II.-Теория-поля (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 9

е. на пределах (дх') = (дхг)ь = О. Истинная траектория определяется из условия бо = О. Из (9.10) мы получили бы тогда уравнение Ыи,/Нв = О, т. е. постоянство скорости свободной частицы в четырехмерном виде. Для того чтобы найти вариацию действия как функцию от координат, надо считать заданной лишь одну точку а, так что ) Таковы световые кванты — фотоны, а также, возможно, нейтрино. Р= а. (9.8) При е = с импульс и энергия частицы обращаются в бесконечность.

Это значит, что частица с отличной от нуля массой т не может двигаться со скоростью света. В релятивистской механике, однако, могут существовать частицы с массой, равной нулю, движущиеся со скоростью света'). Из (9.8) имеем для таких частиц: энеРГия и импь лье (бх'), = О. Вторую же точку надо считать переменной, но при этом рассматривать только истинные, т. е. удовлетворяющие уравнениям движения траектории. Поэтому интеграл в выражении (9.10) для бд равен нулю. Вместо (бх')ь пишем просто бх' и, таким образом, находим бд = — тси,5хх. (9.11) Четырехмерный вектор р« = дд (9. 12) д** называется 4-импульсом. Как известно из механики, производные дд/дх, дд/ду, дд/дя три компоненты вектора импульса частицы р, а производная дЯ/дг есть энергия частицы 4'.

Поэтому ковариантные компоненты 4-импульса, р, = 1е'/с, — р), а контравариантные компоненты') (9.13) Из (9.11) видно, что компоненты 4-импульса свободной частицы равны ри — РЕ1 ') Обратим внимание на мнемоническое правило для запоминания определения физических 4-векторов: контравариантные компоненты связаны с соответствующими трехмерными векторами (Г для х', р для р* и) с «правильным», положительным знаком.

р' = тси'. (9.14) Подставив сюда компоненты 4-скорости из (7.2), убедимся в том, что для р и й' действительно получаются выражения (9.1) и (9.4). Таким образом, в релятивистской механике импульс и энергия являются компонентами одного 4-вектора. Отсюда непосредственно вытекают формулы преобразования импульса и энергии от одной инерциальной системы отсчета к другой. Подставив в общие формулы (6.1) преобразования 4-вектора выражения (9.13), находим р, + (1Г/с )«Г ««'+ «Р', ~9 16~ где р„рю р, -- компоненты трехмерного вектора р. Из определения 4-импульса (9.14) и тождества и'и; = 1 имеем для квадрата 4-импульса свободной частицы: р'р; = т с .

(9.16) Подставив сюда выражения (9.13), вернемся к соотношению (9.6). 50 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ГЛ. И По аналогии с обычным определением силы 4-вектор силы можно определить как производную: я = — =тс —. ср* ди* 19.17) сЬ сЬ Его компоненты удовлетворяют тождеству й,и' = О. Компоненты этого 4-вектора выражаются через обычный трехмерный вектор силы 4 = 1гр/Гй согласно ГР г 8 '-( С1 1Гт: '7Г1 ' с /à — '7 ') Временная компонента оказывается связанной с работой силы. Релятивистское уравнение Гамильтона — Якоби получается подстановкой в (9.16) производных дЯ/дх' вместо р;: — — — А =т С, дд дд ш;ь дд дд 19.19) де, дх' дх' де" (9.18) или, если написать сумму в явном виде —, ( — ) — ( — ) — ( — ) — ( — ) = Го~с~.

(9.20) Переход к предельному случаю классической механики в уравнении 19.20) совершается следующим образом. Прежде всего необходимо учесть, как и при соответствующем переходе в (9.7), что в релятивистской механике энергия частицы содержит член тс~,которого нет в классической механике. Поскольку действие с' связано с энергией выражением 4' = †/дг,то при переходе к классической механике надо вместо о' ввести новое действие У согласно соотношению С' = С' — Гио 8.

Подставляя его в (9.20), находим В пределе при с -э ос это уравнение переходит в известное классическое уравнение Гамильтона †Яко. $ 10.Преобразование функции распределения В различных физических вопросах приходится иметь дело с пучками частиц, обладающих различными импульсами. Состав такого пучка, его импульсный спектр, характеризуется функцией распределен я частиц по импульсам: ~(р)Йр Йре 11р, есть доля 51 110 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ »Ъ НКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ггр* ггр» ар (10.1) как отношение одинаковых компонент двух параллельных 4-векторов, есть величина инвариантная') .

Очевидным инвариантом является также доля числа частиц у г(р ггргг(р„не зависящая от выбора системы отсчета. Написав ее в виде у( )44Р 41Р»бр. Р и учитывая инвариантность отношения (10.1), мы приходим к выводу об инвариантности произведения 1'(р)Ю. Отсюда следует, что функция распределения в системе К связана с функцией ) Интегрирование по элементу (10.1) может быть представлено в четырехмерном виде с помощью б-функции (см, примеч, на с. 103) как интегрирование по 414Р = 41Р ЙР 41Р бр . (10.1а) — б(р*р, — т с )41 р 2, г г 4 с При этом четыре компоненты р* рассматриваются как независимые переменные (причем р пробегает лишь положительные значения).

Формула (10.1а) очевидна из следующего представления фигурирующей в ней б-функции: б(Р'р, — га с ) = б(ро — — ', ) = — ~б(ро -» — ) + б(ро — — )1, (10.1) сг с с 4 =.,гет % . В...~..„.ф., „., ~... 4 „. (гг приведенной в примеч. на с. 103. числа частиц, обладающих импульсами с коьшонентами в заданных интервалах г(ре, 41рю с(рг (или, как говорят для краткости, число частиц в заданном элементе объема гг р = ггр ггр„ггр, 3 «импульсного пространства»). В связи с этим возникает вопрос о законе преобразования функции распределения 1" (р) от одной системы отсчета к другой.

Для решения этого вопроса выясним предварительно свойства «элемента объема» др г(ридрг по отношению к преобразованию Лоренца. Если ввести четырехмерную систему координат, на осях которой откладываются четыре компоненты 4-импульса частицы, то 41р г(ребр, можно рассматривать как нулевую компоненту элемента гиперповерхности, определяемой уравнением р'р, = тзс2.

Элемент гиперповерхности есть 4-вектор, направленный по нормали к ней; в данном случае направление нормали совпадает, очевидно, с направлением 4-вектора рь Отсюда следует, что отношение 52 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА Гл. и распределения в системе Х соотношением Пр)4' (10.2) причем р и 8 должны быть выражены через р' и 8' с помощью формул преобразования (9.15). Вернемся к инвариантному выражению (10.1). Если ввести «сферические координаты» в импульсном пространстве, то элемент объема Йр Йрейр, заменится на рАЙрЙо, где Йо — - элемент телесного угла для направлений вектора р.

Замечая, что р Йр = = 4'ЙЙ'/с (согласно (9.6)), имеем р ЙрЙо рЙЮЙо 6' с Таким образом, находим, что инвариантно также и выражение (10.3) рЙЙ Йо. В другом аспекте понятие о функции распределения фигурирует в кинетической теории газов: произведение Дг, р)Йр Йре Йр, Л есть число частиц, находящихся в заданном элементе объема Й1Г и обладающих импульсами в заданных интервалах Йр, Йрю Йр,.

Функцию Дг,р) называют функцией распределения в фазовом пространстве (пространство координат и импульсов частицы), а произведение дифференциалов Йт = ЙзрЙ1à — элементом объема этого пространства. Выясним закон преобразования этой функции. Введем наряду с двумя системами отсчета Х и Л' еще и систему Ло, в которой частицы с рассматриваемым импульсом покоятся; именно по отношению к этой системе определяется собственный объем ЛГо элемента, занимаемого данными частицами. Скорости систем Л и Х1 относительно системы Хо совпадают, по определению, со скоростями и и п', которыми обладают эти частицы в системах Х и Х'.

Согласно (4.6) имеем поэтому 1 =1РД:.ж 1 =1»Д:..1., откуда А" Л" Перемножив это равенство с равенством Й~р/Й~р' = Й/Йи, найдем, что Йт = Йт', (10.4) т. е. элемент фазового объема инвариантен. Поскольку инвариантом является, по определению, также и число частиц 1 Йт, то мы 53 РАсплд частиц приходим к выводу об инвариантности функции распределения в фазовом пространстве: 1 (г,р ) = )(г,р), (10.5) где г', р' связаны с г, р формулами преобразования Лоренца.

й 11. Распад частиц М = о10 + ~20~ (11. 1) где 410 и е20 — энергии разлетающихся частей. Поскольку е10 > > т1 и 420 > т2, то равенство (11.1) может выполняться, лишь если М > т1+т2, т. е. тело может самопроизвольно распадаться на части, сумма масс которых меньше массы тела. Напротив, если М ( т,1+ т2, то тело устойчиво (по отношению к данному распаду) и самопроизвольно не распадается. Для осуществления распада надо было бы в этом случае сообщить телу извне энергию, равную по крайней мере его «энергии связиь (т1+т2 — М). Наряду с законом сохранения энергии при распаде должен выполняться законом сохранения импульса, т.е.

сумма импульсов разлетающихся частей, как и первоначальный импульс тела, равна нулю: рш + р20 = О. Отсюда р10 — — р20, или 2 2 410 — т1 = 40 — ГП2. 2 2 2 2 (11.2) Для уравнения (11.1) и (11.2) однозначно определяют энергии разлетающихся частей: 6' = ' ' е' = ' '. (11.3) М 20 2,У ') В 111 — 13 полагаем с = 1. Другими словами, скорость света выбирается в качестве единицы измерения скоростей (при этом размерности длины и времени становятся одинаковыми).