II.-Теория-поля (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 4

Действительно, путь, который тело проходит между обоими событиями, не может быть больше с~12, так как скорость тела не может быть больше с. Поэтому всегда 112 < с112. Зададимся теперь вопросом, нельзя ли выбрать такую систему отсчета, в которой два события произошли бы в одно и то же врЕмя. ПО-прЕжнЕму мы имЕЕм в СиСтЕмах Л и Л: С 112 — 112 —— 2 2 2 2 г2 г2 = С 11 2 — 11~2.

Мы хОтим, чтОбы 21~2 — — О; ОтСЮда 2 !2 812 = — 112 С О. Следовательно, искомую систему отсчета можно найти только в том случае, когда интервал в12 между двумя событиями мнимый. Мнимые интервалы называют пространственноподобными. Таким образом, если интервал между двумя событиями пространственноподобный, то существует такая система отсчета, в которой оба события происходят одновременно.

Расстояние между точками, где произошли эти события в этой системе отсчета, равно ~12 = ~12 с ~12 = тв12. 2 2 2 (2.8) Мы хотим, чтобы в системе Л' оба события произоп1ли в одной точке, т. е, чтобы 11~2 — — О. Тогда ИНТЕРВАЛ 21 Подразделение интервалов на времениподобные и пространственноподобные есть, в силу их инвариантности, понятие абсолютное. Это значит, что свойство интервала быть времениподобным или пространственноподобным не зависит от системы отсчета. Возьмем какое-нибудь событие в назовем его событием О— в качестве начала отсчета времени и пространственных координат.

Другими словами, в четырехмерной системе координат, на осях которой откладываются х, у, е и б, мировая точка события 0 будет началом координат. Посмотрим теперь, в каком отношении к данному событию 0 находятся все остальные события. Для наглядности мы будем рассматривать только одну пространственную координату и время, откладывая их на двух осях (рис. 2). Прямолинейное равномерное движение частицы, проходящей точку х = О при б = О, изобразится прямой линией, проходящей через 0 и наклоненной к оси 1 под углом, тангенс которого равен скорости частицы. Поскольку наиболыпая возможная скорость равна с, то существует а сс с наибольший угол, который может образовы- Абс. буд. вать эта прямая с осью б.

На рис. 2 изображены две прямые, изображающие распространение двух сигналов (со скоростью света) в противоположных направлениях, проходящих через событие 0 (т. е. проходящих х = = О при б = 0). Все линии, изображающие движения частиц, могут лежать только внутри областей аОс и 406. На прямых а6 и Абс. Вр. сд, очевидно, х = хсб. Рассмотрим снача- «, :б ла события, мировые точки которых лежат внутри области аОс.

Легко сообразить, что ВО ВСЕХ тОЧКаХ ЭтОй ОбЛаетИ Спге — Хе > О. ДруГИМИ СЛОВаМИ, интервалы между любым событием этой области и событием О— времениподобные. В этой области б > О, т.е. все события этой области происходят «после» события О. Но два события, разделенных времениподобным интервалом, ни в какой системе отсчета не могут происходить одновременно. Следовательно, нельзя выбрать и никакой системы отсчета, где бы какое-нибудь из событий области аОс происходило «до» события О, т. е.

когда было бы 1 ( О. Таким образом, все события области аОс являются будущими по отношению к О, и «тритом во всех системах отсчета. Эту область можно поэтому назвать «абсолютно будущей» по отношению к событию О. Совершенно аналогично все события области 600 являются «абсолютно прошедшими» по отношению к О, т.е. события 22 пгинцип относитвльности гл 1 этой области во всех системах отсчета происходят до события О. Наконец, рассмотрим еще области ЫОа и с06. Интервал между любым событием этой области и событием О пространственноподобный.

В любой системе отсчета эти события происходят в разных местах пространства. Поэтому эти области можно назвать «абсолютно удаленными» по отношению к О. Понятия «одновременно», «раньше» и «позже» для этих событий, однако, относительны. Для всякого события этой области есть такие системы отсчета, где оно происходит позже события О, системы, где оно происходит раньше О, и, наконец, одна система отсчета, где оно происходит одновременно с О. Заметим, что если рассматривать все три пространственные координаты вместо одной, то вместо двух пересекающихся прямых на рис. 2 мы имели бы «конус» х~ + у + л~ — с~т~ = 0 в четырехмерной системе координат х, у, я, 1, ось которого совпадает с осью ~ (этот конус называют световым конусом).

Области «абсолютно будущего» и «абсолютно прошедшего» изображаются тогда соответственно двумя внутренними полостями этого конуса. Два события могут быть причинно связаны друг с другом только в том случае, если интервал между ними времениподобный, что непосредственно следует из того, что никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью, большей скорости света. Как мы только что видели, как раз для таких событий имеют абсолютный смысл понятия «раньше» и «позже», что является необходимым условием для того, чтобы имели смысл понятия причины и следствия.

й 3. Собственное время Предположим, что мы наблюдаем из некоторой инерциальной системы отсчета произвольным образом движущиеся относительно нас часы. В каждый отдельный момент времени это движение можно рассматривать как равномерное. Поэтому в каждый момент времени можно ввести неподвижно связанную с движущимися часами систему координат, которая (вместе с часами) будет являться тоже инерциальной системой отсчета. В течение бесконечно малого промежутка времени Ж (по неподвижным, т. е.

связанным с нами, часам) движущиеся часы проходят расстояние ЛР«ьт« ~г. Спрашивается, какой промежуток времени пт~ покажут при этом 23 совстВенное ВРемя движущиеся часы. В системе координат, связанной с движущимися часами, последние покоятся, т. е. дт' = 21у = сЬ~ = О. В силу инвариантности интервала сЬ =с Й вЂ” Йх — ду — ~Ь =с й 2 2 2 2 2 2 2 22 откуда Но +~1У +~12 2 ~~г =О, где и есть скорость движущихся часов;поэтому (3.1) Интегрируя это выражение, можно найти промежуток времени, показываемый движущимися часами, если по неподвижным часам пРойДет вРемЯ 1з — 1В (3.2) с, Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с данным объектом, называется собственным временем этого объекта.

Формулы (3.1) и (3.2) выражают собственное время через время системы отсчета, относительно которой рассматривается движение. Как видно из (3.1) или (3.2), собственное время движущегося объекта всегда меныпе, чем соответствующий промежуток времени в неподвижной системе.

Другими словами, движущиеся часы идут медленнее неподвижных. Пусть относительно инерциальной системы отсчета Л движутся прямолинейно и равномерно другие часы. Система отсчета К~, связанная с этими последними, тоже инерциальная. Тогда часы в системе К' с точки зрения наблюдателя в системе Л отстают по сравнению с его часами. И наоборот, с точки зрения системы Л' отстают часы в системе Л . Убедиться в отсутствии какого-либо противоречия можно, обратив внимание на следующее обстоятельство. Для того чтобы установить, что часы в системе К отстают относительно часов в системе К, надо поступить следующим образом. Пусть в некоторый момент времени часы в Х пролетают мимо часов в К, и в этот момент показания обоих часов совпадают. Для сравнения хода часов 24 пгинцип относительности гл 1 в Х и К' надо вновь сравнить показания тех же движущихся часов в К' с часами в Л.

Но теперь мы уже сравниваем эти часы с другими часами в К--с теми, мимо которых часы в Л' пролетают в другой момент. При этом обнаружится, что часы в Л' будут отставать по сравнению с часами в Л, с которыми они сравниваются. Мы видим, что для сравнения хода часов в двух системах отсчета необходимы несколько часов в одной системе и одни в другой. Поэтому этот процесс не симметричен по отношению к обеим системам. Всегда окажутся отстающилги те часы, которые сравниваются с разными часами в другой системе отсчета. Если же имеются двое часов, из которых одни описывают замкнутую траекторию, возвращаясь в исходное место (к неподвижным часам), то окажутся отстающими именно движущиеся часы (по сравнению с неподвижными).

Обратное рассуждение, в котором движущиеся часы рассматривались бы как неподвижные, теперь невозможно, так как часы, описывающие замкнутую траекторию, не движутся равномерно и прямолинейно, а потому связанная с ними система отсчета не является инерциальной. Поскольку законы природы одинаковы только в инерциальных системах отсчета, то системы отсчета, связанные с неподвижными часами (инерциальная система) и с движущимися (неинерциальная), обладают разными свойствами, и рассуждение, приводящее к результату, что покоящиеся часы должны оказаться отстающими, неправильно. Промежуток времени, показываемый часами, равен интегралу (1/с) ) дз, взятому вдоль мировой линии этих часов. Если часы неподвижны, то их мировая линия является прямой, параллельной оси времени; если же часы совершают неравномерное движение по замкнутому пути и возвращаются в исходное место, то их мировая линия будет кривой, проходящей через две точки на прямой мировой линии неподвижных часов, соответствующих началу и конпу движения.

С другой стороны, мы видели, что покоящиеся часы показывают всегда больший промежуток времени, чем движущиеся. Таким образом, мы приходим к выводу, что интеграл ) ггз, взятый между двумя заданными мировыми точками, имеет максимальное значение, если он берется по прямой мировой линии, соединяющей эти точки ') .