дифференциалов: (6.13) пй = Йх пх Йх Йх = сп31Лт. Этот элемент является скаляром: очевидно, что объем участка 1етыгехмегная скогость Задачи 1. 11айти закон преобразования компонент симметричного 4-тензора А'" при преобразовании Лоренца (6.1). Р е ш е н и е. Рассматривая компоненты 4-тензора как произведения двух компонент 4-вектора, получим 100 ( 4200 2 А~01 ~п1) 1 — г 70 1 с с 1п 1'и + 2 А'01 + А'оо) 1 г" 1 — Р2,10 с с 122 1122 123 1123 112 ( 1212 + 1102) гт — 2*7П ' — (2"* ° гг"*) и аналогичные формулы для Азз, А13, Аоз.

2. '?Ь же для антисимметричного тензора А*~. Р е ш е н и е. Поскольку координаты х, х не меняются, то не меняется г и компонента тензора Агз, а компоненты А12, А13 и Аог, Аоз преобразуются как х и хо: 1гз А~гз 41г А' + (321'с)А' и аналогично для А'3, Аоз. По отношению к поворотам двумерной системы координат в плоскости хох (каковыми являются рассматриваемые преобразования) компоненты Ао' = — А'О, Аоо = А" = О составляют антисимметричный тензор ранга, равного числу измерений пространства.

Поэтому (см. примеч. на с. Зб) при преобразованиях эти компоненты не меняются: А01 А 01 й 7. Е1етырехмернаи скорость 1 ОХ и = —. дз (7.1) Для нахождения его компонент замечаем, что согласно (3.1) 3 = а01-Р7Я Из обычного трехмерного вектора скорости можно образовать и четырехмерный вектор. Такой четырехмерной скоростью (4-скоростью) частицы является вектор 42 пгинцип относитвльности гл, г где и — обычная трехмерная скорость частицы. Позтому Нх и ««г ч» «г /Р и т.

п. Таким образом, » 1 т и = , ~1 — ег,'сг ' с.««1 — тг,'сг) =( (7.2) Отметим, что 4-скорость есть величина безразмерная. Компоненты 4-скорости не независимы. Замечая, что «1х; «1х' = «1в, имеем и'и; = 1. (7.3) Геометрически и' есть единичный 4-вектор касательной к мировой линии частицы. Аналогично определению 4-скорости, вторую производную Н х* Нп' иг* г й г можно назвать 4-ускорением. Дифференцируя соотношение (7.3), найдем и;ю'=О, (7 4) т.е. 4-векторы скорости и ускорения взаимно ортогональны.

В «неподаижной» системе отсчета, относительно которой рассматриаается движение, раскрытие выражения ю*ю,приводит к уравнению И Ю =ю, или = ю1 -~- сопяг. Полагая е = О при 1 = О, имеем сопаС = О, так что ю1 Ю= Задача Определить релятивистское равноускореиное движение, т.е. прямолинейное движение,при котором остается постоянной величина ускорения ю а собственной (а каждый данный момент времени) системе отсчета. Р е ш е и и е.

В системе отсчета, в которой скорость частицы е = О, компоненты 4-ускорения равны ю« = (О,ю/с,О,О) (ю †обычн трехмерное ускорение, направленное вдоль оси х). Релятивистски инвариантное условие рааноускоренности должно быть представлено а виде постоянства 4-скаляра, совпадающего с юг а собственной системе отсчета; г ю ю, = сопаг = — —. 4 ' с четыгехмегная окогость Интегрируя еще раз и полагая х = О при 1 = О, получим х — — 1+ 2 — 1 При ю1 « с зти формулы переходят в классические выражения а = ю1, х = ю1 (2. При ю1 — г оо скорость стремится к постоянному значению с. 2 Собственное время равноускоренно движущейся частицы дается интегралом 1 — — з г11 = — АгзЬ вЂ”. ~,Г: — =- с ю с а При 1 — г оо оно растет по значительно более медленному чем 1 закону с 2ю1 — 1п —, ю с ГЛАВА 11 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА й 8.

Принцип наименьшего действия При исследовании движения материальных частиц мы бу- дем исходить из принципа наименьшего действия. Этот прин- цип заключается в том, что для всякой механической системы существует такой интеграл о', называемый действием, который для действительного движения имеет минимум и вариация бо которого, следовательно, равна нулю'). Определим интеграл действия для свободной материальной частицы, т.е. частицы, не находящейся под действием каких-ли- бо внешних сил. Для этого заметим, что этот интеграл не должен зависеть от выбора той или иной инерциальной системы отсчета, т. е.

он должен быть инвариантом относительно преобразований Лорен- ца. Отсюда следует, что он должен быть взят от скаляра. Далее, ясно, что под интегралом должны стоять дифференциалы в пер- вой степени. Однако единственный такой скаляр, который можно построить для свободной материальной частицы, есть интервал с1л или ог1л, где о некоторая постоянная. Итак, действие для свободной частицы должно иметь вид ь о'= — а сЬ, а где интеграл берется вдоль мировой линии между двумя за- данными событиями а и 6--нахождением частицы в начальном и конечном местах в определенные моменты времени 11 и 12, т.е. между заданными мировыми точками; о есть некоторая постоянная, характеризующая данную частицу. Легко видеть, что для всех частиц о должна быть положительной величиной.

ь Действительно, мы видели в 2 3, что интеграл 1, дк имеет мак- симальное значение вдоль прямой мировой линии; интегрируя ) Строго говоря, принцип наименьшего действия утверждает, что интеграл о должен быть минимален лишь вдоль малых участков линии интегрирования. Для линий произвольной длины можно утверждать только,что о имеет экстремум, не обязательно являюшийся минимумом (см. 1, З 2). ПРИНЦИП НаИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ вдоль кривой мировой линии, можно сделать его сколь угодно малым. Таким образом, интеграл, взятый с положительным знаком, не может иметь минимума; взятый же с обратным знаком он имеет минимум вдоль прямой мировой линии. Действие можно представить в виде интеграла по времени: 1, Я = Лог.

21 Коэффициент Ь при Ю называется, как известно, функцией Ла- гранжа для данной механической системы. С помощью (3.1) находим 12 / г Я = — сгс2,,11 — —,сЫ, 21 где с — скорость материальной частицы. Функция Лагранжа для частицы есть, следовательно, / г Ь = — сгс~(1 — —. Сг Величина сг, как уже отмечалось, характеризует данную частицу. В классической механике всякая частица характеризуется ее массой т. Определим связь величин сг и т. Она находится из условия, что при предельном переходе с — ~ со наше выражение для А должно перейти в классическое выражение 2 гпю 2 Для осуществления этого перехода разложим Ь в ряд по степеням 22/с. Тогда, опуская члены высших порядков, получаем ( г г Ь = — сгс~/1 — —, = — сгс+ с 2с Постоянные члены в функции Лагранжа не отражаются на уравнениях движения и могут быть опущены. Опустив в Ь постоянную сгс и сравнив с классическим выражением Ь = пгс2/2, найдем, что сг = тс. Таким образом, действие для свободной материальной точки равно ь (8.1) Я= — тс сЬ, а 46 РЕЛЯ'ГИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ГЛ.

И а функция Лагранжа Ь = — тс ~1 — —. 2 С (8.2) й 9. Энергия и импульс Импульсом частицы называется, как известно, вектор р = = дТ/дтГ (дТ~дч — символическое обозначение вектора, компоненты которого равны производным от Ь по соответствующим компонентам ХГ). С помощью (8.2) находим дР т 11Е (9.2) И ГГ- ээ~сэ а ' Если же скорость меняется только по величине, т. е.

сила направлена по скорости, то ,1р ~ 4е (9.3) ,У = (1 Эг,1СЭ)з!Э,Р . Мы видим, что в обоих случаях отношение силы к ускорению различно. Энергией е частицы называется величина У = РТà — Ь (см. 1, ~ 6). Подставляя сюда выражения (8.2) и (9.1) для Ь и р, получим Ь' = (9.4) Э ° фр У релятивистской механике энергия свободной частицы не обращается в нуль при е = О, а остается конечной величиной, равной о =тс.

(9.5) Ее называют энергией покоя частицы. Р= (9.1) При малых скоростях (е « с) или в пределе при с — + со это выражение переходит в классическое р = тхГ. При ь = с импульс обращается в бесконечность. Производная от импульса по времени есть сила, действующая на частицу. Пусть скорость частицы изменяется только по направлению, т.е. сила направлена перпендикулярно скорости. Тогда ЭНЕРГИЯ И ИМНЪ ЛЬС При малых скоростях (и « с) имеем, разлагая (9.4) по степеням и/с: 6'- тс +— 2 т. е. за вычетом энергии покоя классическое выражение для кинетической энергии частицы.

Подчеркнем, что хотя мы говорим здесь о «частице», но ее «элементарность» нигде не используется. Поэтому полученные формулы в равной степени применимы и к любому сложному телу, состоящему из многих частиц, причем под т надо понимать полную массу тела, а под п скорость его движения как целого. В частности, формула (9.5) справедлива и для любого покоящегося как целое тела.

Обратим внимание на то, что энергия свободного тела (т.е. энергия любой замкнутой системы) оказывается в релятивистской механике вполне определенной, всегда положительной величиной, непосредственно связанной с массой тела. Напомним в этой связи, что в классической механике энергия тела определена лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной, и может быть как положительной, так и отрицательной. Энергия покоящегося тела содержит в себе, помимо энергий покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энергию частиц и энергию их взаимодействия друг с другом. Другими словами, тс не равно сумме ~ т с (т --массы частиц), а потому и т не равно ,'> т .

Таким образом, в релятивистской механике не имеет места закон сохранения массы: масса сложного тела не равна сумме масс его частей. Вместо этого имеет место только закон сохранения энергии, в которую включается также и энергия покоя частиц. Возводя выражения (9.1) и (9.4) в квадрат и сравнивая их, найдем следующее соотношение между энергией и импульсом частицы: 2 —,=р +тс. (9.6) Энергия, выраженная через импульс, называется, как известно, функцией Гамильтона рг': рр= рр'-:- (9.7) При малых скоростях р «тс и приближенно Ж=тс + —, 2 Р 2т т.е.

за вычетом энергии покоя получаем известное классическое выражение функции Гамильтона. Из выражений (9.1) и (9.4) вытекает также следующее соотношение между энергией, импульсом и скоростью свободной 48 гл. и РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА частицы Р=Е (9.9) Приближенно такая же формула справедлива и для частиц с отличной от нуля массой в так называемом ультрарелятивистсколг случае, когда энергия частицы Й' велика по сравнению с ее энергией покоя тс2. Выведем теперь все полученные соотношения в четырехмерном виде.

Согласно принципу наименьшего действия бо =тсб де=О. Раскроем выражение для Ю. Для этого замечаем, что дв = ~,Яхд~х' и потому ь ь бо= — тс( * = — шс ь и;гУх. 1 Вх,ббх' 1 Ь 4в Интегрируя по частям, находим ь ос = — шеи,бх'~~~ + тс бх' — ' сЬ. бв а (9.10) Как известно, для нахождения уравнений движения сравниваются различные траектории, проходящие через два заданных положения, т.