II.-Теория-поля (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 14

дУ Е <й с (17. 6) Множитель при скорости, точнее при ч/с, в силе второго рода, действующей на единичный заряд, называют напряженностью магнитного поля; обозначим ее через Н. Итак, по определению, ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. П1 Выведем еще уравнение, определяющее изменение кинетической энергии частицы') со временем, т. е. производную 1Ы „„11 тс сй,~: с»!сэ Легко убедиться, что ОО'„„„1»Р = тг —; Ж 4г' подставляя др/Ф из (17.5) и замечая, что [чН)тг = О, имеем (17. 7) Е =е ч.

а11 Изменение кинетической энергии со временем есть работа, произведенная полем над частицей (в единицу времени). Из (17.7) видно, что эта работа равна произведению скорости заряда на силу, с которой действует на него электрическое поле. Работа поля за время Ж, т.е. при перемещении заряда на 1»г, равна еЕ11г.

Подчеркнем, что работу над зарядом производит только электрическое поле; магнитное поле не производит работы над движущимся в нем зарядом. Последнее связано с тем, что сила, с которой магнитное поле действует на частицу, всегда перпендикулярна к ее скорости. Уравнения механики инвариантны по отноптению к перемене знака у времени, т. е, по отношению к замене будущего прошедшим. Другими словами, в механике оба направления времени эквивалентны. Это значит, что если согласно уравнениям механики возможно какое-нибудь движение, то возможно и обратное движение, при котором система проходит те же состояния в обратном порядке.

Легко видеть, что то же самое имеет место и в электромагнитном поле в теории относительности. При этом, однако, вместе с заменой 1 на — 1 надо изменить знак магнитного поля. Действительно, легко видеть, что уравнения движения (17.5) не меняются, если произвести замену 1-+ — 1, Š— +Е, Н-+ — Н. (17.8) При этом, согласно (17.3), (17.4), скалярный потенциал не меня- ется, а векторный меняет знак; (17.9) 1р — > 1р, А — э — А.

) под <кинетической» мы понимаем здесь и ниже энергию (9.4), включающую в себя энергию покоя. 1 18 КАЛИВРОВО 1НАЯ ИНВАРИАНТНООТЬ Таким образом, если в электромагнитном поле возможно некоторое движение, то возможно и обратное движение в поле с обратным направлением Н. Задача Выразить ускорение частицы через ее скорость и напряженности электрического и магнитного полей. Р е ш е н и е. Подставляем в уравнение движения (17.8) р = че'„„„,1с, а сЫ'„„„/о1 выражаем согласно (17.7).

В результате найдем 1 ч = — 1 — — ( Е+ — [чН) — — эч(чЕ)). т)( с с с й 18.Калибровочная инвариантность Рассмотрим теперь вопрос о том, насколько однозначно определены потенциалы поля. При этом следует учесть, что поле характеризуется тем действием, которое оно оказывает на движение находящихся в нем зарядов. Но в уравнения движения (17.5) входят не потенциалы, а напряженности поля Е и Н.

Поэтому два поля физически тождественны, если они характеризуются одними и теми же векторами Е и Н. Если заданы потенциалы А и 1с, то этим, согласно 117.3) и (17.4), вполне однозначно определены Е и Н, а значит и поле. Однако одному и тому же полю могут соответствовать различные потенциалы. Чтобы убедиться в этом, прибавим к каждой компоненте потенциала Аь величину — дг"/дх", где у" произвольная функция от координат и времени. Тогда потенциал Аь переходит в Аь =Аь — — „. р дУ (18.1) дт" При такой замене в интеграле действия (16.1) появится дополнительный член, представляющий собой полный дифференциал; (18.

2) что не влияет на уравнения движения (см. 1, 8 2). Если вместо четырехмерного потенциала ввести векторный и скалярный и вместо координат х'--координаты с1, х, у, г, то четыре равенства (18.1) можно написать в виде А = А+ 8гас) ~, ~р = ьэ — — —. / 1дУ (18.3) г дс' Легко убедиться в том, что электрическое и магнитное поля, определенные равенствами (17.3), (17.4), действительно не изме- ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. П1 няются при подстановке вместо А и у потенциалов А' и сз', определенных согласно (18.3).

Таким образом, преобразование потенциалов (18.1) не изменяет поля. Потенциалы определены поэтому не однозначно — векторный потенциал определен с точностью до градиента произвольной функции и скалярный — с точностью до производной по времени от той же функции. В частности, к векторному потенциалу можно прибавить лгобой постоянный вектор, а к скалярному потенциалу — любую постоянную. Это видно и непосредственно из того, что в определение Е и Н входят только производные от А и 1р, и потому прибавление к последним постоянных не влияет на напряженности поля.

Физический смысл имеют лишь те величины, которые инвариантны по отношению к преобразованию потенциалов (18.3); поэтому все уравнения должны быть инвариантны по отношению к этому преобразованию. Эту инвариантность называют калибровочной или градиентной (по-немецки ее называют Е1ОЬ1пчаггапе, по-английски — йапйе 1пчапапсе) ') . Описанная неоднозначность потенциалов дает всегда возможность выбрать их так, чтобы они удовлетворяли одному произвольному дополнительному условию, -- одному, так как мы можем произвольно выбрать одну функцию у в (18.3). В частности, всегда можно выбрать потенциалы поля так, чтобы скалярный потенциал 1р был равен нулю.

Сделать же векторный потенциал равным нулю, вообще говоря, невозможно, так как условие А = = 0 представляет собой три дополнительных условия (для трех компонент А). 5 19. Постоянное электромагнитное поле Постоянным электромагнитным полем мы называем поле, не зависящее от времени. Очевидно, что потенциалы постоянного поля можно выбрать так, чтобы они были функциями только от координат, но не от времени.

Постоянное магнитное поле по-прежнему равно Н = го1А. Постоянное же электрическое Е = — 8тад 1р. (19.1) Таким образом, постоянное электрическое поле определяется только скалярным потенциалом, а магнитное — векторным потенциалом. ') Подчеркнем, что этот результат связан с подразумевающимся в (18.2) постоянством е. Таким образом, калибровочная инвариантность уравнений электродинамики и сохранение заряда тесно связаны друг с другом.

1 гэ ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 4' = + е~р. ГГ) — Н9 ~С2 (19.2) Таким образом, вследствие наличия поля к энергии частицы прибавляется член ер потенциальная энергия заряда в поле. Отметим существенное обстоятельство, что энергия зависит только от скалярного, но не от векторного потенциала. Другими словами, магнитное поле не влияет на энергию зарядов; энергию частицы может изменить только электрическое поле. Это связано с тем, что магнитное поле, в противоположность электрическому, не производит над зарядом работы. Если напряженность поля во всех точках пространства одинакова, то поле называют Однородным. Скалярный потенциал однородного электрического поля может быть выражен через напряженность поля согласно равенству (19.3) Действительно, при Е = сонэк имеем ягас1 (Ег) = (Е~7)г = Е.

Векторный же потенциал однородного магнитного поля выражается через напряженность этого поля Н в виде А = -~Нг). 2 (19. 4) Действительно, при Н = сопе$ находим с помощью известных Мы видели в предыдущем параграфе, что потенциалы поля определены не однозначно. Легко, однако, убедиться в том, что если описывать постоянное электромагнитное поле с помощью не зависящих от времени потенциалов, то к скалярному потенциалу можно прибавить, не изменяя поля, лишь произвольную постоянную (не зависяшую ни от координат, ни от времени).

Обычно на ~р накладывают еще дополнительное условие, требуя, чтобы он имел определенное значение в определенной точке пространства; чаще всего выбирают ~р так, чтобы он был равен нулю на бесконечности. Тогда и упомянутая произвольная постоянная становится определенной, и скалярный потенциал постоянного поля, таким образом, становится вполне однозначным. Напротив, векторный потенциал по-прежнему не однозначен даже для постоянного электромагнитного поля; к нему можно прибавить градиент любой функции координат.

Определим, чему равна энергия заряда в постоянном электромагнитном поле. Если поле постоянно, то и функция Лагранжа для заряда не зависит явно от времени. Как известно, в этом случае энергия сохраняется, совпадая с функцией Гамильтона. Согласно (16.6) имеем 80 ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. П1 формул векторного анализа; ГОС [Нг) = Н 111у г — (Н'(7) г — 2Н (напомним, что 111гег = 3).