II.-Теория-поля (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 11

величина относительной скорости не зависит от того, по отношению к которой из частиц она определяется). Подставив (12.5) или (12.6) в (12.4), а затем в (12.1), получим окончательные формулы, решающие поставленный вопрос: ')ь"") ' * „,«а (12. 7) Е'2 Е'2 или Й~ = о н1н2 «И1 с»»»» (12.8) ( Ит. Раи12', 1993). Если скорости ч1 и ч2 лежат вдоль одной прямой, то ~чтчй] = = О, так что формула (12.8) принимает вид Й = о)ч1 — ч2)п1н2 с»»~ сгг. (12.9) Задача Найти «элемент длины» в релятивистском «пространстве скоростей».

Р ею ен и е.Искомый «элемент длины» Ж„ представляет собой относительную скорость двух точек со скоростями ч и ч -)-))ч. Поэтому из (12.6) находим Ц12 г) ч) )ч «~ч] )»с ч ~ 1В2 2 В 1 2) (1 „2)2 )1 „2)2 + )1 где В, с) — полярный угол и азимут направления ч. Если ввести вместо ч новую переменную х согласно равенству е = 11) х, то элемент длины представится в виде Ж~ = ь)Х~+ ЕЬ~Х1«1В +вш Вй))~). С геометрической точки зрения, это есть элемент длины в трехмерном пространстве Лобачевского пространстве постоянной отрицательной кривизны (ср.

(111.12)). й 13. Упругие столкновения частиц Рассмотрим, с точки зрения релятивистской механики, упругое столкновение частиц. Обозначим импульсы и энергии двух 60 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ГЛ. И сталкивающихся частиц (с массами т1 и т2) через р1, е1 и р2, 42; значения величин после столкновения будем отмечать штрихом. Законы сохранения энергии и импульса при столкновении можно записать вместе в виде уравнения сохранения 4-импульса: Р1 + Р2 = Р1 + Р2. (13.1) Составим из этого 4-векторного уравнения инвариантные соотно1пения, которые будут удобными для дальнейптих вычислений.

Для этого перепишем (13.1) в виде Р1 +Р2 — Р1 = Р2 и возведем обе части равенства в квадрат (т.е. напишем их скалярные произведения самих на себя). Замечая, что квадраты 4-импульсов р1 и р1' равны т1ы а квадраты Р2 и Р2 равны ш2, получим ш1 + Рпрз — Рпр1 — Р21Р1 = О. (13.2) Аналогичным образом, возведя в квадрат равенство Р1 + р2— и 11 — р2 — — р1', получим 2 1 11 11 1112 + Р11Р2 Р21Р2 РпР2 = О. (13.3) 1 и 1 рпр2 — — 41т2, Р2;р1 — — т2е1, р11Р11 = 8141 — р1р1 — — 8141' — р1р', соед1, (13.4) где д1 — угол рассеяния налетающей частицы т1. Подставив эти выражения в (13.2), получим АГ(А т тг) — АГтг — т1 СОэд1 = РГ Р1 (13.5) Аналогичным образом из (13.3) найдем СОВ02 = (ВГ -~-тг)(Е1 — т1) Р1Р1 (13.6) где 02 угол, образуемый импульсом отдачи р12 с импульсом налетающей частицы р1.

Формулы (13.5), (13.6) связывают углы рассеяния обеих частиц в л-системе с изменениями их энергии при столкновениях. Рассмотрим столкновение в системе отсчета (л-система), в которой до столкновения одна из частиц (частица т2) покоилась. Тогда рз = О, Ю2 = Гпз и фигурирующие в (13.2) скалярные произведения равны 61 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ 1АСТИП Обращая эти формулы, можно выразить энергии 4~, й~ через В, В,.т,„р..~вв.р)р,= ВВ: рр,= =ЛР— в р р и «аа, .

р вычисления получим ® -ь тг)'-У (АГ' —,',). "вг 2=™2 (Йв + тг) — (рвг — т,) соа аг 2 2 2 2 (13.7) тг ЭШ р1 агах тг (13.8) совпадающим с известным классическим результатом. Формулы (13.5), (13.6) упрощаются в случае, когда налетающая частица обладает равной нулю массой; т1 = О, и соответственно рг = О1, р1 — — Й~. Выпишем для этого случая формулу для энергии налетающей частицы после столкновения, выраженной через угол ее отклонения: ,в тг 1= тг' 1 — согввв +— ГГ (13.

9) Вернемся снова к общему случаю столкновения частиц любых масс. Наиболее просто столкновение выглядит в ц-системе. Отмечая значения величин в этой системе дополнительным инДексом О, имеем зДесь Р1о = — Рте = Ра. В силУ сохРанения импульса, импульсы обеих частиц при столкновении только поворачиваются, оставаясь равными по величине и противоположными по направлению. В силу же сохранения энергии абсолютные значения каждого из импульсов остаются неизменными. Обозначим через )Г угол рассеяния в ц-системе — угол, на который поворачиваются при столкновении импульсы рш и рге.

Этой величиной полностью определяется процесс рассеяния в системе центра инерции, а потому и во всякой другой системе отсчета. Ее удобно выбрать также и при описании столкновения в л-системе в качестве того единственного параметра, который остается неопределенным после учета законов сохранения энергии и импульса.

Выразим через этот параметр конечные энергии обеих частиц в л-системе. Для этого вернемся к соотношению (13.2), но на этот Обращение же формулы (13.5) приводит в общем случае к весьма громоздкому выражению Ю1 через 01. Отметим, что если т1 ) тг, т.е. налетающая частица тяжелее покоящейся, то угол рассеяния 01 не может превышать некоторого максимального значения. Элементарным вычислением легко найти,что это значение определяется равенством 62 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА Гл. и раз раскроем произведение рпрГ' в ц-системе: !$1 1 2 2 2 2 Рггрг = 41ОА10 РШРШ = 410 РОССЕ Х = РОЬ созХ) + тг (в ц-системе энергия каждой из частиц при столкновении не меняется: 4~20 — — Рте).

Остальные же два произведения раскры- ваем по-прежнему в л-системе, т. е. берем из (13.4). В результате получим 2 41 — 82 = — — "' (1 — сов Х). 1122 е1ое20 — Рюр20 = е1т2, или = 4'Гт2 — Ро. 2 Решая это уравнение относительно ро,получим 2 2 тг(81' — т',) Ро= г тг + тг г+ 2тг АГ (13.10) Таким образом, окончательно имеем ГВ1+ тг+ 2тгА Энергия второй частицы получается из закона сохранения: 4Г + + т2 = 121~+ Й2. ПОЭтОМу 42 —— т2 +, ', ' (1 — сов Х).

(13.12) т, -Ь тг + 2тгА1 Вторые члены в этих формулах представляют собой энергию, теряемую первой и приобретаемую второй частицей. Наиболь1пая передача энергии получается при Х = гг и равна тгг + тг 2+ 2тгА Отношение минимальной кинетической энергии налетающей частицы после столкновения к ее первоначальной кинетической энергии равно (тг — тг) ФГ 1„— т1 (13.14) Аà — тг тг ~- тг -~- 2тгА 2 2 Остается выразить ро через величины, относящиеся к л-системе.

2 Это легко сделать путем приравнивания значений инварианта рнр2 в ц- и л системах: УПГУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ 1АСТИЦ 63 В предельном случае малых скоростей (когда 4' — т + тн~,12) это отношение стремится к постоянному пределу, равному (:;,™;)' В обратном же пределе болыпих энергий 41 отношение (13.14) стремится к нулю; к постоянному же пределу стремится сама величина 4'г иг Этот пРедел Равен 2 2 т, +тэ 1 шгп П22 Предположим, что тэ » т1, т. е. масса налетающей частицы мала по сравнению с массой покоящейся частицы. Согласно классической механике при этом легкая частица могла бы передать тяжелой только ничтожную часть своей энергии (см. 1, 317).

Такое положение не имеет, однако, места в релятивистской теории. Из формулы (13.14) видно, что при достаточно больших энергиях А'1 доля переданной энергии может достичь порядка 1. Для этого, однако, недостаточно, чтобы скорость частицы п21 была порядка 1, а необходимы, как легко видеть, энергии 4'1 тз, т. е. легкая частица должна обладать энергией порядка энергии покоя тяжелой частицы.

Аналогичное положение имеет место при тпэ « т1, т. е. когда тяжелая частица налетает на легкую. И здесь, согласно классической механике, происходила бы лишь незначительная передача энергии. Доля передаваемой энергии начинает становиться значительной только начиная от энергий тэ Аэ г тг Отметим, что и здесь речь идет не просто о скоростях порядка скорости света, а об энергиях, больших по сравнению с т1, т.

е. об ультрарелятивистском случае. Задачи 1. На рис. 4 треугольник АВС образован вектором импульса рг налетающей частицы и импульсами р'„рг обеих частиц после столкновения. Найти геометрическое место точек С, соответствующих всем возможным значениям рг, Рэ. Р е ш е н и е. Искомая кривая представляет собой эллипс, полуоси которого могут быть найдены непосредственно с помощью формул, полученных в задаче 1к 2 11. Действительно, произведенное там построениепредставляет собой нахождение геометрического места концов векторов р ел-системе, получающихся из произвольно направленных векторов ре с заданной длинОй Ре В Ц-системе.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА Гл. н Учитывая, что абсолютные величины импульсов сталкивающихся частиц в стсистеме одинаковы и не меняются при столкновении, мы имеем дело С .Ж~ б т1 <тэ тг > тэ Рис. 4 в данном случае с аналогичным построением для вектора рг, для которого в ц-системе гп2 И Ре — Ргс — Рш— 112 ' где 11 — скорость частицы тг в ц-системе, совпадающая по величине со ско- ростью центра инерции, равной и = Р1,1(42 -~- тэ) (см. (11.4)). В результате найдем, что малая и большая полуоси эллипса равны тэрг Рэ = Рс н12Р1( 1 -~- гп2) эг1 — И2 тэ + т2 2+ 21п241 (первое из этих выражений совпадает, конечно, с (13.10)).

При В1 = 0 вектор р', совпадает с рг, так что расстояние АВ равно Р1. Сравнивая р1 с удвоенной большой полуосью эллипса, легко убедиться, что точка А лежит вне эллипса, если тг > тэ (рис. 4 а) и внутри него при т1 < < тпз (рис. 4 б). 2. Определить минимальный угол разлета й ы частиц после столкновения, если массы обеих частиц одинаковы (т1 = тэ = т). Р е ш е н и е. При т1 = тэ точка А диаграммы лежит на эллипсе, а минимальному углу разлета соответствует положение точки С в конце малой полуоси (рис.

5). Из построения ясно, что 13 (О 1„/2) дается отношением длин полуосей, и мы находим 2 )(4'2+т или 4'1 — т СОЕЙ, 1 4'г -1- Зт Рис. 5 3. Для столкновения двух частиц одинаковой массы т выразить 4(1, 42, 11 через угол рассеяния в ~системе 01. 65 1 14 момен'г импульсА Р е ш е н и е. Обращение формулы (13.б) дает в этом случае (А + т) + (41 — т) соэз В, 1 2 т: (41 + т) — (Аг — т) соэ В~ (4;~ — т ) япз Вг 44 — — т + 2т ф (бг — т) э1п В~ Сравнивая с выражением йг' через Х: 41 — т 4'г' = А— (1 — сое у), 2 найдем угол рассеяния в ц-системе: 2т — (41 + Зт) яп' В, соек = 2т + (бг — т) яп В~ 2 14.

Момент импульса Как известно из классической механики, у замкнутой системы, кроме энергии и импульса, сохраняется еще и момент импульса, т. е. вектор М = ~~~ ~гр] (г и р — раддус-вектор и импульс частицы; суммирование производится по всем частицам, входящим в состав системы). Сохранение момента является следствием того, что функция Лагранжа для замкнутой системы в силу изотропии пространства не меняется при повороте системы как целого. Проделав теперь аналогичный вывод в четырехмерном виде, мы получим релятивистское выражение для момента.